Résultats sur la contrôlabilité à zéro de quelques systèmes paraboliques et dispersifs

Résultats sur la contrôlabilité à zéro de quelques
systèmes paraboliques et dispersifs

Introduction générale à la théorie de contrôle On présente dans la Section

Les notions générales de contrôlabilité

En termes mathématiques, on considère dans ce manuscrit des EDP (équations aux dérivées partielles) qui peuvent ˆetre modélisées par : yt + Py = f1ω pour t > 0, y(0) = y 0 , (1.1) o`u t 7→ y(t, ·) ∈ E(Ω) décrit l’état d’un système pour Ω un domaine (ouvert borné connexe de R d ) et pour E(Ω) un espace de Banach avec une variable spatiale sur Ω (normalement un espace de Lebesgue ou de Sobolev), P est un opérateur différentiel (pas nécessairement linéaire) défini sur (0, T) × Ω agissant sur la variable spatiale, T > 0 est le temps final de contrôle, ω ⊂ Ω est un domaine (appelé domaine de contrôle) et f est un contrôle qui appartient à un ensemble U ⊂ (L 2 ((0, T) × ω))N , o`u N est le nombre de composantes de y. L’équation (1.1)1 peut ˆetre satisfaite dans plusieurs espaces, comme dans D0 ((0, T)×Ω) ou dans l’espace de distributions de fonctions à divergence nulle (c’est le cas de Stokes, par example). On suppose aussi que (1.1) est bien posé dans C 0 ([0, T]; E(Ω)) par rapport à y 0 ∈ E(Ω) et à f ∈ U. Le problème de la contrôlabilité consiste, pour une condition initiale y 0 donnée et un temps final T > 0, de trouver un contrôle f ∈ U qui mène la solution du système (1.1) vers une cible à l’instant T. Pour une présentation complète et plus générale, on peut consulter [36, Section 2.3]. On rappelle les différentes notions de contrôlabilité : Définition 1.1 (Contrôlabilité exacte). On dit que le système de contrôle (1.1) est exactement contrôlable au temps T si pour tout y 0 , yT ∈ E(Ω) il existe un contrôle f ∈ U(Ω) tel que la solution de (1.1) satisfait y(T, ·) = y T . Définition 1.2 (Contrôlabilité approchée). On dit que le système de contrôle (1.1) est approximativement contrôlable au temps T si pour tout y 0 , yT ∈ E(Ω) et tout ε > 0 il existe un contrôle f ∈ U(Ω) tel que la solution de (1.1) satisfait ky(T, ·) − y T kE(Ω) ≤ ε. Définition 1.3 (Contrôlabilité aux trajectoires). On dit que le système de contrôle (1.1) est contrôlable aux trajectoires au temps T si pour tout y 0 ∈ E(Ω) et pour tout (y 0 , y, f) solution de (1.1) (tel que y ∈ C 0 ([0, T]; E(Ω)) et f ∈ U), il existe un contrôle f ∈ U(Ω) tel que la solution de (1.1) satisfait y(T, ·) = y(T, ·). Définition 1.4 (Contrôlabilité à zéro). On dit que le système de contrôle (1.1) est contrôlable à zéro au temps T si pour tout y 0 ∈ E(Ω) il existe un contrôle f ∈ U(Ω) tel que la solution de (1.1) satisfait y(T, ·) = 0. Ces définitions sont de type globales, car elles ne restreignent pas la taille de la condition initiale. Hélas, lorsque P n’est pas linéaire l’étude des propriétés globales du système de contrôle (1.1) peut devenir trop complexe, parfois on ne connaˆıt mˆeme pas des méthodes pour les étudier. Par conséquent, on peut se contenter de manière provisoire d’obtenir des résultats locaux ; c’est-à-dire, des résultats de contrôlabilité o`u y 0 est proche de la cible à l’instant initial. La résolution de chaque problème de contrôlabilité dépend des propriétés particulières de l’équation sur laquelle on travaille. Par exemple, il est connu que la contrôlabilité exacte de l’équation du transport n’est pas assurée si le temps final T est petit puisque la vitesse de propagation est finie. Par contre, si ω est à côté de la partie de la frontière o`u le flux du transport entre, il est aussi bien connu qu’on a la contrôlabilité exacte pour T suffisamment grand. Egalement, pour les équations paraboliques, comme l’équation de la ´ chaleur, il n’y a pas d’espoir d’atteindre la contrôlabilité exacte dˆu à l’effet régularisant, mais c’est habituel d’avoir de la contrôlabilité aux trajectoires et approchée pour tout temps T > 0. Dans une grande partie de ce mémoire on se concentrera sur la contrôlabilité à zéro des systèmes paraboliques et dispersifs linéaires. On rappelle que pour ces systèmes la contrôlabilité à zéro implique la contrôlabilité aux trajectoires et la contrôlabilité approchée (voir, par exemple, [36]). En plus, mˆeme pour prouver la contrôlabilité à zéro locale d’un système non-linéaire on peut montrer d’abord la contrôlabilité du système linéarisé, et puis revenir au problème original à l’aide d’un argument d’inversion locale ou de point fixe

