Modélisation et équation différentielle

La radioactivité se manifeste dans tout l’Univers. On peut utiliser les éléments radioactifs comme des horloges. Selon leur nature et leur durée de vie, ils peuvent renseigner sur l’âge de l’Univers, l’âge de la Terre, les proces-sus géologiques et même l’histoire de l’humanité. On se propose ici de déterminer les dates de tremblements de terre qui se sont produits au cours des siècles à proximité de la faille de San Andreas en Californie.Deux scientifiques, Anderson et Libby, ont eu l’idée d’utiliser la radioactivité naturelle du carbone 14C pour la datation. Les êtres vivants, végétaux ou animaux, assimilent du carbone. La proportion du nombre de noyaux de 14C par rapport au nombre de noyaux de 12C reste constante pendant toute leur vie. À la mort de l’organisme, tout échange avec le milieu naturel cesse et les atomes de 14C disparaissent peu à peu. La radioactivité décroît alors avec le temps selon une loi exponentielle, qui permet d’atteindre un ordre de grandeur de l’âge de l’échantillon analysé. On admet que le rapport entre le nombre de 14C et 12C est resté constant dans les êtres vivants au cours des derniers millénaires. 2.1. On note N(t) le nombre de noyaux radioactifs d’atomes de « carbone 14 » à un instant de date t pour un échantillon et N0 le nombre de noyaux radioactifs à un instant pris comme origine des dates (t0 = 0 s) pour ce même échantillon. On note  la constante radioactive. Écrire la loi de décroissance radioactive.

L’Artémia est le nom scientifique d’un petit crustacé qui possède la particularité de pouvoir vivre dans des milieux très salés tels que certains lacs et marais salants. Pour se développer les Artémia ont besoin de vivre dans un mi-lieu marin dont la teneur (ou la concentration massique) moyenne en ions chlorure Cl– est supérieure à 30 g.L-1. Dans ces conditions, leur développement n’est pas compromis car les prédateurs aquatiques ne supportent pas des conditions salines aussi élevées. Avant d’implanter un élevage d’Artémia dans des marais salants du Sud de la France, on se propose de déter-miner la concentration en ions chlorure d’un prélèvement d’eau d’un marais de la zone choisie. Cette eau con-tient exclusivement des ions sodium et des ions chlorure. La méthode utilisée permet de doser les ions chlorure par précipitation avec les ions argent Ag+. La réaction de précipitation Ag+(aq) + Cl–(aq) = AgCl(s) peut être considérée comme totale (taux d’avancement  quasiment égal à 1). Le chlorure d’argent formé est un solide blanc.

L’indicateur coloré de fin de réaction est préparé en dissolvant quelques grains de dichlorofluorescéine dans un mélange eau-éthanol (méthode de Fajans). La solution obtenue a une couleur jaune. La présence d’ions sodium Na⁺, chlorure Cl^– ou nitrate (NO₃^–) ne modifie pas la couleur de la dichlorofluorescéine. Par contre, en présence d’ions Ag⁺, la solution de dichlorofluorescéine prend une couleur rose-rouge.On prépare deux tubes à essais, numérotés 1 et 2. Dans chaque tube, on mélange 2,0 mL de solution de chlorure de sodium (Na⁺_(aq) + Cl^–_(aq)) de concentration 0,10 mol.L^-1 et quelques gouttes de solution de l’indicateur coloré préparé avec la dichlorofluorescéine.- Dans le tube n°1, on ajoute 0,5 mL de solution de nitrate d’argent (Ag+(aq) + NO3–(aq)) de concentration 0,10 mol.L-1. – Dans le tube n°2, on ajoute 2,2 mL de solution de nitrate d’argent de concentration 0,10 mol.L-1. a) Quel est le réactif en excès dans chacun des tubes ? Justifier. b) Quel est l’aspect et la coloration du contenu de chaque tube ? 2. Principe du dosage On veut doser un volume V1d’une solution S1 d’ions chlorure par une solution S2 de nitrate d’argent de concentra-tion C2. a) Faire un schéma annoté du dispositif de titrage. b) Définir l’équivalence et expliquer brièvement comment la déterminer.

Préparation de la solution à doser En septembre 2003, après un été caniculaire, on a prélevé un échantillon d’eau dans un marais salant, de la zone prévue pour implanter l’élevage d’Artémia. On dilue 10 fois cette eau pour obtenir la solution S1 à doser. a) On souhaite obtenir 50 mL de la solution S1. Quel volume d’eau doit-on prélever ? b) Désigner et nommer la verrerie à utiliser pour effectuer cette dilution. Expliquer brièvement le mode opératoire. 4. Exploitation du dosage On réalise le dosage d’un volume V1 = 10,0 mL de solution S1 par une solution S2 de nitrate d’argent de concentra-tion C2 = 1,00  10 –1 mol.L-1. Le volume de nitrate d’argent versé à l’équivalence est : VE = 15,2 mL. a) Déterminer la concentration molaire des ions chlorure dans la solution S1. b) En déduire la concentration molaire des ions chlorure dans l’eau du marais. c) Cette eau est-elle favorable au développement des Artémia ?