Modélisation de la propagation non-linéaire dans une fibre optique

L’équation non-linéaire de Schrödinger

L’équation non-linéaire de Schrödinger est une équation qui gouverne la propagation des impulsions dans la fibre optique. Elle est obtenue à partir des équations de Maxwell, qui gouvernent la propagation des ondes électromagnétiques dans un milieu. Cette equation est valable pour des impulsions plus larges qu’une picoseconde [22]. Si on ne tient pas compte des effets Raman et Brillouin, la propagation d’impulsions dans une fibre optique monomode est affectée par trois phénomènes principaux : les pertes, la dispersion de vitesse de groupe (ou dispersion chromatique) et la non-linéarité de type Kerr. Les influences de ces phénomènes sont décrites par l’équation non-linéaire de Schrödinger (ENLS). La forme usuelle de cette équation est la suivante [22] : i ∂U(z, τ ) ∂z + i α 2 U(z, τ ) − 1 2 β2 ∂ 2U(z, τ ) ∂τ 2 + γ|U(z, τ )| 2U(z, τ ) = 0, (2.1) où U(z, τ ) est l’enveloppe lentement variable du champ électrique, z la distance de propagation, α les pertes, β2 la dispersion chromatique, τ le temps (défini dans un repère qui se propage à la même vitesse de groupe que l’impulsion) et γ le coefficient non-linéaire qui est décrit par l’équation (1.30). L’ENLS possède une autre forme où les paramètres sont normalisés et les pertes négligées. Cette forme normalisée est très utile dans le traitement de la transmission soliton [22] : i ∂u ∂ξ + β2 |β2| 1 2 ∂ 2u ∂T2 + |u| 2u = 0, (2.2) où ξ est la distance normalisée ξ = z/LD, LD est la longueur de dispersion définie à l’équation (1.24), T = τ /T0 est le temps normalisé et u le champ électrique normalisé : u = N U √ P0 (2.3) où N est l’ordre soliton défini par : N 2 = LD LNL (2.4) avec LNL la longueur non-linéaire définie à l’équation (1.32). Lorsque les effets non-linéaires d’ordre supérieur et les effets dispersifs d’ordre supérieur ne sont plus négligés (par exemple si la durée de impulsions est très inférieure à la picoseconde 2.2. La méthode split step Fourier de base 45 et/ou la dispersion β2 de la fibre est négligeable), l’équation (2.1) prend la forme généralisée suivante [22] : ∂U ∂z + α 2 U + i 2 β2 ∂ 2U ∂τ 2 − i 6 β3 ∂ 3U ∂τ 3 = iγ[|U| 2U + i ω0 ∂ ∂τ (|U| 2U) − TRU ∂|U| 2 ∂τ ] (2.5) où β3 est la dispersion du troisième ordre, ω0 = 2πc/λ0 la fréquence angulaire et TR la constante de temps Raman. Si l’on prend en compte le phénomène de modulation de phase croisée ou la biréfringence de la fibre, l’ENLS devient dégénérée en deux ENLS couplées [22]. Si l’on prend en compte le gain éventuel de la fibre (fibre dopée aux terres rares tels que Er3+, Yb3+ …), l’ENLS devient l’équation de Ginzburg-Landau [89–91]. Quelle que soit la forme de l’ENLS, les méthodes numériques pour la résoudre reposent presque toutes sur le même principe. Nous ne décrivons donc ces méthodes de résolution que dans le cas de la version simplifiée de l’ENLS donnée par la relation (2.1). Cette relation est une équation différentielle du deuxième ordre en temps et différentielle du premier ordre en distance. Cette équation ne possède pas de solution analytique, sauf dans le cas de la transmission soliton [22], lorsque les pertes sont négligées, où la méthode dite inverse scattering method peut être utilisée. Dans le cas général, des méthodes numériques doivent être utilisées. Parmi elles, la méthode split-step Fourier (SSF) est la plus utilisée en raison de sa simplicité et de son efficacité [92]. Par la suite, nous allons présenter cette méthode en détail.