La HUM et l’inégalité d’observabilité

Le but de cette partie est de présenter la HUM (“Hilbert Uniqueness Method”), qui est une méthode classique (voir [97, 82]) lorsque P est linéaire pour construire le contrôle v de norme minimale tel que la solution y de (1.1) satisfait y(T, ·) = 0. On suppose que E(Ω) est un sous-espace fermé de (L 2 (Ω))N , o`u N ∈ N, et qu’il existe un opérateur différentiel P ∗ tel que le système : −ϕt + P ∗ϕ = 0 pour t < T, ϕ(T, ·) = ϕ T , (1.3) est bien posé avec une solution dans C 0 ([0, T]; E(Ω)). On suppose aussi que pour tout f ∈ U, et y 0 , ϕT ∈ E(Ω) on a : Z Z (0,T)×ω f · ϕdxdt = Z Ω y(T, x) · ϕ T (x)dx − Z Ω y 0 (x) · ϕ(0, x)dx, (1.4) o`u y est la solution de (1.1) et ϕ est celle de (1.3). Pour simplifier le problème, on suppose que U = (L 2 ((0, T) × ω))N , mˆeme si l’on peut adapter cette méthode lorsque U n’est qu’un sous-ensemble de (L 2 ((0, T) × ω))N . Introduction 5 On remarque que si le système (1.1) est contrôlable à zéro avec K < +∞ on peut estimer la norme de ϕ(0, ·) à l’aide de la norme de ϕ dans (0, T)×ω. En fait, on considère dans (1.4) la valeur initiale y 0 = ϕ(0, ·) et une suite de contrôles fm qui mènent ϕ(0, ·) à 0 tels que (voir (1.2)) : lim sup m kfmk(L2((0,T)×ω))N ≤ Kkϕ(0, ·)k(L2(Ω))N . (1.5) Comme ym(T, ·) = 0 on obtient de (1.4) pour tout m ∈ N l’égalité : Z Ω |ϕ(0, x)| 2 dx = − Z Z (0,T)×ω fm · ϕdxdt. En conséquence, on obtient par Cauchy-Schwarz et par (1.5) (en prenant la limite lorsque m → ∞) l’inégalité : Z Ω |ϕ(0, x)| 2 dx ≤ Kkϕ(0, ·)k(L2(Ω))N kϕk(L2((0,T)×ω))N , ce qui implique : kϕ(0, ·)k(L2(Ω))N ≤ Kkϕk(L2((0,T)×ω))N , (1.6) pour toute solution de (1.3) (avec ϕ T ∈ E(Ω)). L’inégalité (1.6) est appelée inégalité d’observabilité. On définit : K˜ (Ω, ω,P) = sup ϕT ∈(L2(Ω))N \{0} kϕ(0, ·)kE(Ω) kϕk(L2((0,T)×ω))N , (1.7) en attribuant la valeur +∞ à l’indétermination 0 0 . On a obtenu dans le paragraphe précédant que : K˜ ≤ K. (1.8) Grˆace à la méthode HUM on peut ˆetre plus précis et prouver que : K = K. ˜ (1.9) Si K˜ = +∞, (1.8) implique que K = +∞, donc il suffit de considérer K < ˜ +∞. Considérons l’ensemble E(Ω) avec la forme bilinéaire : hϕ˜ T , ϕT i 7→ Z Z (0,T)×ω ϕ˜ · ϕdxdt. (1.10) 6 1.1. Introduction générale à la théorie de contrôle Comme K < ˜ +∞, on a que hϕ T , ϕT i 6= 0 pour tout ϕ T 6= 0, et donc (1.10) est un produit scalaire. On déduit du théorème de représentation de Riesz et de la construction de