SUITES SPECTRALES DE A- MODULES BIGRADUES

INTRODUCTION 

En Mathematiques pures l’alg ébre homologique est la base et l’outil de toutes les sp ècialit és notamment de geométrie algébrique, d’analyse fonctionnelle, d’analyse harmonique, de to-pologie algebrique, de th éorie des groupes, de th éorie des anneaux, de th éorie des modules etc. Dans ce memoire, on a d évelopp é surtout les notions de bicomplexes et de suites exactes longues de A- modules bigradues qui donnent des couples exacts. En ef- fet ces couples exacts et bicomplexes produisent des suites spectrales. Par ailleurs les suites spectrales sont des outils permettant d’obtenir des caracterisations sur les modules gradu ését bigradues. Nos r éférences principaux sont le livre J ROTMAN AN INTRODUCTION TO HOMOGICAL ALGEBRA, le livre de JOHN McCLEARY A USER GUIDE TO SPECTRAL SEQUENCES. Ce memoire est subdivis é en trois chapitres : X Dans le chapitre 1 : on a fait une breve introduction de l’alg èbre homologique notamment ` sur la theorie des cat égorie et foncteurs. X Dans le chapitre 2 : on a fait l’etude de la cat égorie des A-modules gradues et bigradu és . On a aussi donne les d éfinitions de bicomplexes et couples exacts de A-modules bigradues. Dans ce chapitre on a demontr é quelques de ces th éor émes suivants : ` THEOR éME 1 ` : Soit A = M nN An un anneau gradue. Alors les donn ées suivantes : (1) Les objets sont les A-modules a gauche (resp ` a droite) gradu ès, (2) Les morphismes sont les morphismes de A- modules a gauche (resp ` a droite) gradu ès definissent une cat égorie appel ée la cat égorie des A-modules a gauche (resp ` a droite) gradu ès notee par AGr − Mod (resp Mod − AGr). THEOR éME 2 ` : Soit A = M n∈N An un anneau gradue. Alors les donn ées suivantes : (1) Les objets sont des suites complexes associees aux morphismes de A-modules a gauche ` (resp a droite) graduès, Les morphismes sont les chaines complexes associees aux morphismes gradu és de Amodules a gauche (resp  a droite) gradu ès de degr é k ∈ N definissent une cat égorie appel ée la cat égorie des complexes associ és aux morphismes de A-modules a gauche (resp ` a droite) gradu ès not ée par COMP(AGr − Mod) (resp COMP(Mod − AGr). THEOR éME 3 ` : Soient A = M n∈N An un anneau gradue et AGr − Mod (resp Mod − AGr) la categorie des A-modules a gauche (resp ` a droite) gradu ès. Alors la relation C(–) : AGr − Mod −→ COMP(AGr − Mod) (resp C(–) : AGr − Mod −→ COMP(AGr − Mod)) qui a tout ` A-module a gauche ` (resp a droite) gradu è M = M p∈N Mp de AGr − Mod (resp Mod − AGr) fait correspondre la suite complexe M? associee aux morphismes de A-modules a gauche (resp ` a droite) gradu ès M = M p∈N Mp et qui a tout morphisme gradu ès f : M = M p∈N Mp → N = M p∈N Np+k de Amodules a gauche (resp ` a droite) gradu è de degr é k ∈ N fait correspondre la chaine complexe f? associee aux morphismes gradu és de A-modules a gauche (resp ` a droite) gradu ès de degre k ∈ N f : M = M p∈N Mp → N = M p∈N Np+k est un foncteur covariant. THEOR éME 4 ` : Soit A = M n∈N An un anneau gradue. Alors les donn ées suivantes : (1) Les objets sont les A-modules a gauche (resp ` a droite) bigradu ès, (2) Les morphismes sont les morphismes de A-modules a gauche (resp ` a droite) bigradu ès definissent une cat égorie appel ée la cat égorie des A-modules a gauche (resp ` a droite) bi- ` gradues not ée par AbiGr − Mod (resp Mod − AbiGr). THEOREME 5 : Soit A = M n∈N An un anneau gradue. Alors les donn ées suivantes : (1) Les objets sont des suites complexes associees aux morphismes de A-modules a gauche ` (resp a droite) bigradu ès, (2) Les morphismes sont les chaines complexes associees aux morphismes bi-gradu é de Amodules a gauche (resp ` a droite) bigradu ès de degr é (k, k 0 ) ∈ N × N. definissent une cat égorie appel ée cat égorie des complexes associ és aux A-modules a gauche ` (resp a droite) bigradu ès not ée par COMP(AbiGr − Mod) (resp COMP(Mod − AbiGr) ). X Et en fin dans le chapitre 3 la notion de suites spectrales dont on a demontr é les diff érents theor émes suivants : ` 

