Modélisation mathématique 

Modèles sans modélisation explicite de la limitation par le substrat 

La modélisation des fonctions de croissance est une des principales difficultés dans cette modélisation, car c’est une fonction complexe comprenant de nombreux facteurs physico-chimiques et biologiques. De plus elle est fortement dépendante du substrat et des espèces particulières. C’est dans un contexte expérimental que plusieurs expressions analytiques, pour la fonction de croissance, ont été obtenues, nous ne ferons ici qu’un rappel de quelques unes, les plus connues. Avant de présenter les principaux modèles primaires de croissance à l’origine de la plupart des travaux de modélisation, nous rappelons ci-après les principales étapes de la croissance d’une population microbienne.

Modèles descriptifs 

La croissance microbienne se traduit par une augmentation en taille ou en nombre des microorganismes. Pour provoquer une croissance microbienne dans une culture il faut fournir aux cellules initiales les nutriments nécessaires et des conditions environnementales favorables. Le schéma de la croissance d’une population microbienne en culture discontinue (c’est-à-dire milieu non renouvelé) établi par Buchanan se décompose alors traditionnellement en sept phases distinctes : 1. La phase de latence : elle correspond à une phase de transition entre un état physiologique initial et un état de croissance à proprement parlé. Il s’agit d’une phase d’adaptation au nouvel environnement. Cette phase dépend soit de l’âge de l’inoculum, soit d’une adaptation enzymatique. Par ailleurs, dans certaines conditions, la concentration initiale en cellules est si faible qu’il est difficile de quantifier l’augmentation du nombre d’individus. Ce phénomène est considéré comme une pseudo-latence. La phase de latence peut être limitée en utilisant comme inoculum une préculture prélevée en phase exponentielle. Ils existent différentes façons pour déterminer une valeur de temps de latence à partir de la mesure de l’évolution de la population microbienne. (a) Buchanan et Solberg (1972) ont défini le temps de latence λ comme le temps nécessaire pour augmenter deux fois la densité de la population initiale. (b) Pirt (1975) a défini la latence comme la période de transition où la vitesse spécifique de croissance augmente jusqu’à sa valeur maximum µ. Étant donné la forme typique d’une courbe sigmoïdale de croissance observée dans un environnement constant, la durée du temps de latence λ peut être obtenue par l’intersection de la courbe extrapolée de la tangente de la phase exponentielle de la courbe de croissance, et du niveau de population initiale x0. Zwietering et al. (1992) ont recommandé que cette définition soit employée systématiquement pour calculer le temps de latence afin de faciliter la comparaison des valeurs de la littérature. Cette définition est de nos jours la plus répandue. Cependant, elle est parfois difficilement applicable lorsque les courbes de croissance n’ont pas l’allure d’une sigmoïde parfaite. Il est alors difficile de tracer la ’tangente évidente’ en phase exponentielle et suivant le tracé de celle-ci les valeurs des temps de latence peuvent être très différentes pour de mêmes données expérimentales. (c) Buchanan et Cygnarowicz (1990) ont proposé une définition alternative pour calculer le temps de latence de la croissance bactérienne. Ils ont estimé le temps de latence comme le temps où le changement de la vitesse spécifique de croissance est maximal. Ce temps correspond au premier point de la courbe de la troisième dérivé de log(x) en fonction du temps qui s’annule. Comme nous le voyons, déterminer un temps de latence peut être délicat. Suivant la définition choisie, les valeurs obtenues peuvent être significativement différentes. A ces différences de définition, un autre paramètre jouant sur la valeur obtenue semble être la méthode utilisée pour quantifier la biomasse. Deux méthodes sont généralement employées : (a) La méthode standard est la mesure de comptage de cellules viables. (b) La deuxième méthode est basée sur des mesures d’absorbance ou de densité optique (DO). 