Les principales limitations de la méthode SSF 

Nous venons de décrire la méthode SSF de base dans laquelle certaines approximations ont été utilisées. Ces approximations influencent la précision de la résolution en provoquant un écart plus ou moins important entre la solution numérique et la solution exacte. De plus, l’échantillonnage du signal, lié à la résolution numérique, est une source supplémentaire d’erreur. Par la suite, nous considérons en détail les facteurs qui influencent la précision du résultat de la méthode SSF ainsi que des solutions qui ont été développées dans la littérature pour limiter les erreurs.

La résolution et la fenêtre temporelle du signal 

Dans les simulations numériques ainsi que dans l’utilisation de la méthode SSF, la détermination de la résolution en temps et en fréquence ainsi que la fenêtre temporelle et spectrale pour décrire le signal est très importante. Un bon choix des paramètres pour échantillonner le signal va réduire les erreurs de simulation. C’est le choix de ces paramètres qui permet d’obtenir les résultats numériques les moins erronés possible dans un temps de calcul acceptable. Il est évident que plus la résolution est fine, moins les résultats sont erronés, mais plus les calculs sont longs. Il y a donc un compromis à respecter. Nous rappelons ici que ce compromis est dicté par les quelques règles de base suivantes. – Pour le calcul de la transformée de Fourier, la méthode SSF utilise un algorithme qui s’appelle FFT (Fast Fourrier Transform) [96]. Pour optimiser l’utilisation de cet algorithme, le signal doit être échantillonné uniformément par 2 m échantillons. – Selon le théorème de Nyquist [97], il faut prendre une fréquence d’échantillonnage égale à au moins deux fois la fréquence maximale du signal pour pouvoir reproduire le signal à partir de ces échantillons. La résolution en temps du signal dépend donc du signal à simuler. – Au cours de la transmission, le signal à simuler peut être élargi sous l’influence de la dispersion. Pour que l’élargissement du signal ne déborde pas de la fenêtre du signal, la fenêtre temporelle doit être assez grande. Généralement, il est conseillé de prendre un rapport d’environ 20 à 30 entre la fenêtre temporelle et la durée à mi-hauteur du signal [22]. Si l’on respecte ces quelques règles de base, on s’assure que les erreurs de simulation ne seront pas dictées par un mauvais fenêtrage du signal. 

La non-commutativité des opérateurs

Dans ce paragraphe nous présentons l’erreur de simulation liée à la non-commutativité des opérateurs linéaires et non-linéaires et présentons les méthodes SSF d’ordre supérieur qui permettent de limiter cette erreur. Au cours du passage de l’équation (2.10) à l’équation (2.12), nous avons supposé que les opérateurs Lˆ et Nˆ commutaient. En général, ils ne sont pas commutatifs et pour la décomposition du membre de droite de l’équation (2.10), une méthode plus rigoureuse consiste à appliquer la formule de Baker-Hausdorff [98,99]. Pour deux opérateurs Lˆ et Nˆ quelconques, cette relation permet d’écrire : exp(Lˆ)exp(Nˆ ) = exp ½ Lˆ + Nˆ + 1 2![Lˆ, Nˆ ] + 1 3! ³hLˆ, [Lˆ, Nˆ ] i + h [Lˆ, Nˆ ], Nˆ i´ + …¾ (2.16) où [Lˆ, Nˆ ] = LˆNˆ − NˆLˆ est le commutateur de Lˆ et Nˆ . On constate alors que l’équation (2.11) est une approximation au premier ordre de l’équation (2.10). La précision de cette approximation est du second ordre en h. En effet, l’erreur liée à l’approximation au premier ordre s’écrit : ² = 1 2![hLˆ, hNˆ ] = h 2 1 2![Lˆ, Nˆ ] ∼ h 2 (2.17) La méthode SSF obtenue en utilisant l’approximation au premier ordre (2.11) s’appelle la méthode SSF du premier ordre (f-SSF pour first-order SSF). En raison de la non-commutativité des deux opérateurs, pour améliorer la précision de la méthode SSF, il faut augmenter l’ordre d’approximation dans la décomposition de la partie droite de l’équation (2.10). Plus l’ordre de l’approximation est élevé, plus la solution est précise [100]. Cependant, l’algorithme SSF sera plus complexe et son temps de calcul sera plus long. Pour cette raison, la plupart des utilisateurs se limitent à la méthode SSF du deuxième ordre (s-SSF pour second-order SSF).