Modélisation du comportement mécanique du AC-SMC

Modélisation du comportement mécanique des SMC

Les caractérisations à plusieurs échelles et pour différents modes de chargement (quasi-statique, cyclique, multiaxial) du comportement des matériaux composites SMC ont servi à l’établissement de différents modèles mécaniques. Ces modèles permettent d’en modéliser le comportement effectif en régime linéaire ou non linéaire. Afin de poursuivre l’analyse des différences entre ces matériaux, une comparaison non exhaustive de différentes approches développées dans la littérature est proposée ici. Cette étude, dont l’accent porte sur les différences en termes de méthodes d’identification et de pouvoir prédictif, nous permet de conclure sur les avantages et inconvénients des stratégies de modélisation adoptées et de justifier la forme du modèle choisi dans ce travail.

Modélisation phénoménologique d’un SMC-R30

Le développement d’un modèle constitutif à l’échelle macroscopique, intégrant une théorie continue de l’endommagement (Lemaitre et. al. [1]) et de la déformation plastique ou viscoplastique, est fréquemment adopté en raison de son efficacité en terme de simulation de structures. Ce type de modèle est alors généralement implémenté dans un solveur par éléments finis. Par cette approche, le comportement effectif macroscopique du matériau composite est décrit à travers des variables observables et/ou internes tirée de l’observation des phénomènes observés. Il n’y a pas de séparation ni transition d’échelles ou une approximation de champs locaux. La nature même de ce type d’approche repose sur la description des phénomènes au moyen de critères macroscopiques et de lois d’évolution. Les différents modèles existants dans la littérature ont des formulations similaires. Ainsi, parmi l’ensemble de ces modèles nous avons choisi de nous focaliser sur le modèle phénoménologique proposé par Mir et al. [1]. Ce dernier propose une formulation caractéristique des modèles phénoménologiques tenant compte de l’anisotropie de l’endommagement et le couplage endommagement-anélasticité observé dans les composites. Après avoir caractérisé le comportement mécanique d’un matériau composite SMC, Mir et. al. [2][3] proposent un modèle, identifié et validé expérimentalement sur différentes bases de données disponibles dans la littérature scientifique. L’analyse du comportement mécanique met en lumière trois phénomènes : (i) le comportement du matériau est isotrope dans le plan de thermocompression ; (ii) il existe un couplage entre l’endommagement et les déformations permanentes (celles-ci ne sont pas dues à un comportement plastique de la matrice polyester) ; (iii) le comportement purement élastique est dissymétrique entre traction et compression. En traction, la réponse dans le plan (𝜎 − 𝜀) est élastique endommageable, tandis qu’en compression dans le même plan le comportement est élastique fragile (absence de comportement non linéaire, rupture fragile).

Définition des variables

Le modèle proposé par Mir [2][3] s’inscrit dans le cadre de la Thermodynamique des Processus Irréversibles (TPI) à travers l’écriture d’un potentiel thermodynamique. L’endommagement est pris en Manuscrit de thèse C. Nony-Davadie ENSAM 150 compte à travers une variable interne tensorielle (tenseur d’ordre deux) dont les effets sur le comportement du matériau sont pris en compte à travers un opérateur d’endommagement (défini en termes d’équivalence en énergie de déformation) et une fonction d’évolution pour le calcul des déformations anélastiques. Le potentiel thermodynamique ici postulé est de la forme de celui de Gibbs, les variables associées sont les suivantes : Phénomènes Variables Type d’états Internes Associées Elasticité Tensorielles 𝜎 𝜀 Endommagement Tensorielles 𝐷 𝑌 Déformations résiduelles Tensorielles 𝜀 𝐷 𝜎 Tableau 12: Récapitulatif des variables du modèle Mir-Hicham

Potentiel Thermodynamique

Le potentiel thermodynamique postulé est le suivant : 𝜌𝜓 ∗ = 1 2 ⏟⁄ 𝝈 : 𝑴̃ : 𝝈 + 𝝈⏟ : 𝑨 : 𝑫 𝜌𝜓 ∗,𝑒 + 𝜌𝜓 ∗,𝐷 18 Le potentiel postulé est constitué de deux termes : le premier 𝜌𝜓 ∗,𝑒 traduit la dégradation des propriétés mécaniques, quand le second 𝜌𝜓 ∗,𝐷 représente les déformations résiduelles anélastiques dues à la refermeture partielle des microfissures générées dans le matériau. Les différentes variables sont la contrainte mécanique appliquée 𝝈 et le tenseur d’endommagement 𝑫. Les tenseurs 𝑴̃ et 𝑨 sont respectivement les tenseurs de rigidité effectif du matériau et l’opérateur des déformations résiduelles liées à l’endommagement. L’opérateur des déformations résiduelles est un tenseur symétrique d’ordre quatre, dont les coefficients sont des constantes du matériau.

