Résultats d’existence de solutions d’un système elliptique semi-linéaire en état de résonnance

Introduction et résultats principaux

Dans ce chapitre, nous nous intéessons à l’étude de l’éxistence de solutions non triviales pour le système elliptique semi-linéaire suivant :    −∆u = f(x, u, v) + f1(x) dans Ω, −∆v = g(x, u, v) + f2(x) dans Ω, u = v = 0 sur ∂Ω, (P) o`u Ω est un domaine borné de R N (N ≥ 2) de frontière régulière ∂Ω et h = (f1, f2) une fonction non nulle dans (L 2 (Ω))2 . f, g sont des fonctions non linéaires de la forme :    f(x, u, v) = au + f0(x, u, v), g(x, u, v) = bv + g0(x, u, v), avec a = λ, valeur porpre simple de (−∆), avec condition de Drichlet hommogéne b ∈ {µ, λ1} . Désignons par ϕ, ψ les fonctions propres normalisées correspondantes à λ et µ,( µ 6= λ ), resp (i.e −∆ϕ = λϕ, −∆ψ = µψ, ϕ, ψ ∈ H1 0 (Ω), kϕkH1 0 (Ω) = kψkH1 0 (Ω) = 1). λ1 ∈ R est la première valeur propre positive de −4. λ1 = inf v∈H1 0 ,v6=0 Z Ω |∇v(x)| 2 dx Z Ω |v(x)| 2 dx , 43 qu’un peut aussi écrire λ1 = inf Z Ω |∇v(x)| 2 dx : Z Ω |v(x)| 2 dx = 1, v ∈ H 1 0 (Ω), v 6= 0 , ϕ1 la première fonction propre normalisée par Z Ω ϕ1(x)dx = 1. On assume que les fonctions f0, g0 : Ω × R × R → R sont continues et satisfont les conditions suivantes :    |f0(x, s, p)| ≤ c1 (1 + |s| + |p|) |g0(x, s, p)| ≤ c2 (1 + |s| + |p|) (3.1) avec c1, c2 des constantes réelles, positives. Le problème (P) est supposé non variationnel donc, il n’y a pas de possibilité d’utiliser la méthode variationnelle car le système (P) n’est pas une équation d’Euler-Lagrange pour une certaine fonctionnelle. Par conséquent, nous ferons appel à la méthode de degré topologique o`u la grande dificulté réside dans l’obtention d’une estimation à priori des solutions éventuelles. Le cas scalaire correspondant a été considéré dans [24] et l’existence de solutions a été montrée pour le probléme Au = au+g(., u) +eh o`u a ∈ {µ, λ1}, l’opérateur A est auto-adjoint à résolvante compacte dans L 2 (Ω), λ est une valeur porpre de A, g(., .)