8 Chapitre 1 : Modélisation mathématique en culture batch : État de l’art Plusieurs auteurs (Hudson et Mott, 1994 ; Bréand et al., 1997) ont comparé l’influence des deux méthodes sur le temps de latence. Ils ont obtenu systématiquement de plus faibles temps de latence lorsqu’ils ont utilisé la méthode de densité optique (DO). Cette différence sur la mesure entre la DO et le comptage des cellules viables peut s’expliquer par une augmentation de la taille des cellules et non du nombre pendant le temps de latence. Les facteurs influençant la durée du temps de latence sont nombreux et variés : les variations de conditions environnementales ont une influence très importante mais la nature et le phénotype du microorganisme (Buchanan et Cygnarowicz, 1990), l’état physiologique des cellules (McMeekin et al. 1993), la taille de l’inoculum (Augustin et al. 2000) sont aussi des facteurs jouant un rôle important. Plusieurs auteurs se sont intéressés à l’effet de variations de conditions environnementales telles que la température (Buchanan et Klawitter, 1992 ; Hudson, 1993 ; Zwietering et al., 1994 ;Whiting et Bagi, 2002), la vitesse de changement d’environnement (McKeekin et al., 2002), le pH et l’activité de l’eau (Cheroutre-Vialette et Lebert, 2002). Toutes ces études vont dans le même sens, plus les variations sont brusques et importantes plus les temps de latence sont longs. 2. La phase d’accélération : elle commence à partir de l’adaptation effective des cellules à leurs nouvelles conditions de culture. Durant cette période, la valeur du taux spécifique de croissance augmente, jusqu’à atteindre sa valeur maximale. 3. La phase de croissance maximale ou exponentielle : lorsque les concentrations microbiennes sont exprimées en coordonnées semi-logarithmiques en fonction du temps, la pente de la droite correspond au taux spécifique maximal de croissance. Dans cette phase le taux de mortalité est nul, l’activité métabolique est maximale et le taux de croissance est constant. La croissance exponentielle peut être décrite par l’un des deux paramètres suivants : le temps de génération ou le taux de croissance exponentielle. Le temps de génération TG est le temps de doublement de la population. Soit x0 la population initiale, soit t le temps et en faisant abstraction du temps de latence, la taille de la population à l’instant t est donnée par : x = x02 t −λ TG On peut calculer facilement le temps de génération à partir d’une courbe de croissance expérimentale tracée sur une échelle semi-logarithmique. Selon le principe de scissiparité des bactéries,  on a : x = x02 n où n est le nombre de générations. On en déduit : n = log x x0  log(2) On peut également estimer le taux de croissance exponentiel µ en posant l’équation suivante : log(x) = log(x0)+ µ (t −λ), où log est le logarithme népérien. On en déduit : µ = log x x0  t −λ d’où la relation suivante entre le taux de croissance exponentielle et le temps de génération : µ = log(2) TG 4. La phase de décélération ou phase de freinage : elle intervient au fur et à mesure que le substrat s’épuise ou que des produits toxiques s’accumulent. La population continue à croître mais le temps de génération augmente. 5. La phase stationnaire maximale : au cours de cette phase, la population microbienne n’évolue plus (µ = 0) donc la population demeure stationnaire. Il y a un équilibre entre le nombre de nouvelles cellules et le nombre de cellules qui meurent. Cette phase peut durer plusieurs heures et même plusieurs jours. 6. La phase de début de décroissance : elle correspond à un début de disparition des cellules. 7. La phase de décroissance exponentielle de la population : cette phase apparaît lorsque le milieu devient fortement défavorable à la multiplication des micro-organismes et entraîne leur mort rapide. Bien que la forme de la cinétique observée soit simple, la construction d’un modèle décrivant la globalité de la cinétique de croissance n’est pas un problème trivial. De nombreux modèles primaires ont été développés pour représenter les croissances de population microbienne. Les modèles les plus couramment utilisés en microbiologie prévisionnelle pour l’estimation des paramètres de croissance à partir de données observées sont le modèle exponentiel, le modèle logistique et le modèle de Monod qui sont à l’origine de la plupart des travaux de modélisation des 60 dernières années. De très nombreux modèles 10 Chapitre 1 : Modélisation mathématique en culture batch : État de l’art log OD Time Acceleration Exponential Deceleration Stationary Death Exponential death 0 Phases of growth curve Lag FIG. 1.1 – Les phases de croissance non structurés existent. En grande majorité, ce sont en fait de simples adaptations de ces trois modèles. Les courbes de croissance sont ajustées par des modèles de croissance pour extraire les paramètres cinétiques (par exemple temps de latence, taux de croissance, etc.).

