Solitons : concept & applications

Introduction

Les solitons optiques représentent un sujet intéressant en communication à fibres optiques en raison de leur capacité de propagation sur de longues distances sans atténuation notable ni changement dans la forme. La physique de leur formation a été introduite dans plusieurs livres et publications [10, 11, 12, 13, 40, 41, 42]. Nous allons nous contenter, dans ce qui suit, d’une vue d’ensemble du sujet et tenir compte essentiellement des effets linéaires et non linéaires les plus importants, qui peuvent limiter ou améliorer les performances des systèmes de transmission optique. Explicitement, dans ce chapitre, nous allons présenter les phénomènes physiques qui en découlent lors de la propagation d’une impulsion lumineuse dans un milieu dispersif et non linéaire, telle que la fibre optique. Nous insisterons sur les effets auxquels la propagation de l’impulsion se fait sans altération grace à la compensation mutuelle rigoureuse entre les effets linéaires et non linéaires induits. Ceci conduit à une classe spéciale de solutions díondes à certaines évolutions díéquations di§érentielles non linéaires (2.21), appelées ondes solitaires ou solitons. Le soliton (ou onde solitaire) est une notion universelle et une conséquence naturelle de la science non linéaire. Líuniversalité et líomniprésence du soliton provient du fait que le phénomËne physique non linéaire, qui est derriËre la formation de cette identité singuliËre, apparait dans presque toutes les branches de la physique, tels que : líhydrodynamique, líoptique non linéaire, la physique de la matiËre condensée, la physique des plasmas, la physique des basses températures, la physique des particules, la physique nucléaire, la biophysique et líastrophysique, etc. Actuellement, les solitons, qui ont été longtemps traités comme une curiosité de laboratoire, sont devenus une réalité. Car, plusieurs démonstrations réussies de transmission par solitons sur de trËs longues distances ont vues le jour dans des liaisons optiques terrestres et sous-marines.

Qu’est-ce qu’un soliton ?

Le soliton, qui est un concept universel, est considéré comme le summum de la découverte de la science non linéaire. Littéralement, le mot soliton provient de líanalogie avec la notion de photon (ou phonon) à cause de la grande similitude de ses propriétés physiques avec celles des particules. Physiquement, une onde solitaire est une onde non linéaire localisée et auto-entretenue en déguerpissant les lois classiques de la dispersion naturelle de líénergie. Mathématiquement, un soliton est une solution parmi toute une classe de solutions à certaines équations di§érentielles non linéaires. Dans tous les cas, cette onde, qui est caractérisée par une amplitude et une certaine forme particuliËre, a la particularité de se propager sans distorsion ni changement de vitesse sur de longues distances, théoriquement infinies, ou à la rigueur présente de faibles oscillations périodiques dépendants de la distance parcourue (phénomËne de récurrence). Il découle de ces propriétés que les solitons, qui sont considérés aussi comme des perturbations localisées, peuvent se propager sur des milliers de kilomËtres en présentant une grande stabilité contre les collisions mutuelles avec conservation de leurs identités. La formation díun soliton, qui résulte de la compensation mutuelle rigoureuse entre la dispersion chromatique et la non linéarité de la fibre, nécessite un certain niveau de puissance afin de maintenir la variation adéquate de líindice de réfraction (e§et Kerr). Dans ce cas, les impulsions optiques générées vont se propager sans distorsion sur une certaine distance jusquíà ce que la perte de la fibre épuise totalement leur énergie pour devenir indétectables. Pratiquement, les solitons ne peuvent pas persister dans un canal de transmission dissipatif díénergie, cíest la raison pour laquelle les amplificateurs optiques dopés à líErbium ont été inventés et utilisés avec succËs pour compenser la perte de puissance dans les liaisons longues distances. Ainsi, le problËme des dispendieux répéteurs électroniques a été résolu. 3.3 PremiËre découverte du soliton La premiËre observation fortuite et documentée de líonde solitaire a été faite en 1834 par le scientifique et líingénieur écossais, John Scott-Russell [43], le long du canal de líunion à Hermiston, qui la désigna à líépoque par « vague de translation ». Tout au long de sa vie Russell reste convaincu que son onde solitaire était díune importance fondamentale. DËs lors, ce phénomËne physique étrange a attiré líattention de plusieurs scientifiques dans le monde sans aucune preuve théorique. Il fallait attendre líannée 1898 pour sa premiËre mise en équation mathématique par deux scientifiques néerlandais Diederik Johannes Korteweg et Gustav de Vries, bien connus en hydrodynamique par leur fameuse équation (KdV) [44]. ut +uux + uxxx = 0 (3.1) avec et  sont deux constantes, qui peuvent Ítre choisies, u (x; t) représente la hauteur de crÍte de líonde de surface et x est la coordonnée exprimée dans un référentiel se déplaÁant à la vitesse  díune onde linéaire non dispersive (cas díonde de surface en milieu aquatique de faible profondeur), les indices x, t indiquent les dérivées partielles par rapport au déplacement (x) et au temps (t), respectivement. Líéquation (3.1) a une solution díune onde solitaire (soliton) de la forme : u(x; t) = 3 sec h 2 [ 1 2 r  (x ).