la completitude de E(Ω) l’existence d’une suite ϕ T m ∈ E(Ω) telle que pour tout ϕ T ∈ E(Ω) : limm→∞ Z Z (0,T)×ω ϕm · ϕdxdt = − Z Ω y 0 (x) · ϕ(0, x)dx. La suite ϕm est donc une suite de Cauchy dans (L 2 ((0, T)×ω))N , et alors elle a une limite f. Grˆace à (1.7) on a que ϕm(0, ·) est une suite de Cauchy sur E(Ω), et donc f a une trace sur E(Ω). Alors, en prenant la limite sur : Z Z (0,T)×ω f · ϕmdxdt = − Z Ω y 0 (x) · ϕm(0, x)dx, on obtient : kfk(L2((0,T)×ω))N ≤ K˜ ky 0 kE(Ω). En plus, la solution de (1.1) satisfait : 0 = Z Ω y(T, x) · ϕ T (x)dx ∀ϕ T ∈ E(Ω), ce qui implique que y(T, ·) = 0 et que K ≤ K˜ , donc avec (1.8) on a (1.9). Remarque 1.5. En fait, dans “HUM” il y a le mot “unicitité” car, pour y 0 fixé, le contrôle f qu’on obtient avec cette méthode est l’unique contrôle avec la norme minimale sur (L 2 ((0, T) × ω))N . En fait, si ˜f mène y 0 à 0 on obtient par (1.4) que : Z Z (0,T)×ω ˜f · ϕdxdt = − Z Ω y 0 (x) · ϕ(0, x)dx ∀ϕ T ∈ E(Ω), ce qui implique que : Z Z (0,T)×ω ( ˜f − f) · ϕdxdt = 0 ∀ϕ T ∈ E(Ω). (1.11) Alors, en tenant compte du fait que f est la limite de quelques solutions de (1.3) par rapport à la norme L 2 (((0, T)×ω) N ), on déduit de (1.11) que ˜f −f ⊥ f. Par conséquent, on a : k ˜fk 2 (L2((0,T)×ω))N = k ˜f − fk 2 (L2((0,T)×ω))N + kfk 2 (L2((0,T)×ω))N , ce qui implique que f est l’unique contrôle de norme minimale. Introduction 7 L’inégalité (1.6) est très importante car elle est utilisée pour démontrer la contrôlabilité de nombreuses EDP (consulter [36, Section 2] ou [109] pour lire comment elle est utilisée dans les EDP les plus classiques). En fait, cela nous permet d’avoir une méthode générale pour construire un contrôle en réduisant la preuve à la démonstration des inégalités. Par contre, il n’y a pas de méthode universelle pour démontrer l’existence de K < +∞ tel qu’on a (1.6), mais cela dépend de chaque équation. Dans l’équation de la chaleur, comme c’est expliqué dans la Section 1.2.3, cela peut ˆetre démontré de plusieurs manières. Cependant, la méthode qui permet une généralisation à un plus grand nombre d’équations est celle de Fursikov-Imanuvilov (voir [57]), qui s’appuie sur les inégalités de Carleman avec des poids du type e −h(x)t−m(T −t)−m , o`u m ∈ R + et h est une fonction qui dépend de Ω et ω avec certaines propriétés géométriques. De fait, une grande partie de la thèse est basée sur les techniques de [57] et des poids de ce type.