 Premier cas

Dans cette sous section, on prend    f(x, u, v) = λu + f0(x, u, v), g(x, u, v) = λ1v + g0(x, u, v), et    f1(x) = h1(x), f2(x) = −h2(x), le système (P) devient :    −∆u = λu + f0(x, u, v) + h1 (x) dans Ω −∆v = λ1v + g0(x, u, v) − h2 (x) dans Ω u = v = 0 sur ∂Ω. (3.5) Définissons la solution faible de 3.5 . Définition 3.1 on dit que (u, v) ∈ U est une solution faible de 3.5, si pour tout we = (we1,we2) ∈ U on a    Z Ω ∇u∇we1dx = Z Ω [λu (x) + f0(x, u, v)]we1(x)dx + Z Ω h1(x)we1(x)dx, Z Ω ∇v∇we2dx = Z Ω [λ1v(x) + g0(x, u, v)]we2(x)dx − Z Ω h2(x)we2(x)dx, Donnons à présent une condition nécessaire d’existence. 49 Proposition 3.1 Si (h1, h2) ∈ (L 2 (Ω))2 et f0, g0 vérifient les hypothèses précédentes , une condition nécesaire pour que le problème 3.5 admette une solution, est que pour tout (ϕ, ϕ1), soient verifié les conditions i),ii). i) Z Ω γ + 1 ϕ + (x) dx − Z Ω γ − 1 ϕ − (x) dx + Z Ω h1 (x) ϕ (x) dx ≥ 0 ii) γ − 2 ≤ Z Ω h2 (x) ϕ1 (x) dx ≤ γ + 2 Preuve 3.1 Si (u, v) est solution du système 3.5, en multipliant par (ϕ, ϕ1), et en utilisant le fait que A∗ = A on obtient    Z Ω uAϕdx = Z Ω [λu (x) + f0(x, u, v)] ϕ(x)dx + Z Ω h1(x)ϕ(x)dx, Z Ω vAϕ1dx = Z Ω [λ1v(x) + g0(x, u, v)] ϕ1(x)dx − Z Ω h2(x)ϕ1(x)dx, qui, compte tenu du fait que Aϕ = λϕ et Aϕ1 = λ1ϕ1, et en écrivant ϕ = ϕ + − ϕ − o`u ϕ + = max(0, ϕ) et ϕ − = max(0, −ϕ), donne :    Z Ω f0(x, u, v)  ϕ + (x) − ϕ − (x)  dx + Z Ω h1(x)ϕ(x)dx = 0, Z Ω h2(x)ϕ1 (x) dx = Z Ω g0(x, u, v)ϕ1 (x) dx. (3.2) et (3.3) , impliquent Z Ω γ + 1 ϕ + (x) dx − Z Ω γ − 1 ϕ − (x) dx + Z Ω h1 (x) ϕ (x) dx ≥ 0, 50 γ − 2 ≤ Z Ω h2(x)ϕ1 (x) dx ≤ γ + 2 . D’o`u le resultat. 

Estimation à priori des solutions

Nous allons montrer dans cette partie que lorsque i), ii) sont verifiés, on peut obtenir des estimations à priori sur les solutions du système 3.5. On sait que H est donnée par H(t, u, v) = (u, v) − BeAe(u, v) − t S (u, v) − (1 − t) C (ε) Ae(u, v), pour tout ε > 0, est une homotopie compacte de [0, 1] × U dans V . Montrons qu’il existe R1 > 0 tel que, pour tout (u, v) ∈ U, k(u, v)kU = R1 et t ∈ [0, 1], on a H(t, u, v) 6= 0. Lemme 3.1 il existe R1 > 0 tel que    k(u, v)kU = R1, ∀t ∈ [0, 1] , ∀ (u, v) ∈ U, H(t, u, v) 6= 0 Preuve 3.1 Soit ε > 0 de sorte l’intervalle ]λk, λk + ε] , k ∈ N ∗ , ne contienne aucune valeur propre de l’opérateur (−∆), λ1 + ε < λ2. Supposons, par contradiction, qu’il existe 51 (t, u, v) ∈ [0, 1] × U tel que H(t, u, v) = 0 et k(u, v)kU > R1. En d’autres termes, on peut trouver une suite {(un, vn)} ∞ n=1 ∈ U et {tn} n=∞ n=1 ⊂ [0, 1] tel que k(un, vn)kU > n et (un, vn) − BeAe(un, vn) − tn S (un, vn) − (1 − tn) C (ε) Ae(un, vn) = 0 , ∀ε > 0 (3.6) o`u Be =   λ 0 0 λ1   et C (ε) = ε   1 0 0 1   . Posons wn = (wn,1, wn,2) =  un k(un, vn)kU , vn k(un, vn)kU  Alors, avec ce choix de wn on a wn = (wn,1, wn,2) ∈ (D(−∆))2 et kwnkU = 1. (3.7) Montrons que wn ∈ (D(−∆))2 . On a wn − BeAe(wn) − (1 − tn) C (ε) Ae(wn) − tn S (un, vn) k(un, vn)kU = 0 , ∀ε > 0 (3.8) ou bien    Z Ω ∇wn,1∇we1dx = [λ + (1 − tn) ε] Z Ω wn,1we1dx + tn Z Ω f0(x, un, vn)we1 k(un, vn)kU dx + Z Ω h1 (x)we1dx Z Ω ∇wn,2∇we2dx = [λ1 + (1 − tn) ε] Z Ω wn,2we2dx + tn Z Ω g0(x, un, vn)we2 k(un, vn)kU dx − Z Ω h2 (x)we2dx (we1,we2) ∈ U