Modélisation de la propagation du son dans un milieu poreux flexible par la methode des éléments finis

 Modélisation de la propagation du son dans un milieu poreux flexible Introduction

La description de la propagation d’ondes dans le cas d’un milieu saturé est plus compliquée que dans le cas des pores vides, car les deux phases, solide et fluide, influencent le comportement macroscopique du milieu. La détermination des caractéristiques acoustiques effectives a été menée par une technique d’homogénéisation [19] [29]. Cette méthode a été utilisée par Boutin et Auriault (1990) pour obtenir les équations macroscopiques par la résolution des problèmes locaux dans le solide et dans le fluide

Le problème rigide

Dans cette section nous établissons les équations modélisant le passage d’une onde acoustique dans un milieu poreux sec. Nous considérons que le matériau poreux est indéformable c’est-à-dire que le squelette ne peut pas bouger [32]. Cette première étape dans la modélisation nous permet de comprendre le découplage des équations en température d’une part, et celles en déplacement d’autre part [33] [34]. Cela est dû à l’hypothèse d’incompressibilité du fluide. Pour cette étude, nous commençons par admettre les propriétés suivantes : – le système est conservatif ce qui justifie l’utilisation d’une équation de conservation de la masse ; – le fluide est assimilé à un gaz parfait, ce qui nous permet d’utiliser la formule des gaz parfaits ; – nous nous plaçons en situation adiabatique ; – le fluide est assimilé à un milieu incompressible, ce qui se traduit par la nullité de la divergence de la vitesse. III.1.1 Equation au niveau fluide Les différentes équations s’écrivent : Equation d’état de gaz parfait : 0 0 p v p C C ρ T = − dansΩ f (3.1a)   ou 0 0 0 p P T ρ τ ρ = + (Equation de gaz parfait) Equation de conservation de la quantité de mouvement pour la vitesse : 0 ( ) f f f v v t ρ σ ∂ = ∇ ⋅ ∂ dansΩ f (3.1b) Equation de continuité : 0 0 f v t ρ ρ ∂ + ∇ ⋅ = ∂ dansΩ f (3.1c) Equation de conservation de la quantité de mouvement pour la température : 0 p t ( ) T C t ρ σ τ ∂ = ∇ ⋅ ∂ dansΩ f (3.2) avec σ η η f f f f (v p pId v Id e v , ) = − + ∇⋅ + 1 2 ( ) (loi de comportement fluide newtonien) et σ τ τ t d ( ) = ∇ K (loi de Kelvin pour la conduction) Nous reformulons donc les équations données par (3.1)-(3.2) sous la forme : 0 1 1 2 ( ) ( ) 0 0 0 f f f f p d v p v v t p v t P T p C K t t ρ η η η τ τ ρ τ  ∂ = −∇ + ∆ + + ∇ ∇⋅ ∂ ∂   ∇⋅ = − −   ∂   ∂ ∂ − = ∆∂ ∂ (3.3) où ρ0 est la masse volumique de l’air, T0 la température ambiant, P0 la pression atmosphérique, Cp la chaleur massique à pression constante, Cv la chaleur massique à volume constant, f v la vitesse du fluide interstitiel, p la pression, Kd la conductivité thermique,τ la température, η1 etη 2 sont les viscosités cinématiques du fluide.    III.1.2 Equation au niveau du squelette La propagation du son dans le solide est décrit localement dans chaque domaine poreux par l’équation de conservation de la dynamique dans le solide qui est défini par : ( ) 2 2 s s s s u u t ρ σ ∂ = ∇ ⋅ ∂ dans Ωs (3.4) avec ( ) 1 1 , , , ( ) s s s k k ij s i j j i u u u u t t σ λ η δ µ η   ∂ ∂ = + + + +         ∂ ∂ (la loi de comportement viscoélastique linéaire) où s u le déplacement solide, ρs la masse volumique du solide, ij δ le symbole de Kronecker, ηs l’amortissement structurel du solide, λ et µ sont les coefficients de Lamé. III.1.3 Condition d’adhérence A l’interface, la continuité des vitesses et des contraintes conduit sont ( ) , ( ) s f f s f s u v t σ σ v p n u n  ∂ = ∂ =  surΓ (3.5) où n  est le vecteur normal extérieur Finalement, nous obtenons le système suivant : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 1 2 0 0 0 dans 0 dans dans 1 1 dans sur , f f f f f f p d f s s s s s s s s s f f s f s v p v v t p v t P T p C K t t u u u u t t t u v t u p n u n sur ρ η η η τ τ ρ τ ρ λ η µ η σ σ ∂ = −∇ + + ∇ ∇ ⋅ + ∆ Ω ∂ ∂     − + ∇ ⋅ = Ω ∂   ∂ ∂ − = ∆ Ω ∂ ∂ ∂     ∂ ∂ = + ∇ ∇ ⋅ + + ∇ ∇ ⋅ + ∆ Ω       ∂ ∂ ∂     ∂ = Γ ∂ = Γ   (3.6)

