Optimisation du portefeuille : utilisation de la Value-At-Risk (VaR)

Optimisation du Portefeuille selon la théorie moderne 

 La théorie moderne du portefeuille est une théorie financière développée en 1952 par Harry Markowitz. Elle expose comment des investisseurs rationnels utilisent la diversification afin d’optimiser leur portefeuille, et quel devrait être le prix d’un actif étant donné son risque par rapport au risque moyen du marché. Cette théorie fait appel aux concepts de frontière efficiente, coefficient bêta, droite de marché des capitaux et droite de marché des titres. Sa formalisation la plus accomplie est le modèle d’évaluation des actifs financiers ou MEDAF. Dans ce modèle, le rendement d’un actif est une variable aléatoire et un portefeuille est une combinaison linéaire pondérée d’actifs. Par conséquent, le rendement d’un portefeuille est également une variable aléatoire et posséde une espérance et une variance. 

Définitions de quelques concepts Probléme d’optimisation

 Un problème d’optimisation consiste à minimiser ou à maximiser : 1. maximiser (ou minimiser) une fonction « Objectif » de N variables de décisions ;la fonction pouvant être linéaire. Master 2:Recherche Opérationnelle Matar DIADIOU c Université Cheikh Anta Diop de Dakar / 2013 Définitions de quelques concepts 4 2. Les variables étant soumises à un ensemble de contraintes exprimées sous forme d’équations ou d’inéquations linéaires. Formulation mathématique    M aximiser (ou minimiser) sur R N sous la (ou les) contrainte(s) hi(x) = 0, 1 ≤ i ≤ p gj (x) ≤ 0, 1 ≤ j ≤ q les hi sont les contraintes d’égalité notées (h(x) = 0) ;et les gj sont les contraintes d’inégalité notées (g(x) ≤ 0) ;l’ensemble des contraintes est : C = {x ∈ RN , hi(x) = 0, 1 ≤ i ≤ p, gj (x) ≤ 0, 1 ≤ j ≤ q},ensemble des points admissibles ou réalisables. •Valeurs mobilières Les valeurs mobilières sont les titres émis par des personnes morales, publiques ou privées, transmissibles par inscription en compte. Les valeurs mobilières conférent des droits identiques par catégories et donnent accés, directement ou indirectement, à une personne du capital de la personne morale émettrice ou à un droit de créance général sur son patrimoine. •L’action Une action appartient à la catégorie des valeurs mobilières définies ci-dessus. Un détenteur d’actions posséde un titre représentatif d’une partie du capital d’une entreprise privé. •L’option Une option est un actif pour lequel l’acheteur verse au vendeur une somme d’argent (appelée prime de l’option) en date initiale et reçoit en contrepartie ;à une date future, un flux positif ou nul (appelé pay off de l’option) dont le montant dépend de l’évolution d’un actif. •L’obligation Une obligation est un titre de créance représentant la part d’un emprunt obligataire émis soit par des entreprises publiques ou privées, soit par l’état ou des collectivités territoriales. •Titre financier Un titre financier est un titre représentatif d’une partie du capital d’une société (actions) ou d’une partie de sa dette (titres de créances négociables).Un titre financier peut également être émis par un état sous la forme d’un bon ou d’une obligation. •marché financier Le marché financier a comme rôle principal de financier le développement de l’économie (entreprises, état et collectivités),de faciliter le transfert de liquidités des agents ayants des capacités de placement vers ceux qui ont des besoins de financement. •L’actif financier Les actifs financiers constituent une catégorie d’actifs mobiliers acquis le plus souvent sur un marché de capitaux, une expression désignant un marché financier. •La vente à découvert La vente a` découvert permet de vendre aujourd’hui un titre sur le marché boursier en anticipant sa baisse et à le racheter X temps plus tard moins cher, avec pour objectif de réaliser une plus-value. En d’autres termes, la vente à découvert n’est rien d’autre que la vente ou même l’emprunt de titres que l’on ne posséde pas. •Portefeuille Un portefeuille peut être défini comme la représentation de l’ensemble des titres sur lesquels un agent économique a investi sur le marché financier. En d’autres termes, c’est une combinaison linéaire d’un ensemble fini de titres financiers.

