Modules-indices

Notations, conventions

Dans ce chapitre, nous présentons un outil algébrique que nous avons introduit dans [60], les modules-indices. On fixe un corps commutatif K et A un sous-anneau de K. On suppose que A est un anneau de Dedekind. Nous appelons idéal fractionnaire de A tout sous-A-module de type fini du corps F ⊆ K des fractions de A. Nous rappelons que l’ensemble des idéaux fractionnaires non nuls de A forme un groupe, dont un sous-groupe est formé par les idéaux fractionnaires principaux non nuls. On note Cl (A) le groupe quotient, il s’agit du groupe des classes de A. Pour tout idéal fractionnaire non nul m de A, on note cl(m) la classe de m, c’est-à-dire l’image canonique de m dans Cl (A). Soit V un K-espace vectoriel. Pour M un sous-A-module de V , nous notons KM le sous-K-espace vectoriel de V engendré par M. Nous appelons A-réseau de V tout sousA-module R de V , de type fini, dont le rang sur A est égal à la dimension du K-espace vectoriel KR, rgA(R) = dimK (KR). Pour tout A-réseau R de V , on pose dR := rgA(R). D’après le théorème de structure des modules de type fini sur un anneau de Dedekind [7, §4, n°10, Proposition 24, p. 79], si R 6= {0} alors il existe une K-base BR := (bR,i) dR−1 i=0 de KR, et un idéal fractionnaire non nul mR de A, tels que R = mRbR,0 ⊕ dR−1 ⊕ i=1 AbR,i. Le choix de (BR, mR) n’est pas unique, cependant cl (mR) est déterminée de façon unique par R. Il en résulte en particulier que : – Si nécessaire on peut choisir (BR, mR) de sorte que mR soit entier. – Si S est un second A-réseau de V isomorphe à R en tant que A-module, on peut choisir (BR, mR) et (BS, mS) de sorte que mR = mS. Enfin, remarquons que tout sous-A-module S d’un A-réseau R de V est un A-réseau de V . En effet S est aussi de type fini sur A (car A est nœthérien), et on a le diagramme commutatif suivant, K ⊗A S   /   K ⊗A R ≀  KS  /KR, qui montre que K ⊗A S → KS est un isomorphisme (et donc rgA(S) = dimK (KS)). 1 Modules-indices. 