Modèles mécanistes Modèle exponentiel (1798) 

La première théorie sur la croissance de populations remonte au XV III ème siècle avec l’essai de Malthus intitulé ”An essay on the principle of population” (Malthus, 1798). Son modèle est le plus simple. Il suppose que la variation de densité bactérienne est décrite par l’équation différentielle linéaire suivante : x˙ = µ x où x est l’effectif de la population considérée à l’instant t,µ est le taux de croissance constante. En supposant la condition initiale x(0) = x0, la solution de l’équation différentielle est : x = x0 e µ t Ce modèle ajuste bien la phase de croissance exponentielle, mais il est mal adapté pour décrire les croissances que l’on observe dans la nature et qui sont généralement limitées. Les autres modèles que nous allons présenter vont permettre de généraliser le modèle exponentiel en intégrant les phases de croissance stationnaire et les transitions entre les différentes phases de croissance. 

Extension du modèle exponentiel

Zamora et Zaritzky ont proposé en 1985 une extension simple du modèle exponentiel permettant de tenir compte de la phase de latence : x(t) = ( x0 si t ≤ λ x0 e µ (t−λ) si t > λ où λ est le temps de latence. Ce modèle suppose que le démarrage de la croissance exponentielle se fait brutalement sans phase de transition et ne prend en compte ni la saturation du milieu ni la décroissance. Généralisation du modèle exponentiel La généralisation du modèle exponentiel peut être faite de la façon suivante : x˙ = µ f(t) g(x) x où f est une fonction décrivant l’évolution du taux de croissance durant la phase de latence et g est une fonction de freinage aboutissant à la phase de saturation du milieu (équilibre naturel entre le milieu et la population microbienne). Le modèle en trois phases linéaires (Buchanan, 1968) Le modèle de Buchanan est un modèle très simple qui peut être décrit par trois phases : la phase de latence, la phase exponentielle de croissance et la phase stationnaire. La formulation mathématique de ce modèle figure ci-dessous : x(t) =    x0 si t ≤ λ x0 e µ (t−λ) si λ ≤ t < tmax xmax si tmax ≤ t x est la densité bactérienne au temps t ; x0 , la densité bactérienne initiale ; µ, le taux spécifique de croissance maximum, xmax, la densité bactérienne maximale et tmax, le temps auquel débute la phase stationnaire (i.e. temps pour lequel la densité bactérienne est maximale, xmax). Le modèle de Buchanan en 3 phases linéaires est utilisé plus récemment dans l’ajustement de données de croissance de E. coli O157 :H7 (Buchanan et al., 1997). Quand on considère une culture de bactéries, peu nombreuses au départ, sur un milieu riche, l’expérience montre que ce modèle exponentiel est correct tant que la nourriture est assez abondante. Pourtant 12 Chapitre 1 : Modélisation mathématique en culture batch : État de l’art on comprend bien que les ressources vont venir à manquer et la population ne pourra pas grandir indéfiniment. Il n’existe pas, pour une raison évidente de limitation de l’espace, de population pour laquelle le modèle exponentiel soit valable jusqu’a la fin du temps ! C’est pourquoi on a rapidement cherché à modifier ce modèle de façon à ’freiner’ sa croissance quand la taille de la population augmente. L’idée est de remplacer la constante µ par une fonction µ(x) qui décroit quand x augmente et qui finit par devenir négative. La population a un taux de croissance de moins en moins fort au fur et à mesure qu’elle croit (les cellules ont de plus en plus de mal à se reproduire) au point de devenir négatif (pour une population trop abondante les cellules commencent à mourir). Plusieurs auteurs ont travaillé sur se sujet, souvent avec des différentes hypothèses sur la fonction µ(x). Historiquement ces modèles ont été introduits par verhulst en 1838.