 Modéle de Markowitz Harry Max Markowitz est un économiste américain

 Il est l’auteur du modèle de « diversification efficiente» (en matière de choix d’investissement il est possible, par la combinaison judicieuse de plusieurs actifs dans un portefeuille, de réduire le risque total subi pour une rentenbilité espérée donné : c’est l’effet de diversification) des portefeuilles d’actifs financiers. Il est plus connu sous le nom de modéle de Markowitz. Dans l’approche de Markowitz, les différents actifs et portefeuilles sont repèrés par leurs couples (rendement espéré, risque) où le risque est supposé être mesuré par la variance. Le problème de chaque gestionnaire est donc de chercher le portefeuille maximisant son utilité. Ainsi, nous allons tenter, dans ce chapitre, d’exposer les concepts et méthodes introduits par le modèle, de la diversification à la détermination de la frontière efficiente des portefeuilles. 

Hypothèses, cadre général et définition des portefeuilles efficients 

Cadre général et représentation des positions longues et courtes

 Nous considérons, ci-après, un individu qui combine diffférents titres pour construire un portefeuille. L’investissement porte sur une période de durée arbitraire, débutant en t = 0 et s’achevant en t = 1 (on pourra penser à une période d’un an de durée). L’investisseur prend des positions en début de période (t = 0) puis ne réalise aucune transaction par la suite. Il s’intéresse à la valeur de ce portefeuille en fin de période (t = 1). Pour un investissement initial donné, cette valeur finale est univoquement liée à sa rentabilité entre 0 et 1.Le taux de rentabilité (arithmétique), sur la période (0, 1), d’un titre ou d’un portefeuille dont le prix est P0 en t = 0 , P1 en t = 1 et qui distribue un dividente D1 en t = 1 est égal : R = P1 + D1 − P0 P0 Master 2:Recherche Opérationnelle Matar DIADIOU c Université Cheikh Anta Diop de Dakar / 2013 Modéle de Markowitz 6 Dans la suite, pour économie de notation , P1 représente le plus souvent la valeur globale incluant le dividende ; la rentabilité s’écrit alors simplement : R = P1 − P0 P0 Les positions peuvent être longues ou courtes. Dans le cas d’une position longue sur un actif de prix P0 en 0 et P1 (aléatoire) en 1, l’investisseur achète le titre en 0, et dispose d’un patrimoine P1 en 1 : il s’agit d’un investissement générant la séquence : −P0 , P1 dont la rentabilité est R. Dans le cas d’une prise de position courte, l’opérateur vend ou émet le titre en t = 0, ce qui va se traduire par la séquence +P0 ,−P1 (en 0 l’opérateur recçoit P0 euros et en t = 1 l’opérateur induit une réduction de la valeur de son patrimoine de P1 euros ) : il s’agit donc d’un financement (aux taux R) éventuellement destiné à financer les positions longues prises sur d’autres titres. Les prises de positions courtes sont réalisés dans différents contextes et selon différentes procédures telles que : •Un emprunt du titre en 0 (que l’on doit rendre en t = 1) immédiatement suivi (en 0) d’une vente au comptant de ce même titre : il s’agit d’une vente à découvert ; •Une vente à terme du titre ( d’échéance t = 1) , accompagnée d’un emprunt (entre 0 et 1) d’un montant égal au prix au comptant P0 ; •Une émission du titre au prix P0 , P1 étant égal à la valeur de marché de la dette en t = 1 ; •Une simple vente t = 0 d’un titre préalablement présent dans le portefeuille de l’opérateur ; la séquence +P0 ,−P1 s’interpréte alors comme une différence par apport aux flux ou aux valeurs prévalant en l’absence de l’opération. De façon générale, une position sur N titres à une valeur NP, avec N > 0 ou N < 0 selon que la position est longue ou courte : la prise de cette même position génère −NP0 , NP1. 

Portefeuille efficient au sens de Markovitz 

Un portefeuille est efficient au sens de Markovitz s’il permet d’atteindre un niveau de rendement anticipé fixé avec le minimun de risque (c’est-à- dire le minimun de variance) ; ou de manière équivalente , si , pour un niveau de risque donné, il permet d’atteindre le maximun de rendement moyen (espéré). Dans le cas d’une minimisation du risque,on est amené à sélectionner un portefeuille pour chaque rendement (espéré) R¯.Ainsi pour un ensemble de rendements objectifs possibles, il associera un ensemble de portefeuilles appelés les portefeuilles efficients. Dans un repère orthonormé nous représentons les rendements en ordonnée et le risque en abscisse, la frontière des portefeuilles efficients est la représentation de cet ensemble de couples rendement-risque efficients.