Table des matières

Résumé
Abstract
1 Introduction
1.1 Introduction générale à la théorie de contrôle
1.1.1 Les notions générales de contrôlabilité
1.1.2 La HUM et l’inégalité d’observabilité
1.2 Résultats principaux et plan de la thèse
1.2.1 Contrôlabilité à zéro d’un problème de Stokes pénalisé en dimension
deux avec un contrôle scalaire (voir [15])
1.2.2 Contrôlabilité uniforme d’un problème de Stokes avec un terme de transport et une viscosité évanescente (voir [14])
1.2.3 Contrôlabilité à zéro de l’équation de la chaleur dans des pseudocylindres avec un contrôle qui agit à l’intérieur (voir [13])
1.2.4 Contrôlabilité à zéro locale d’un modèle d’interaction forte entre deux ondes internes solitaires (voir [17])
1.3 Un travail complémentaire et des problèmes ouverts
1.3.1 Travail complémentaire : étude du coˆut de la contrôlabilité d’une équation parabolique d’ordre deux avec diffusion évanescente et un terme de transport (voir [16])
1.3.2 Perspectives et problèmes ouverts
2 Null controllability of a penalized Stokes problem
2.1 Introduction
2.1.1 Main results
2.1.2 Historical background
2.2 Some previous and intermediary results
2.2.1 A negative controllability result
2.2.2 Results on Cauchy problems
2.2.3 Results about Carleman estimates
2.3 Proof and optimality of Theorem 2.8 when Ω is strictly convex
2.4 Proof of Theorem 2.8 and some geometrical results
2.4.1 Proof of Lemma 2.3
2.4.2 Geometrical consequences of Hypothesis 2.1
2.4.3 Proof of Lemma 2.39 and some remarks
2.4.4 Proof of Theorem 2.8
2.5 Proof of Theorem 2.7
2.A Existence, uniqueness and regularity of (2.21)
2.B Proof of Proposition 2.28
3 A transport-diffusion Stokes control problem
3.1 Introduction
3.1.1 Main results
3.1.2 Historical background
3.2 Spectral decomposition of H((0, π)
3.2.1 Some functional analysis results
3.2.2 A total set of H(Ω2) formed by solutions of (3.5)
3.2.3 Properties of the solution of (3.3) in Ω2
3.3 The cost of the control in (0, π)
3.3.1 Proof of Item 1 of Theorem 3.1
3.3.2 Proof of Item 2 of Theorem 3.1
3.3.3 Proof of Item 3 of Theorem 3.1
3.4 The control problem (3.1) in (0, π)
3.4.1 Brief study of the spectral decomposition of H((0, π)
3.4.2 Proof of Item 4 of Theorem 3.1
3.5 Further comments and open problems
3.A Sketch of the proof of Proposition 3.16
4 Null controllability in pseudo-cylinders
4.1 Introduction
4.2 A Carleman inequality for some Lipschitz domains
4.3 Proof of Theorem 4.6
4.3.1 The case ω ⊂ C
4.3.2 The case ω ⊂ Ω \ C
4.3.3 Further comments
4.A Proof of Proposition 4.29
4.B The existence of a pseudo-cylinder which is not locally star-shaped
5 Local null controllability for a system of solitary waves
5.1 Introduction
5.1.1 Setting of the problem
5.1.2 Main results
5.1.3 Historical background
5.2 Some elliptic and evolution problems
5.2.1 A Poincaré inequality
5.2.2 Existence, uniqueness and regularity properties of the solutions of some dissipative evolution problems
5.3 A Carleman inequality for the solutions of (5.8)
5.3.1 Definition of the weights and an auxiliary result
5.3.2 The Carleman estimate
5.4 The nonlinear control problem
5.4.1 Null controllability of (5.5)
5.4.2 Proof of Theorem 5.1
5.4.3 Some additional remark