Propagation des ondes EM et signature EM

 Les progrès technologiques dans le domaine du radar, se sont accompagnés du développement accru d’outils de modélisation, permettant d’appréhender au mieux, les phénomènes d’interactions des ondes électromagnétiques avec les milieux naturels. Les applications de ces outils de modélisation sont le calcul de la Surface Équivalente Radar (SER) de cibles complexes, en vue de leur détection, la réalisation d’images radar…etc. Dans le domaine des ondes millimétriques et centimétriques, lorsque les dimensions des cibles deviennent grandes devant la longueur d’onde (région optique,k ≫ 1), k est le nombre d’onde donné par k = 2π/λ, la modélisation de ces interactions par des méthodes rigoureuses est très coûteuse en temps de calcul. Dans cette première partie du manuscrit nous présentons un état de l’art sur les méthodes de résolution des équations de Maxwell, en mettant en évidence les avantages et les limites de chacune de ces méthodes. Dans un premier temps, nous faisons un rappel des bases de l’électromagnétisme qui sont nécessaires pour la suite des travaux présentés dans ce manuscrit. Ensuite, nous présentons les différentes méthodes utilisées dans le calcul du champ diffusé par une cible quelconque, nous méttons l’accent sur les méthodes asymptotiques à savoir l’Optique Géométrique (OG), l’Optique Physique (OP),la Méthode des Courants Equivalents (MCE). Enfin, le chapitre se termine par une synthèse sur les méthodes étudiées permettant de justifier le choix de celles adoptées pour le développement de notre processus de calcul de la signature électromagnétique (EM) d’une cible radar (notamment complexe). 

Ondes EM, méthodes de résolution 

Équations de base

 La théorie de l’électromagnétisme repose principalement sur les équations de Maxwell établies en 1870. Nous rappelons dans cette section ces équations et nous présentons le formalisme qui en découle et notamment les équations de propagation et de continuité, également nous aborderons la représentation intégrale du champ électromagnétique. 

Équations de Maxwell Historique

 C’est au 19eme siècle qu’une théorie unifiant électricité et magnétisme a vu le jour. En 1819, grâce à une petite expérience 1Hans Oersted démontra alors la présence d’un champ magnétique. A partir de cette expérience, André-Marie Ampère élabora par la suite une théorie où l’électricité et le magnétisme étaient présentés comme deux phénomènes corrélés par le biais d’un théorème qui porte son nom. Michael Faraday, introduisit alors le concept de champ. En 1864, Isaac Newton avait uni les phénomènes en mécanique classique, James Clerk Maxwell parvint à unifier mathématiquement les diverses relations entre champs magnétique et électrique. A partir de cette nouvelle théorie, Maxwell pressentit que la lumière n’était qu’un type particulier d’onde électromagnétique 2 unifiant ainsi optique et électromagnétisme. Le système d’équations fut simplifiée en 1884 par les physiciens Heaviside et Gibbs en quatre équations. Les phénomènes électromagnétiques sont régis par les équations de Maxwell. Ces équations relient les quatre vecteurs caractéristiques du champ électromagnétique [Con05], dans un milieu homogène isotrope, les équations de Maxwell s’écrivent : ∇ × Hþ = ∂Dþ ∂t + Jþ (1.1) ∇ × Eþ = − ∂Bþ ∂t (1.2) ∇ · Dþ = ρ (1.3) ∇ · Bþ = 0 (1.4) 1. Eþ vecteur champ électrique exprimé (V/m) 2. Hþ vecteur champ magnétique exprimé (A/m) 3. Dþ vecteur champ induction électrique (c/m2 ) 4. Bþ vecteur champ induction magnétique (T) 

5. ρ densité de charge électrique (c/m) 6. Jþ vecteur densité du courant électrique (A/m2 ) Le symbole ∇ est l’opérateur nabla défini dans le système de coordonnées curvilignes orthogonales (coordonnées cartésiennes, cylindriques, sphériques …) associé au repère dans lequel les équations de Maxwell sont appliquées. Les vecteurs Dþ et Bþ désignent respectivement les vecteurs induction électrique et magnétique, exprimés en C/m2 et en Tesla. Les équations 1.1 et 1.2 relient le champ électromagnétique (E, þ Hþ ) aux sources (ρ, Jþ), qui représentent respectivement les densités de charge (en C/m3 ) et de courant (en A/m2 ), en tenant compte du milieu matériel. Les équations 1.3 et 1.4 quant à elles, expriment la loi de l’induction, elles donnent les relations de structure des champs indépendamment du milieu matériel. En effet, les vecteurs d’induction électrique Dþ et d’induction magnétique Bþ sont liés aux champs électrique et magnétique par des relations constitutives tenant compte du milieu. Si le milieu est considéré linéaire homogène et isotrope (LHI) 3 , ces relations s’expriment [BW59] : Dþ = ǫEþ = ǫ0ǫrEþ (1.5) Bþ = µHþ = µ0µrHþ (1.6) Jþ = σEþ (1.7) Où ǫ0 et µ0 sont respectivement la permittivité et la perméabilité du vide (ǫ0 = 8, 854 × 1012F/m et µ0 = 1, 256 × 106H/m), ǫr, µr et σ, sont respectivement la permittivité relative, la perméabilité relative et la conductivité du milieu. 