Définition et propriétés élémentaires

Définition

Proposition et définition 

Soient R 6= {0} et S deux A-réseaux de V , et V ′ le sous-K-espace vectoriel de V engendré par R et S. On considère l’ensemble D, défini par : D := {det(u); u ∈ EndK(V ′ )/u(R) ⊆ S} Alors D est un sous-A-module de K, appelé le A-module-indice de S dans R, et noté [R : S]A. En outre : – (i) Si dS < dR, alors [R : S]A est nul. – (ii) Si dR ≤ dS et KS 6= KR, alors [R : S]A = K. – (iii) Si V ′ = KS = KR, alors [R : S]A = mSm −1 R detBS,BR (IdV ′). Démonstration. Supposons d’abord que dS < dR. Soit u un endomorphisme du Kespace vectoriel V ′ tel que u(R) ⊆ S. Puisque dS < dR, u n’est pas injectif, et det(u) = 0. On en déduit l’assertion (i). Supposons maintenant que dR ≤ dS et KS 6= KR. Puisque dR ≤ dS, il existe un automorphisme u du K-espace vectoriel V ′ tel que u(R) ⊆ S. Soit C une K-base de V ′ contenant BR. Puisque KS 6= KR, il existe c ∈ C \BR. Pour tout λ ∈ K, soit uλ l’unique endomorphisme du K-espace vectoriel V ′ tel que pour tout b ∈ C \ {c}, uλ(b) = u(b), et tel que uλ(c) = λu(c). On a alors det(uλ) = λ det(u), ainsi que uλ(R) ⊆ S, car uλ coïncide avec u sur KR. Donc pour tout λ ∈ K, λ det(u) ∈ [R : S]A. Puisque det(u) 6= 0, on a [R : S]A = K. On en déduit l’assertion (ii). Supposons enfin V ′ = KS = KR. On pose d := dR = dS et ∆ := detBS,BR (IdV ′). Pour tout a ∈ mSm −1 R , soit ua l’unique automorphisme du K-espace vectoriel V ′ tel que ua (bR,0) = a.bS,0, et tel que pour tout i ∈ {1, …, d − 1}, ua (bR,i) = bS,i. On a clairement ua(R) ⊆ S, et : detBR,BR (ua) = detBR,BS (ua)detBS,BR (IdV ′) = a∆. On en déduit mSm −1 R ∆ ⊆ [R : S]A. (1.2.1.1) Soit δ ∈ [R : S]A. Il existe un endomorphisme u du K-espace vectoriel V ′ tel que u(R) ⊆ S et det(u) = δ. Soit M := matBR,BS (u). Pour tout a ∈ mR, on a u (abR,0) ∈ S ⇐⇒ X d−1 i=0 aMi,0bS,i! ∈  mSbS,0 ⊕ d−1 ⊕ i=1 AbS,i , d’où M0,0 ∈ mSm −1 R et Mi,0 ∈ m −1 R pour tout i ∈ {1, …, d − 1}. (1.2.1.2) Pour tout j ∈ {1, …, d − 1}, on a u (bR,j ) ∈ S ⇐⇒ X d−1 i=0 Mi,j bS,i! ∈ mSbS,0 ⊕ d−1 ⊕ i=1 AbS,i, 2 d’où M0,j ∈ mS et Mi,j ∈ A pour tout i ∈ {1, …, d − 1}. (1.2.1.3) Soit σ une permutation de {0, …, d − 1}. Si σ(0) = 0, alors pour tout i ∈ {1, …, d − 1}, σ(i) ∈ {1, …, d − 1}. Dans ce cas, Mσ(0),0 (c’est-à-dire M0,0) appartient à mSm −1 R d’après (1.2.1.2), et pour tout i ∈ {1, …, d − 1}, Mσ(i),i ∈ A d’après (1.2.1.3). On en déduit d Y−1 i=0 Mσ(i),i ∈ mSm −1 R . Si σ(0) ∈ {1, …, d−1}, alors Mσ(0),0 ∈ m −1 R d’après (1.2.1.2). Il existe k ∈ {1, …, d−1} tel que 0 = σ(k), et alors Mσ(k),k (c’est-à-dire M0,k) appartient à mS d’après (1.2.1.3). Pour tout j ∈ {1, …, d − 1} \ {k}, on a Mσ(j),j ∈ A d’après (1.2.1.3). On en déduit d Y−1 i=0 Mσ(i),i ∈ mSm −1 R . Finalement, detBR,BS (u) ∈ mSm −1 R , car detBR,BS (u) = X σ d Y−1 i=0 Mσ(i),i, où la somme est sur toutes les permutations de {0, …, d − 1}. Puisque δ = detBR,BS (u)detBS,BR (IdV ′) = detBR,BS (u)∆, on a δ ∈ mSm −1 R ∆. On a ainsi vérifié [R : S]A ⊆ mSm −1 R ∆. (1.2.1.4) De (1.2.1.1) et (1.2.1.4) on déduit l’assertion (iii).  Remarque 1.2.1.2 Soient R 6= 0 et S deux A-réseaux de V . Soit V ′ un sous-K-espace vectoriel de V contenant R et S. Alors le module-indice de R et S, considérés comme A-réseaux de V ou de V ′ , est le même. Remarque 1.2.1.3 Soit K ′ un sous-corps de K, contenant A. Soient R 6= 0 et S deux A-réseaux de V , tels que dS < dR ou tels que K′S ⊆ K′R. Alors le module-indice de R et S, considérés comme A-réseaux du K-espace vectoriel V ou du K′ -espace vectoriel V , est le même. Remarque 1.2.1.4 Soient R 6= 0 et S deux A-réseaux de V . Soit u : V → W un isomorphisme de K-espaces vectoriels. Alors u(R) et u(S) sont des A-réseaux de W, et [R : S]A = [u(R) : u(S)]A . Démonstration. Il est clair que u(R) et u(S) sont des A-réseaux de W. Soit V ′ le sous-K-espace vectoriel engendré par R et S. Alors u (V ′ ) est le sous-K-espace vectoriel engendré par u(R) et u(S). Soient X (respectivement X ′ ) l’ensemble des endomorphismes v de V ′ (respectivement u (V ′ )) tels que v(R) ⊆ S (respectivement v (u(R)) ⊆ u(S)). On note u˜ : V ′ → u (V ′ ) l’isomorphisme obtenu par restriction de u. Il est clair que l’application suivante est bijective..