Relaxation des polaritons dans une microcavité
contenant un gaz d’électrons

 Excitons dans un puits quantique

  Fonction d’onde et énergie de l’exciton

 Lorsqu’un semiconducteur se trouve dans son état fondamental, tous les électrons sont dans la bande de valence, et la bande de conduction est vide. Dans cette section, nous cherchons à décrire le premier état excité de ce semiconducteur. Pour fixer les idées, supposons que le matériau a un gap direct situé au centre de la zone de Brillouin comme le GaAs. Dans l’approximation à un électron, l’effet de tous les autres porteurs sur l’électron considéré est approché par un potentiel moyen ayant la périodicité du cristal. Le premier état excité est alors constitué d’un électron dans l’état k = 0 de la bande de conduction du cristal et d’un trou en k = 0 dans la bande de valence. L’électron et le trou sont délocalisés dans tout le cristal de semiconducteur, et non corrélés l’un à l’autre, c’est à dire que la probabilité de trouver l’électron à un endroit donné du cristal est indépendante de la probabilité de trouver le trou à un endroit quelconque. Toutefois, cet état apparaˆıt comme le premier état excité uniquement parce que l’approximation à un électron a “gommé” les interactions individuelles entre porteurs. Si l’on tient compte de l’interaction coulombienne entre les porteurs, il se forme un état lié de la  paire électron-trou, l’exciton, d’énergie plus faible que le gap et dans lequel l’électron et le trou sont proches l’un de l’autre. Dans cette section, nous donnons une description simplifiée des premiers états excités d’un semiconducteur. Nous commen¸cons par présenter brièvement l’approximation de la fonction enveloppe dans laquelle nous nous pla¸cons par la suite. Ce cadre conceptuel permet de traiter les excitations d’un semiconducteur comme des quasiparticules massives, et s’applique avec succès au calcul des structures de bandes (au voisinage du centre de zone), à celui des hétérostructures comme à celui des états excitoniques. Pour plus de détails sur l’emploi de cette approximation, le lecteur se référera à l’ouvrage de référence écrit par G. Bastard [5]. Nous décrivons ensuite les excitons de puits quantique à partir d’hypothèses simplificatrices. En particulier, nous supposons que les relations de dispersion des électrons et des trous sont parfaitement paraboliques, et nous négligeons les effets dus au spin [1, 3]. A la fin de cette section, nous donnons une description alternative de l’exciton en termes d’opérateur de création et de destruction. Cette approche permet de décrire des états o`u plusieurs excitons sont présents dans le puits quantique ainsi que de justifier la vision de l’exciton comme une quasiparticule bosonique. 