Équation de propagation 

Nous considérons un milieu LHI (Linéaire Homogène et Isotrope) en présence de charges et de courant (ρ Ó= 0 et Jþ Ó= 0), en écrivant le Rotationnel des deux premières équations de Maxwell (équations 1.1et 1.2), on construit les équations de propagation qui décrivent la propagation des ondes électromagnétiques [Kon90, PCF01] : ∇ ∧ ∇ × Eþ − k 2Eþ = −iωµJþ (1.8) ∇ ∧ ∇ × Hþ − k 2Hþ = −i∇ × Jþ (1.9) Avec k le nombre d’onde défini par k = ω √µǫ et i telque i 2 = −1. Ces équations peuvent être écrites d’une manière plus explicite : ∇2Eþ − ǫµ ∂ 2Eþ ∂t2 = 1 ǫ ∇ρ + µ ∂Jþ ∂t (1.10) ∇2Hþ − ǫµ ∂ 2Hþ ∂t2 = −∇ × Jþ (1.11) Dans le cas où il n’y a pas de charge dans le milieu de propagation (ρ = 0)(milieu parfaite

Conditions aux limites 

Tout milieu est par nature fini, borné par au moins un milieu différent. Il est donc important de caractériser le comportement des ondes à la frontière des deux milieux. Pour cela, de nouvelles équations valides au niveau de l’interface avec un autre milieu doivent être établies. Ces équations, obtenues à partir des équations de Maxwell, sont les conditions aux limites. Considérons la scène présentée sur la figure 1.1. Une surface S sépare un milieu (1) d’un milieu (2) et nˆ, la normale à S, est orientée de (2) vers (1). 

Représentation Intégrale des champs

 A l’aide des conditions aux limites et de l’équation de propagation, le problème de la diffraction peut être résolu. En effet, le phénomène de propagation d’une onde ainsi que son comportement à la frontière de deux milieux ont été décrits. Nous verrons plus loin les différentes méthodes existantes pour résoudre ce problème, cependant il convient de décrire dans un premier temps la représentation intégrale des champs, nécessaire pour introduire les méthodes étudiées dans le cadre de ce travail. Pour obtenir la représentation intégrale, présentons tout d’abord deux outils : la fonction de Green ainsi que le théorème de Green. Nous allons abordé en détails la représentation intégrale du champ dans le chapitre 3 permettant l’obtention les équations intégrales du champs électromagnétique et leurs résolution en utilisant l’Optique Physique(OP).

Fonction et théorème de Green

Pour obtenir la solution de l’équation de Helmholtz avec un terme source, nous introduisons une fonction auxiliaire appelée fonction de Green. Nous appelons fonction deGreen, la solution élémentaire d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants, ou d’une équation aux dérivées partielles linéaires à coefficients constants. Connue pour un grand nombre d’opérateurs intégro-différentiels linéaires [Tri05, AW05], elle a un grand rôle en mathématiques et en physique. Tout d’abord, soit δr ′(r) = δ (r − r ′ ) la fonction de Dirac telle que pour toute fonction continue f, nous avons : Ú +∞ −∞ f (r) δr ′(r)dr = Ú r→r ′ f (r) δr ′(r)dr = f ! r ′  » (1.28) Où la source est répartis sur un domaine fini se rapproche de la limite, la source est appliquée au point r = r ′ . Comme la fonction de Green représente l’inverse de l’opérateur différentiel Helmholtz # ∇2 + k 2 $ qui a la fonction de Dirac comme source. Comme nous l’avons vu, chaque composante du champ Eþ vérifie l’équation de propagation scalaire où l’opérateur intégro-différentiel est (∆ + k 2 ). La fonction de Green associée à cet opérateur vérifie par conséquent : 1 ∆ + k 2 2 g(þr,þr′ ) = −δ ! þr − þr′  » (1.29) La fonction de Green dépend toujours de deux vecteurs positions þr et þr′ qui représentent respectivement le point source et le point observation. Physiquement, ces deux positions correspondent au rayonnement d’une source ponctuelle.