Suivi lagrangien de la phase discrète

Équation du mouvement

La méthode Euler-Lagrange, également appelée « Suivi de Particule Lagrangien », propose de modéliser l’écoulement du gaz par une approche Eulérienne, tandis que le spray est représenté par un ensemble de « particules numériques » Lagrangiennes. Dans la suite de cette section, l’indice « p » désigne les particules et l’indice « G » désigne le gaz, également appelé fluide porteur. La trajectoire de chaque particule à travers le domaine de calcul est calculée depuis le point d’injection. Les mouvements de chaque particule sont calculés à partir du système d’équations ci-dessous : extérieur P P P P F dt d u m u dt d X   (I.29) Où mp représente la masse de la particule, ⃗up sa vitesse absolue et ⃗xp sa position instantanée dans le référentiel absolu. Les équations de conservation de la masse et de l’énergie peuvent également être utilisées en fonction des mécanismes modélisés. En considérant que la gravité est la seule force extérieure de volume, l’équation générale du mouvement pour la particule peut s’écrire : trainée masse ajoutée Gradient de pression por c e historique flottabili té p p F F F F F F dt du m        tan   (I.30) De nombreux auteurs se sont attachés à caractériser chacun des termes pour une plage de Reynolds particulaire Rep la plus étendue possible [29] [30]. Ce nombre de Reynolds particulaire est calculé comme suit : Chapitre I Etat de l’art, Généralités sur la pulvérisation Page | 51 G p rel p d u   Re  (I.31) Où urel est la norme de la vitesse relative ⃗urel entre la particule et le fluide porteur ⃗urel=⃗up−⃗uG. IV.2.2.2 Force de traînée stationnaire Cette force résulte du frottement visqueux et des actions de pression à la surface de la particule. L’expression générale de cette force est la suivante : rel rel G P D rel trainée u u F  S C u 2 1   (I.32) Où Sp est le principal couple de la particule. Pour une particule sphérique 4 2 p p d S   . La grandeur CD représente le coefficient de traînée. En régime de Stokes, c’est-à-dire Rep≪1 pour une sphère rigide, le coefficient de traînée prend la forme suivante : p p D C Re 24 Re  1   Toujours dans le cas d’une sphère rigide et pour Rep≤1000, le coefficient de traînée est donné par la relation de Schiller et Nauman [31] :   0 .687 , .& 1 0 .15 Re Re 24 Re  1000    p D S N C (I.33) Les expressions établies par Morsi et Alexander [32] sont adaptées pour une plus large gamme de Reynolds (Rep<5×104 ). La forme générale du coefficient de traînée CD s’écrit comme suit : 2 3 1 2 Re Re K K K C P P D    (I.34) Où les coefficients k1, k2 et k3 sont donnés par plage de Rep dans le tableau I.3. Ces relations sont complétées par l’approximation CD≈0.44 pour des valeurs de Reynolds  retrouvons dans l’intervalle : 1000<Rep<105 (Loi de Newton). La figure I.32 récapitule  l’évolution de ces coefficients en fonction du nombre de Reynolds. Sur cette figure, les  corrélations établies pour des coefficients de traînée d’une sphère fluide peu déformée sont  également présentées. Dans le domaine des Reynolds inférieurs à 200, la corrélation de  Hadamard se base sur la différence de viscosité entre le fluide porteur, et le fluide de la sphère.  Rivkind et al. [33] Ont proposé une corrélation sur une plage plus étendue de Reynolds,  2≤Rep≤500 pour une sphère fluide peu déformée. On observe les faibles variations (à l’échelle  de la figure) amenées par la prise en compte d’une déformation minime.

Force de masse ajoutée

La force de masse ajoutée traduit la force nécessaire à la mise en mouvement du fluide porteur autour de la particule. C’est donc une force qui freine les particules. Le coefficient CmA donne la masse du fluide porteur réellement mis en mouvement, exprimé en ration de la masse de la particule. Le coefficient CmA est généralement fixé à ½, mais peut également varier en fonction de l’accélération relative de la particule et du fluide porteur [2]. 2 1 ; 6 3 ;            m A rel p m A Masse ajoutée avec C dt d d u F C   (I.37) IV.2.2.4 Force de gradient de pression La force de gradient de pression caractérise l’inertie du mouvement d’ensemble fluide porteur particule et représente la force que le fluide doit exercer sur un élément de lui-même, de volume identique à celui de la particule, afin de lui fournir une accélération égale à l’accélération de l’écoulement non perturbé (loin de la particule) [2]. La forme générale du gradient de pression s’écrit en fonction de la dérivée temporelle de la vitesse du fluide porteur

Force d’histoire

La force d’histoire, ou terme historique de Basset, traduit le temps non nul que met une impulsion de mouvement issue de la particule à un instant t pour se propager dans le fluide porteur. Au contraire de la force de traînée qui est une interaction à action immédiate, la force d’histoire produit une interaction progressive qui s’atténue avec le temps. Sa forme générale s’écrit :                 t p G G histoire d d du t d du t F t d K t       ( ) ( ) 3 ( , ) (I.39) Avec          v t d K t G p 2 ( , ) le noyau de la force d’histoire.