SUITES SPECTRALES TABLE DES MATIERES ` THEOREME  

Soit (C, d) une suite complexe de morphismes de A-modules a gauche ` (resp a droite) gradu ès. Alors chaque suite d écroissante de sous complexes de la chaine com- plexe associee a` (C, d) determine une suite spectrale. THEOR éME 2 ` : Soit (M, d 0 , d 00) un bicomplexe de A-modules a gauche (resp ` a droite) bi- ` gradues du premier quadrant bicomplexe. Alors pour tout entier (p, q) on a : (1) 0E 1 p,q = Hq(Mp,?, d 00) ∀ (p, q) ∈ N × N, (2) 0E 2 p,q = Hp(Hq(Mp,?, d 00), d 0) ∀ (p, q) ∈ N × N. THEOR éME 3 ` : Soit (M, d 0 , d 00) un bicomplexe de A-modules a gauche (resp ` a droite) bi- ` gradues du premier quadrant bicomplexe. Alors pour tout entier (p, q) on a : (1) 00E 1 p,q = Hq(M?,p, d 0) ∀ (p, q) ∈ N × N, (2) 00E 2 p,q = Hp(Hq(M?,p, d 0), d 00) ∀ (p, q) ∈ N × N .

NOTIONS D’ALGEBRE  HOMOLOGIQUE 

Ce chapitre est une breve introduction du langage des cat ègories, foncteurs et des com- plexes utiles dans toutes les branches des Mathematiques. 1.1 CATEGORIES Definition 1.1.1 Une categorie C est la donnee : (1) D’une classe ob(C) d’objets de C, (2) Pour tout couple (X,Y) d’objets de C on associe un ensemble note Mor(X,Y) ou Hom(X,Y) dont les elements sont appeles morphismes de source X et de but Y, si f ∈ HomC (X,Y) on notera f : X → Y et on dira donc que f est un morphisme de C ou une fl`eche de C de source X et de but Y, (3) Pour tout triplet (X,Y, Z) d’objets de C d’une application θX,Y,Z : MorC (X, Z) × MorC (X, y) → MorC (X, Z) (g, f) 7→ g ◦ f . appelee composition des morphismes, qui est associative, et telle que pour tout objet X de C , il existe un element 1X ∈ HomC (X, X), appele identite de X , tel que ∀ f ∈ HomC (X,Y) , on a f ◦ 1X = f et ∀ f ∈ HomC (Y, X), on a 1X ◦ f = f . 9 1.1. 

CATEGORIES 

 EXEMPLES DE CATEGORIES 

(a) la categorie des ensembles not éeéns. Dans cette categorie les objets sont des ensembles ét les morphismes des applications. (b) la categorie des A-modules a gauches (resp ` a droites) o ` u` A est un anneau quelconque est notee par A − Mod (resp Mod − A). Dans cette categorie les objets sont des A-modules a` gauches (resp a droites) et les morphismes des morphismes de ` A-modules a gauche ` (resp a droite). ` (c) la categorie des groupes ab éliens not ée Ab. Dans cette categorie les objets sont des groupes abeliens et les morphismes des morphismes de groupes ab éliens. (d) la categorie des anneaux not ée Ann. Dans cette categorie les objets sont des anneaux et les morphismes des morphisme d’anneau. 