Approximation de la fonction enveloppe 

Dans l’approche la plus simple, un semiconducteur massif est décrit dans l’approximation à un électron, c’est à dire en considérant que le potentiel créé sur un électron par tous les autres électrons est moyenné très rapidement. Dans cette approximation, les N électrons du semiconducteur sont supposés indépendants les uns des autres, et les seules corrélations restant entre eux sont dues au principe d’antisymétrisation de la fonction d’onde. Si l’on note Ψl les états propres du hamiltonien à une particule, les états propres du système des N électrons sont des états antisymétrisés à partir des états Ψl et s’écrivent sous la forme : |Ψ1 : n1, Ψ2 : n2, … , Ψl : nl ,…i (1.1) o`u nl = 0 ou 1 représente le facteur d’occupation de l’état propre à une particule Ψl . Grˆace au théorème de Bloch (conséquence de l’invariance par translation du potentiel cristallin), nous disposons d’informations sur les fonctions d’ondes à un électron Ψl . Les niveaux d’énergie du semiconducteur sont regroupés en bandes électroniques (indexées par le nombre quantique n), à l’intérieur desquelles les états sont repérés par leur vecteur d’onde k. La fonction d’onde à un électron peut s’écrire sous la forme Ψnk(r) = unk(r). exp(ik.r). La fonction unk est invariante par les translations du cristal et est appelée la partie rapidement variable, ou atomique de la fonction d’onde de Bloch. L’exponentielle lentement variable (à l’échelle de la cellule cristalline) est la  fonction enveloppe. Cette fonction n’est une onde plane que dans le cas d’un semiconducteur massif, et peut être fortement modifiée dans des nanostructures de dimensionnalité réduite, telles que des puits, des fils ou des boˆıtes quantiques. L’approximation de la fonction enveloppe consiste à supposer que la partie rapidement variable de la fonction d’onde est indépendante de k à l’ordre 0 : unk = un0, et également que cette fonction dépend peu du matériau considéré (GaAs, AlAs ou un alliage de ces deux matériaux). Bien sˆur, puisqu’elle est basée sur un développement limité par rapport à k, cette approximation est d’autant plus valable que l’on est proche du centre de la zone de Brillouin. Le critère de validité à considérer est que l’énergie Enk de l’état |Ψnki soit beaucoup plus proche de En0 que de tous les En′0, o`u n ′ 6= n [5]. Le principal avantage de l’approximation de la fonction enveloppe est de décrire les excitations d’un semiconducteur comme des quasiparticules libres de se propager dans ce semiconducteur. Dans le matériau massif, l’approximation de la fonction enveloppe permet de montrer que la relation de dispersion est parabolique au voisinage de k = 0 : Ee = E0 e + ~ 2k 2/2me et Et = −E0 t − ~ 2k 2/2mt . En présence d’un champ électrique appliqué, un électron dans la bande de conduction (respectivement un trou dans la bande de valence) se comporte comme une particule libre de charge −e et de masse me (respectivement +e et mt pour le trou). Le mouvement de l’électron et du trou sont ceux d’une particule “libre” dont la fonction d’onde est la fonction enveloppe. La seule “trace” restante de la partie rapidement variable de la fonction d’onde et du potentiel cristallin se trouve dans les valeurs du gap Eg = E0 e + E0 t et de la masse effective (me, mh) à considérer. L’approximation de la fonction enveloppe permet également de calculer les niveaux d’énergie des hétérostructures. Là aussi, une quasiparticule est associée à l’électron, mais les paramètres provenant de la partie microscopique de la fonction d’onde de Bloch sont différents dans les deux matériaux : E0 e (GaAs) 6= E0 e (AlAs). A cause de la différence de gap entre les deux maté- ` riaux, l’un agit comme une barrière de potentiel pour les électrons contenus dans l’autre matériau (la différence de masse effective a également un effet, mais cet effet est faible, et nous le négligerons par la suite). Dans notre cas, le GaAs agit comme un puits aussi bien pour les électrons que pour les trous et l’AlAs agit comme une barrière (voir la Figure 1.2). Enfin, on montre que les interactions coulombiennes entre électrons et trous peuvent également se traiter dans l’approximation de la fonction enveloppe [1, 61]. Pour justifier l’emploi de l’approximation de la fonction enveloppe dans ce cas, il est nécessaire de considérer le hamiltonien microscopique en allant au-delà de l’approximation d’états à un électron. Un terme d’interaction coulombienne, dans lequel l’électron a une charge −e et le trou une charge +e apparaˆıt dans le hamiltonien associé à la fonction enveloppe χh (zh ) -E 0 t (AlAs) -E 0 t (GaAs) E 0 e (AlAs) E 0 e (GaAs) Energie Axe z (ze , zh ) 0 χe (ze ) Eg AlAs / GaAs / AlAs Fig. 1.2 – Schéma d’un puits quantique de GaAs entouré de barrières en AlAs. Voir dans le texte pour la signification des termes. Les lignes tiretées représentent les énergies de confinement E1 des électrons et HH1 des trous, et servent également d’origine des ordonnées pour les fonctions χe et χh. d’une paire électron-trou. 

