Modélisation de la Dynamique de la Garniture

 Modèle Dynamique

Comme on l’a montré dans le chapitre précédent, le modèle dynamique de la garniture de forage devrait permettre de calculer le comportement de la garniture dans le régime transitoire en prenant en compte le couplage entre les différents modes de vibrations. Dans ce chapitre seront développées les équations qui régissent le mouvement de la garniture. 2.1.1. Présentation et Hypothèses On considère une garniture de forage de longueur donnée, dont les rayons extérieur et intérieur peuvent varier avec la profondeur. Dans la partie inférieure de la garniture, on y trouve des masse-tiges et des stabilisateurs alors que la partie supérieure est constituée exclusivement de tiges creuses. La garniture est introduite dans un trou cylindrique de rayon Rp et incliné d’un angleα par rapport à la verticale (Figure 2.1). Figure 2.1: Garniture de Forage dans un Forage Incliné La garniture est entrainée en rotation autour de son axe à une vitesse angulaireω qui dépend du temps. Une force de compression, le poids sur l’outil, agit sur la partie inférieure de la garniture alors que l’outil est soumis à un couple nécessaire au forage de la roche. La garniture, étant creuse, achemine le fluide de forage de la surface vers l’outil à travers les z Z α9 buses. Le fluide remonte, chargé de déblais de roche, dans l’espace annulaire laissé entre la tige et la paroi du puits foré. Ce fluide, généralement de la boue, est de masse volumique ρ f et soumis à une certaine pression. Pour établir les équations de mouvement de la tige, on définit deux repères (Figure 2.1) : – un repère global fixe dont l’origine est à la surface du puits (centre de la table de rotation) ; – un repère lié à la tige ; il dépend de l’abscisse curviligne s et du temps t . La rotation de la garniture génère une force d’inertie à cause de l’excentricité, cette force d’inertie est responsable du déplacement latéral de la garniture c’est-à-dire dans un plan orthogonal à l’axe du forage pour une profondeur donnée. Le déplacement latéral de la tige peut être amplifié par la force de compression due au poids sur l’outil (phénomène de flambage). Cependant, ce déplacement ne peut pas dépasser le jeu garniture-formation. Quand la tige arrive en contact avec la formation ou le tubage, une force de contact se crée, la force s’annule quand le contact est rompu. Pendant son déplacement, la tige est en interaction avec le fluide de forage, cette interaction engendre des forces hydrodynamiques. Pour étudier la dynamique d’une garniture de forage, nous l’assimilons à une structure élancée de type poutre. Nous établissons les équations de mouvement d’une poutre dans un cas général. Ensuite nous calculons les efforts extérieurs que subit la garniture pour les injecter dans les équations de mouvement de la poutre, ce qui permet d’obtenir les équations de mouvement de la garniture. 