 MORPHISMES ET OBJETS REMARQUABLES DANS LA CATEGORIE DES A-MODULES

 Definition 1.1.2 Soient A − Mod la categorie des A-modules `a gauche et f : X → Y un morphisme de A − Mod . Alors on dit que f est un A − Mod monomorphisme (ou un monomorphisme de A − Mod ) si l’une des conditions equivalentes suivantes est verifiee : (1) ∀ Z ∈ ob(A − Mod), ∀ (U, V) ∈ HomA−Mod(Z, X) × HomA−Mod(Z, X), f ◦ U = f ◦ V ⇒ U = V. (2) ∀ Z ∈ ob(A − Mod) l’application T(Z, f) : MorA−Mod(Z, X) → MorA−Mod(Z, X) U 7→ T(Z, f)(U) = f ◦ U est injective. Definition 1.1.3 Soient A − Mod la categorie des A-modules `a gauche et f : X → Y un morphisme de A − Mod. Alors on dit que f est un A − Mod epimorphisme (ou un epimorphisme de A − Mod) si l’une des

FONCTEUR DANS LA CATEGORIE DES A-MODULES conditions equivalentes suivantes est verifiee : (1) ∀ Z ∈ ob(A − Mod), ∀ (U, V) ∈ HomA−Mod(Z, X) × HomA−Mod(Z, X), U ◦ f = V ◦ f ⇒ U = V. (2) ∀ Z ∈ ob(A − Mod) l’application T(f , Z) : MorA−Mod(Y, Z) → MorA−Mod(X, Z) U 7→ T(f , Z)(U) = U ◦ f est injective. Definition 1.1.4 Soit A − Mod la categorie des A-modules `a gauche . Alors on dit qu’un objet I de A − Mod est initial si ∀ X ∈ ob(A − Mod), HomA−Mod(I, X) est un singleton. Definition 1.1.5 Soit A − Mod la categorie des A-modules `a gauche. Alors on dit qu’un objet F de A − Mod est final si ∀ X ∈ ob(A − Mod), HomA−Mod(X, F) est un singleton. Definition 1.1.6 Soit A − Mod la categorie des A-modules `a gauche. Alors on dit qu’un objet O de A − Mod est un objet nul si O est `a la fois un objet initial et un objet final. Exemple 1.1.1 La categorie A − Mod (resp Mod − A) et la categorie des groupes abeliens Ab admettent 0 comme objet nul. 

FONCTEUR DANS LA CATEGORIE DES A-MODULES 

FONCTEURS COVARIANTS 

Definition 1.2.1 Soient A − Mod la categorie des A-modules `a gauche et C une categorie quelconque. Alors on appelle foncteur covariant F defini de A − Mod dans C la donnee : (1) ∀ X ∈ ob(A − Mod) d’un objet Y de C note f(X), SUITES SPECTRALES 1.2. FONCTEUR DANS LA CATEGORIE DES A-MODULES (2) ∀ f : X → Y un morphisme de A − Mod d’un morphisme de C note F(f) : F(X) → F(Y), (3) ∀ f : X → Y , ∀ g : Y → Z deux morphismes de A − Mod, F(g ◦ f) = F(g) ◦ F(f), (4) ∀ X ∈ ob(A − Mod), F(1X) = 1F(X) . Proposition 1.2.1 Soient M un A-module `a gauche, A − Mod la categorie des A-modules `a gauche et Ens la categorie des ensembles. Alors le foncteur HomA−Mod(M, –) : A − Mod −→ Ens tel que : (i) ∀ N ∈ ob(A − Mod), HomA−Mod(M, –)(N) = HomA−Mod(M, N), (ii) ∀ f : N −→ P un morphisme de A − Mod, HomA−Mod(M, –)(f) = Hom(A−Mod) (M, f) est un foncteur covariant. Preuve : Soit M un objet fixe de A − Mod. Posons F = HomA−Mod(M, –) (i) ∀ Y ∈ ob(A − Mod) , F(Y) = HomA−Mod(M,Y); (ii) ∀ f : Y → Z un morphisme de A − Mod, F(f) : HomA−Mod(M,Y) → HomA−Mod(M, Z) ϕ 7→ f ◦ ϕ Verifions que F est un foncteur. (a) ∀ Y ∈ ob(A − Mod) ∀ F(Y) = HomA−Mod(M,Y). (b) ∀ f : Y → Z un morphisme de A − Mod, F(f) : HomA−Mod(M,Y) → HomA−Mod(M, Z) ϕ 7→ f ◦ ϕ F(f) est un morphisme de Ens. (c) Soient f : Y → Z , g : Z → T deux morphismes de A − Mod. Montrons que F(g ◦ f) = F(g) ◦ F(f). F(g ◦ f) : HomA−Mod(M,Y) → HomA−Mod(M, T) ϕ 7→ (g ◦ f) ◦