 Linéarisation

Nous considérons une perturbation harmonique ( i t e ω ) de petite amplitude de l’état d’équilibre thermodynamique ambiant, perturbation liée au passage de l’onde sonore dans l’équation fluide-structure [25]. Nous avons : ˆ ˆ ˆ i t f s i t s s i t s i t s v ve v u ue u p pe p T e T ω ω ω ω τ  = + = + = += +  (3.7) Dans la suite, les partie dynamique s u ,Ts , s v et s p seront ignorés puisqu’elles peuvent être prise constantes. En outre, comme par la suite nous n’aurons besoin que des termes linéaires de (3.7), et le facteur i t e ω étant présent sur toutes les termes nous ne travaillons que sur vˆ , uˆ et pˆ que nous notons maintenant respectivement v , u et p .Nous le définissons comme le fait Adeline Augier dans [13] par ( ) ( ) 0 , , t f f u x t v x s ds =  (3.8) En utilisant le fait que les variables s u , f v et p sont harmoniques en temps c’est-àdire écrites comme en (3.7) et en utilisant (3.8) c’est-à-dire ( , 1 ) ( )( ) i t f f u x t u x e ω = − (3.9) avec f f v u iω = Nous obtenons le système couplé fluide-structure suivant : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 1 2 0 0 0 0 0 2 * dans 0 dans dans dans sur , f f f f f f p d f s s s s s f s f s f s u p i u u p u P T i C i p K u u u u u u p n u n sur ρ ω ω η η η τ ωρ τ ω τ ρ ω λ µ µ σ σ ∗ ∗ − = −∇ + + ∇ ∇ ⋅ + ∆ Ω      − + ∇ ⋅ = Ω   = + ∆ Ω = − + ∇ ∇ ⋅ − ∆ Ω = Γ = Γ
  (3.10) avec ( , ) 1 2 ( ) f f f f σ ω η η u p pId i u Id e u = − + ∇ ⋅ +    , ( ) ( ) ( ) * * 2 s tr s s s σ λ µ u e u Id e u = + , λ λ η (1 s i) ∗ = + et ( ) 1 µ s µ η i ∗ = + où * λ et * µ sont les coefficients de Lamé complexe III.1.5 Evaluation des nombres adimensionnels Du système (3.6) se dégagent quatre nombre adimensionnels [12] [20]. III.1.5.1 Le nombre de Reynolds Rt : Le nombre de Reynolds transitoire est défini par : 0 2 f t f v t R v ρ η ∂ ∂ = ∆ (3.11) Le nombre de Reynolds transitoire local peut prendre deux expressions : les équations (3.12) et (3.13). 2 2 0 2 1 tl b l R ρ ω η λ   = =     (3.12) avec 2 0 b η λ ωρ = (3.13) La longueur λb est une longueur caractéristique de la couche limite visqueuse le long de Γ : lorsque la fréquence ω est très élevée, le terme d’inertie des équations de Navier-Stokes devient prépondérant par rapport au terme visqueux. Ainsi si la fréquence est importante, le fluide se comporte comme un fluide parfait. Néanmoins il se développe une couche limite le long de l’interface fluide-solide Γ , où toute la dissipation visqueuse s’effectue, et l’épaisseur de cette couche limite estλb . λb augmente lorsque la fréquence ω diminue, en prenant pour cadre d’étude le cas où le terme d’inertie transitoire local est du même ordre de grandeur que le terme de viscosité microscopique, nous admettons que le nombre de Reynolds transitoire local est R O tl = (1) . Ce qui correspond à une épaisseur de la couche limite λb qui est du même ordre de grandeur que la taille des pores.