Modélisation semi-classique du transport dans le transistor MOSFET

Equation de Transport de Boltzmann semi-classique 

Définitions Le système que nous étudions est un gaz classique dilué contenant N porteurs de charge (dans la suite nous nous intéresserons uniquement aux électrons) identiques contenus dans une boîte de volume V. La seule force qui agit sur ce système est la force électromagnétique (dans la suite nous considérerons uniquement le champ électrique) et le rapport n=N/V représente la densité d’électrons. Le mouvement des électrons consiste en une succession de vols libres sous l’effet du champ électrique, interrompus par des interactions. Les collisions jouent un rôle important dans le retour à l’équilibre du gaz en redistribuant l’énergie des électrons. Ces collisions sont considérées comme instantanées, localisées spatialement et à deux corps.

Elles sont décrites par la mécanique quantique, tandis que les trajectoires des porteurs entre les collisions sont décrites par la mécanique classique. A l’instant t=0 précédant l’application d’une force extérieure les électrons occupent les états permis correspondant à une fonction de distribution f(r,p,t). Par définition, f(r,p,t).dr.dp représente le nombre d’électrons qui, à l’instant t, ont une position dans un élément de volume dr centré en r et une quantité de mouvement dans un élément de volume dp centré en p ; ou, en d’autre termes, f(r,p,t).dr.dp représente la probabilité de trouver un électron dans le volume [r, r+dr] de l’espace réel et [p, p+dp] de l’espace réciproque (espace des phases). 

ETB : Equation de Transport de Boltzmann

Nous pouvons maintenant évaluer l’équation d’évolution temporelle de la fonction de distribution. La différentielle totale de la fonction par rapport au temps s’écrit [Kiréev] :  (II.2) Compte tenu des définitions de la vitesse de groupe vg=dr/dt et de la force totale FT=dp/dt on peut écrire . En posant p=ћ.k et en développent FT= Fint+ F (Fint force interne relative aux collisions et F force électrostatique), donc en scindant la force totale en somme des forces internes plus des forces externes, nous obtenons l’Equation de Transport de Boltzmann (ETB) semi-classique qui est également appelée équation cinétique de Boltzmann [Kiréev] [Pottier]:  Le terme de droite de l’équation précédente représente la variation de la fonction de distribution due aux seules collisions.

Déterminons maintenant l’expression du terme de collision ; pour cela on considère que lors d’une collision la particule passe d’un état (r,k) (relatif au volume dτK) à un état (r’,k’) (relatif au volume dτK’) et désignons par S kk )’,( la probabilité de transition par unité de temps ; S kk )’,( est indépendante de r et r’ puisque nous avons fait l’hypothèse que les collisions étaient localisées.