Dynamique d’une Poutre

On considère une poutre de longueur L , de rayons extérieur Re et intérieur Ri ( R r i ≤ ≤ Re ). Le centre d’une section donnée de la poutre, dans un état relâché, est situé sur le segment { }s L [ ] 0, sk ∈  où s est l’abscisse curviligne. La section a une surface ( ) 2 2 e i S R R = − π et un moment d’inertie polaire 0 J I = 2 tel que ( ) 4 4 4 e i I R R π = − . Quand la poutre est déformée, le centre d’abscisse s occupe la position x s t ( , )  . Les points { } k sk ξ ξ ⊥ +     de la section droite se retrouvent à l’instantt sur une surface de centre d’inertie x s t ( , )  et de vecteur normal unitaire n s t ( , )  conformément à la Figure 2.2. Compte tenu du fort rapport entre la longueur de la tige et son diamètre, nous avons adopté la théorie de Bernoulli dans laquelle toute section droite non seulement reste plane (mouvement caractérisé par deux vecteurs : une translation et une rotation) mais aussi CONFIDENTIEL © 50 reste droite (relation cinématique entre les deux vecteurs). Cette hypothèse signifie que l’on néglige l’effet de l’effort tranchant et donc du phénomène de gauchissement. Comme le montre la Figure 2.2 on a : – à l’état relâché : une poutre droite dont la longueur est décrite par la variable s L ∈[0, ] et dont toutes les sections droites ont comme normale k  ; – à l’état déformé : les centres d’inertie sont sur x s t ( , )  , la normale à la section droite est n s t ( , )  et l’abscisse curviligne de l’arc estσ (s t, ) . s k  n  σ x s t ( , )  sk  x z Déformation Figure 2.2: Tronçon de Poutre en Etat Déformé 2.1.2.1. Equations d’équilibre La poutre est soumise à des actions extérieures exercées à distance (la gravité) ou par contact sur les faces latérales ( i r R = et e r R = ) ainsi qu’à des efforts appliqués sur les sections s = 0 et s L = (conditions aux limites). Les efforts répartis (gravité et contact sur les faces latérales) sont considérés par unité de longueur à l’état de référence (c.à.d. s L ∈[0, ]). Chaque tronçon[s s ds , + ] de la poutre est donc soumis à la résultante des efforts extérieurs : f s t ds ( , )  et la résultante des moments extérieurs : m s t ds ( , )  . Sachant que pour toute fonctionϕ (s t, ) on note s ϕ ϕ ∂ ′ = ∂ et t ϕ ϕ ∂ = ∂  , les équations d’équilibre s’écrivent : T f Sx ‘+ = ρ     (1) M x T m I n ‘ ‘ t ρ ∂ + ∧ + = Ω + Ω     ∂       (2)  oùT  l’effort résultant interne, M  le moment résultant interne et Ω  le vecteur rotation de la section avec Ω = Ω.n   . ρ étant la masse volumique du matériau constitutif de la tige. On va utiliser la loi de comportement de la poutre pour déterminer la relation entre les efforts internes et les déformations. 2.1.2.2. Loi de Comportement On travaille dans le cadre de la théorie générale des poutres élastiques : matériau élastique linéaire et isotrope de module d’Young E et de coefficient de Poissonν . Soit R  le vecteur déformation généralisée (flexion+torsion) du tronçon de poutre[s s ds , + ] . Dans ce cas, on montre que : R n n Rn = ∧ +’     (3) Ω = ∧ + Ω n n n      (4) M EI n n Mn = ∧ + ( ‘)     (5) ( ) ( ) ‘ ‘ 2 1 ES T x n Tn σ ν = − + +     (6) sachant que le couple de torsion vérifie la relation : 1 EI M R ν = + et l’effort axial vérifie la relation :T ES = − (σ ‘ 1) . Outre ces relations, pour que la déformation généralisée et la rotation de la section soient admissibles, il faut qu’une certaine condition de compatibilité géométrique soit vérifiée, cette condition est telle que : Ω = + ∧ ‘ . ‘ R n n n ( )      . Par ailleurs, dans la suite on se place dans le cadre restreint de la théorie des poutres en admettant que : – x n ‘ ‘ = σ   : c’est-à-dire qu’une section droite reste droite ; – σ ‘ 1  : c’est-à-dire que l’on considère des faibles variations relatives de la longueur, par conséquentT 1 ES  . L’égalité x n ‘ ‘ = σ   est à comprendre dans le sens que la quantité x n ‘ ‘ −σ   est petite et que T Q Tn = +    où l’effort tranchantQ  est inconnu, avec Q n. 0 =  2 Les équations vectorielles précédentes peuvent être réécrites en les décomposant en égalités scalaires dans la direction de n  (en multipliant scalairement par n  ) et dans la direction orthogonale à n  (en multipliant vectoriellement par n  ). On pose m m n = .   la partie du moment dans la direction de n  et m m mn ⊥ = −    la partie du moment dans la direction orthogonale à n  . Pour un vecteur donné, le symbole « ⊥ » désigne sa partie orthogonale. Sachant que : n n. 1 =   alors n n’. 0 =   et n n. 0 =    . En utilisant ces derniers résultats et en dérivant l’équation (5) par rapport à l’espace, on obtient : M EI n n Mn M n ‘  » ‘ ‘ = ∧ + + ( )      et par conséquent M n M ‘. ‘ =   . De la même façon, on dérive cette fois l’équation (4) par rapport au temps, on a donc : Ω = ∧ + Ω n n n      ⇒ n n n n n 2 2 t ∂   Ω + Ω = ∧ + Ω + Ω   ∂          ⇒ n n. 2 t ∂   Ω + Ω = Ω   ∂     Le théorème des moments conduit alors aux équations suivantes : M m I ‘ 2 + = Ω ρ  (7) EI n n Mn n Q m I n n n ( ) ∧ + + ∧ + = ∧ + Ω  » ‘ ‘ 2 σ ρ ⊥ ( )            (8) La multiplication vectorielle à gauche par n  de l’équation (8) conduit à : ( )  » − + ∧ − + ∧ = − + Ω ∧ EIn M n n Q n m In I n n ⊥ ‘ ‘ 2 σ ρ ρ ⊥ ⊥            (9) ce qui donne : ( )  » σ ρ ρ ‘ ‘ 2 Q EIn n Mn m I n In = − + ∧ + − Ω + ⊥ ⊥ ⊥          (10) avecσ ‘ 1  , ( )  »  »  » n n n n n . ⊥ ⊥ ⊥ = −      et n n n n n ⊥ = −( . )         . Dans la suite du calcul, nous supposons que m 0 ⊥ =   . Cette hypothèse est justifiée dans notre cas, compte tenu de la nature des efforts extérieurs appliqués sur la structure.