Hamiltonien associé à la fonction enveloppe d’un exciton

 Nous pouvons donc décrire le mouvement d’une paire électron trou en interaction coulombienne dans un puits quantique à l’aide de la fonction enveloppe. La position de l’électron (resp. du trou) est notée re (resp. rh). Le schéma du puits quantique est donné sur la figure 1.2. Le hamiltonien de la fonction enveloppe de la paire électron-trou est donné par : H = Eg + He + Hh + He−h (1.2) o`u Eg désigne le gap du GaAs, et les trois autres hamiltoniens sont : He = − ~ 2∇re 2 2me +Be(ze) , Hh = − ~ 2∇rt 2 2mt +Bh(zh) , et He−h = −e 2 4πǫ0ǫr|re − rh| . Les fonctions Be et Bh sont les fonctions de confinement de l’électron et du trou, égales à 0 dans le GaAs et à Be,h = E0 e,h(AlAs) − E0 e,h(GaAs) dans la barrière en AlAs. Il est utile de regrouper d’une part les termes correspondant au mouvement selon z et d’autre part ceux correspondant au mouvement dans le plan des couches. Pour cela, nous introduisons les coordonnées dans le plan ρe et ρh de l’électron et du trou : re,h = ρe,h+ze,h.ez. En passant dans le système de coordonnées du centre de masse et du mouvement relatif (M = me+mh) : R = me M ρe + mh M ρh , et r = ρe − ρh , le hamiltonien s’écrit : H = Eg + Hc.m. + H e z + H t z + Hrel. , (1.3) H e z = − ~ 2 2me ∂ 2 ∂z2 e + Be , Hc.m. = − ~ 2∇R 2 2M , Hh z = − ~ 2 2mh ∂ 2 ∂z2 h + Bh , Hrel. = − ~ 2∇r 2 2µ − e 2 4πǫ0ǫr p r 2 + (ze − zh) 2 , o`u µ est la masse réduite du système : µ −1 = m−1 e + m−1 h . De ces quatre hamiltoniens, le plus simple est celui associé au centre de masse, Hc.m. . Il correspond au hamiltonien d’une particule bidimensionnelle de masse M, libre de se déplacer dans le plan des couches. C’est par ailleurs le seul à faire intervenir la variable R. Il commute donc avec les autres hamiltoniens et peut être diagonalisé de manière indépendante (la fonction enveloppe est séparable par rapport à R). Les fonctions propres de ce hamiltonien sont indexées par le vecteur d’onde dans le plan kk et s’écrivent 1/ √ S. exp(ikk .R) o`u S est la surface de quantification. L’énergie (cinétique) correspondante est ~ 2k 2 k /2M. Les deux hamiltoniens He z et Ht z ne contiennent que des termes en z et sont équivalents au hamiltonien d’une particule unidimensionnelle confinée dans un puits de potentiel rectangulaire. Les fonctions propres de ce hamiltonien sont sinuso¨ıdales dans le puits et exponentiellement décroissantes à l’intérieur de la barrière. Sur la Figure 1.2, nous avons représenté les états fondamentaux χe et χh de ces deux hamiltoniens. Pour tracer ces fonctions, l’origine des ordonnées a été décalée de fa¸con à correspondre aux énergies propres de confinement E1 et HH1 associées à χe et à χh. Notons que le dernier hamiltonien, Hrel. , dépend à la fois de r et de ze et zh. En conséquence, il mélange les différents états propres de H e,t z et la diagonalisation du hamiltonien total H n’est en général pas faisable analytiquement. Une approximation de l’état fondamental peut cependant être trouvée grˆace au principe variationnel, en minimisant la fonctionnelle hψ|H|ψi sur une classe de fonctions d’essai ψ “bien choisies”(voir la référence [5, p.134] pour une discussion des différents choix possibles, et également [1, p.86] pour le cas limite des puits quantiques larges). Le cas le plus simple est justement de négliger le mélange des différents états propres de H e,t z et de considérer une fonction enveloppe séparable : ψ(R, r,ze,zh) = 1 √ S exp(ikk .R).χe(ze).χh(zh).φ(r), (1.4) o`u φ(r) = s 2 πa2 0 exp  − |r| a0  (1.5) est la fonction d’onde du mouvement interne de l’exciton, et χe et χh sont les états fondamentaux de He z et Ht z , représentés sur la figure 1.2. Le paramètre a0, appelé rayon de Bohr de l’exciton, est utilisé comme paramètre de la minimisation de hψ|H|ψi. Par rapport à l’état fondamental du semiconducteur, l’énergie de cet état d’exciton sera : E(kk ) = Eg + E1 + HH1 + ~ 2k 2 k 2M − Eliais. . (1.6) Dans notre cas, celui d’un puits quantique de 200 ˚A de GaAs entouré d’AlAs, le gap Eg est égal à 1.519 eV, l’énergie de confinement des électrons et des trous est E1 = 13 meV et HH1 = 3 meV, et l’énergie de liaison de l’exciton, trouvée par minimisation de hψ|Hrel. |ψi, est Eliais. = 8 meV [3]. Dans le cas particulier d’un exciton parfaitement bidimensionnel, le rayon de Bohr est a 2D 0 = a 3D Bohr/2, et l’énergie de liaison est E2D liais. = 4E3D liais. . Notons que l’exciton dont on a donné l’énergie ci-dessus ne correspond qu’à un état possible parmi d’autres. En effet, si les états excitoniques associés à différentes valeurs de l’énergie de confinement (E2, HH2, etc…) ne sont pas observés expérimentalement, d’autres états propres sont possibles pour Hrel. . En particulier, dans le cas limite d’un exciton bidimensionnel, l’état interne est indexé par le nombre quantique principal n et l’énergie de l’exciton devient En(kk ) = Eg + E1 + HH1 + ~ 2k 2 k 2M − Eliais. 4(n − 1/2)2 . (1.7) En théorie, il existe donc une infinité d’états entre l’état fondamental et l’énergie des paires électron-trou libres : E∞ = Eg + E1 + HH1. En pratique, en plus de l’état fondamental (1s), seul le premier état excité (2s) est observé, les autres étant trop proches les uns des autres pour être distingués. Enfin, nous avons considéré ici le cas de l’exciton de trou lourd, mais il est également possible de former des excitons à partir de la bande de trous légers. Le traitement mathématique est le même que ci-dessus, et la principale différence vient de l’énergie de confinement des trous. Dans notre cas, l’énergie de confinement du trou léger est LH1 = 8 meV, résultant en un décalage de 5 meV entre les deux excitons. 

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