Variable d’endommagement

Selon les auteurs et sur la foi des observations réalisées, l’endommagement se développant dans le matériau est anisotrope et dépend de la direction principale de sollicitation. Ceci les amènes à privilégier un tenseur d’ordre deux leur modèle. Les effets de couplages de l’endommagement entre les différentes directions étant considéré négligeable, le tenseur d’endommagement postulé est diagonal et défini de la façon suivante : 𝑫 = 𝛿𝑖𝑗 𝐷𝑖 𝑛𝑖𝑛𝑗 19 Ce tenseur maintenant défini, il lui est associé un opérateur d’endommagement. Lequel est défini selon les travaux de Chen et. al. [5], dans le cadre de la théorie des milieux continus : Manuscrit de thèse C. Nony-Davadie ENSAM 151 𝑶 −𝟏 (𝑫) = 𝛿𝑖𝑘𝛿𝑗𝑙 √(1 − 𝐷𝑖 )(1 − 𝐷𝑗) 𝑛𝑖𝑛𝑗𝑛𝑘𝑛𝑙 20 De façon analogue aux cas précédents, le tenseur de souplesse effectif est défini comme suit : 𝑴̃ = 𝑶 −𝟏 (𝑫):𝑴: 𝑶 −𝟏 (𝑫) 21 Pour un comportement plan, le tenseur de rigidité effectif du matériau est alors de la forme suivante : 𝑴̃ = [ (𝐸(1 − 𝐷1 ) 2 ) −1 −𝜈(𝐸(1 − 𝐷1 )(1 − 𝐷2 )) −1 0 −𝜈(𝐸(1 − 𝐷1 )(1 − 𝐷2 )) −1 (𝐸(1 − 𝐷1 ) 2 ) −1 0 0 0 (𝐺(1 − 𝐷1 )(1 − 𝐷2 )) −1 ] 22 Avec {𝐸, 𝜈, 𝐺} respectivement le module d’élasticité et le coefficient de Poisson et le module de cisaillement du SMC-R30. De leur côté, {𝐷1,𝐷2 } sont les variables d’endommagement dans le plan. Les effets de l’endommagement dans les différentes directions du matériau sont pris en compte, et la dégradation de chacune des propriétés mécaniques peut être évaluée. 5.1.1.4 Forces thermodynamiques et lois d’évolution Deux forces thermodynamiques associées aux variables internes dérivent du potentiel de Gibbs proposé : 𝜺 = 𝜌 𝜕𝜓 ∗ 𝜕𝝈 = 𝑴⏟̃ : 𝝈 + 𝑨⏟: 𝑫 𝜺 𝑒 + 𝜺 𝐷 𝒀 = 𝜌 𝜕𝜓 ∗ 𝜕𝑫 = 𝝈:[ 1 2 ( 𝜕𝑶 −𝟏 (𝑫) 𝜕𝑫 : 𝑴: 𝑶 −𝟏 (𝑫) + 𝑶 −𝟏 (𝑫):𝑴: 𝜕𝑶 −𝟏 (𝑫) 𝜕𝑫 )]: 𝝈 ⏟ + 𝝈⏟:𝑨 𝒀 𝐷 + 𝒀 𝜺 23 Que ce soit pour la déformation ou le taux de restitution d’énergie élastique, leur expression est la somme de deux termes : le premier est lié au comportement élastique endommageable, le second aux effets résiduels. L’analyse convexe appliquée à la thermodynamique des processus irréversibles [6] a démontré que le second principe est automatiquement respecté si la loi d’évolution des variables internes est exprimée en fonction de leurs variables associées au travers d’un potentiel de dissipation qui doit vérifier un certain nombre de propriétés [6][7]. Les couplages entre les différentes directions d’endommagement sont pris en compte au moyen d’une grandeur équivalente dépendant des forces thermodynamiques associées aux variables Manuscrit de thèse C. Nony-Davadie ENSAM 152 d’endommagement. Dans le cas de sollicitation plane, cette grandeur équivalente est définie par la relation (24) : 𝑌𝑖 ̂(𝑡) = 𝑚𝑎𝑥{𝑌0, 𝑠𝑢𝑝𝑡≤𝜏(𝑌𝑖 + 𝑏 ∗ 𝑌𝑗)}; 𝑖 ≠ 𝑗, 24 Où 𝑌0 représente le seuil d’endommagement et 𝑏 le paramètre de couplage. L’endommagement est alors calculé en fonction de cette grandeur équivalente : 𝐷𝑖 = 𝑓 (𝑌𝑖 ̂(𝑡)) 25 Les observations expérimentales réalisées permettent de décrire la forme de la fonction d’évolution de l’endommagement, avec 𝑎 le paramètre d’évolution d’endommagement : 𝐷𝑖 = 𝑓(𝑌𝑖 ̂) = 𝑎 ∗ (𝑌𝑖 ̂ − 𝑌0) 26 Dans le cas de sollicitations planes, les déformations résiduelles induites par l’endommagement sont calculées à travers une loi d’évolution linaire. Celle-ci est postulée par les auteurs à partir des observations expérimentales réalisées. En notation de Voigt (voir Annexe A) ce tenseur est de la forme suivante : 𝑨 = [ 𝛼 −𝛽 0 −𝛽 𝛼 0 0 0 0 ] → { 𝜀11 𝐷 = 𝛼 ∗ 𝐷1 − 𝛽 ∗ 𝐷2 𝜀22 𝐷 = 𝛼 ∗ 𝐷2 − 𝛽 ∗ 𝐷1 27 Dans le cadre de sollicitation planes, le modèle proposé par Mir [2][3] comporte alors trois paramètres d’endommagement {𝑎, 𝑏, 𝑌0 } et deux paramètres associées aux déformations résiduelles {𝛼, 𝛽}. Soit cinq paramètres. 5.1.1.5 Identification et validation du modèle 5.1.1.5.1 Identification des paramètres du modèle Le modèle est identifié sur les bases de données expérimentales constituées lors de leurs travaux [2][4] à partir d’essais de traction, compression et cisaillement quasi-statiques, monotones et avec charges-décharges incrémentales. La dégradation du module d’élasticité au fil des charges et l’évolution des déformations résiduelles sont enregistrés à chaque essai. La base de données ainsi obtenue est ensuite utilisée pour évaluer les paramètres du modèle. Le chargement cyclique permet de mesure la dégradation du module d’élasticité endommagé au fil des cycles, et par conséquent d’évaluer la variable d’endommagement dans la direction de sollicitation : 𝐸1 = 𝐸(1 − 𝐷1 ) .