Tests d’ajustement pour un processus de Poisson de la fonction d’intensité discontinue

Préliminaires sur les Processus de Poisson 

Introduction Dans ce chapitre, nous commençons par étudier les processus de Poisson non homogènes. Nous donnons ensuite des définitions et des propriétés par rapport à l’intégrale stochastique et au rapport de vraisemblance au sens du processus de Poisson. Enfin, nous rappelons le développement asymptotique de l’estimateur du maximum de vraisemblance au premier ordre (pour une étude exhaustive voir Kutoyants [53]) et nous donnons des définitions et des propriétés relatives au processus de Wiener utiles dans les chapitres à venir. 

Processus de Poisson non homogènes 

Processus de Poisson Processus ponctuels et fonction aléatoire de comptage Un processus ponctuel sur [0, T] se décrit, pour tout entier M,par la donnée d’une suite croissante de points aléatoires 0 < t1 < t2 < · · · < tM < · · · ≤ T dans[0, T], qui sont des variables aléatoires définies sur un espace de probabilité (Ω, F, P). Posons s1 = t1 3 s2 = t2 − t1 · · · sM = tM − tM−1 · · · t0 = 0 et les variables aléatoires ti , 1 ≤ i ≤ M, sont les instants où se produisent un événement. Les Si ,1 ≤ i ≤ M, sont les délais où les temps d’attente entre deux événements successifs. On dit que (ti)1 ≤ i ≤ M définit un processus ponctuel. Désignons par Xt le nombre d’événements qui se sont produits au cours de la période de temps [0, t] et supposons que X(0) = X0 = 0. On définit la fonction aléatoire de comptage XT = {Xt , 0 ≤ t ≤ T} du processus ponctuel ti , 1 ≤ i ≤ M, de la façon suivante : Xt = X M j=1 1{tj≤t}, Xt est ainsi le nombre d’événements qui se sont produits avant l’instant t. – Notons que X0 = 0 puisque t1 > 0, XT < +∞. S’il n’y a pas de point (d’événement) dans l’intervalle [0, T], alors, on pose M = 0 et Xt = 0, 0 ≤ t ≤ T. Bien entendu, M = XT . – Pour 0 ≤ s < t, Xt−Xs est le nombre d’événements qui se sont produits dans l’intervalle de temps ]s, t]. – La trajectoire XT est continue à droite et admet une limite à gauche . C’est une fonction croissante par morceaux avec des sauts de hauteur 1, c’est à dire Xt = Xt− + (1 ou 0). – Notons que la donnée Xt , 0 ≤ t ≤ T est équivalente à celle de la suite ti , 1 ≤ i ≤ M, et que pour tout entier n, l’on a les relations suivantes : 1.{Xt ≥ n} = {tn ≤ t}, 2.{Xt = n} = {tn ≤ t < tn+1}, 3.{Xs < n ≤ Xt} = {s < tn ≤ t}. Processus de Poisson homogène Definition 1.2.1 On dit que le processus ponctuel ti , 1 ≤ i ≤ M, ou sa fonction aléatoire de comptage XT est un processus de Poisson homogène si XT est une fonction aléatoire à accroissements indépendants et stationnaires c’est à dire si a) X0 = 0 p.s. ; b) ∀0 < s0 < s1 < · · · < sN < · · · ≤ T, les accroissements Xs2 − Xs1 , · · · , XsN − XsN−1 4 du processus sur les intervalles disjoints [s1, s2], · · · [sN , sN−1] sont des variables aléatoires indépendantes ; c) pour 0 ≤ s < t, Xt − Xs ∼ L (Poisson) et cette loi ne dépend de s et de t que par la différence t − s. La propriété b) est appelée la stationnarité des accroissements de {Xt}. La définition du processus de Poisson est justifiée par la proposition suivante : Proposition 1.2.2 Soit XT = {Xt , 0 ≤ t ≤ T} la fonction aléatoire de comptage d’un processus de Poisson homogène. Il existe λ > 0 tel que pour tous 0 ≤ s < t, la loi de Xt − Xs est la loi de poisson de paramètre λ(t − s), c’est à dire P(Xt − Xs = k) = exp(−λ(t − s))[λ(t − s)]k k! , k ∈ N avec N : ensemble des entiers naturels. Remarque 1. Ce paramètre λ est appelé l’intensité du processus de Poisson homogène {Xt , 0 ≤ t ≤ T}. Il est égal au nombre moyen d’événements qui se produisent pendant un intervalle de temps de longueur unité, ce qui signifie : E(Xt+1 − Xt) = λ . Processus de Poisson non homogène sur [0, T] Definition 1.2.3 Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé. Un processus stochastique XT = Xt , t ∈ [0, T] défini sur cet espace est un processus de Poisson non homogène de mesure d’intensité Λ(., .) si les trois conditions suivantes sont satisfaites : – X0 = 0 p.s. – pour tout i ∈ P et pour tout 0 < t0 < t1 < · · · < ti < · · · ≤ T, les variables aléatoires Xt0 , Xt1 − Xt0 , · · · , Xti − Xti−1 sont indépendantes. – Pour tout 0 ≤ s < t ≤ T, il existe une fonction Λ(s, t) ≥ 0 telle que pour tout k ∈ N on ait : P(Xt − Xs = k) = Λ k (s, t) k! exp(−Λ(s, t)), k ∈ N. Remarque 2. 1. Nous disons que la mesure d’intensité Λ(., .) est absolument continue, si elle est de la forme Λ(s, t) = Z t s S(u)du, 5 où S(u),u ≥ 0 est une fonction non négative. La fonction S(.) est alors appelée fonction d’intensité. 2. Le processus de Poisson {Xt , 0 ≤ t ≤ T} de mesure d’intensité Λ(., .) vérifie E(Xt) = Λ(t) et V ar(Xt) = Λ(t), où on a posé Λ(t) = Λ(0, t). 3. Si S est une constante c’est-à-dire S(u) = λ > 0, on a un processus de Poisson homogène P(Xt − Xs = k) = exp(−λ(t − s))[λ(t − s)]k k! , k ∈ N. Definition 1.2.4 ( Processus de Poisson dans le cas général) soit (Ω, F, P) un espace probabilisé et (χ, ρ) un espace métrique complet, muni de la tribu des boréliens. Notons par M l’espace des mesures σ-finies définies sur (χ, ρ) et par M0 le sous-espace des mesures σ-finies définies sur (χ, ρ) et prenant ses valeurs dans N, c’est-à-dire que : X ∈ M0 ⇐⇒ X = X i δti , (1.1) où ti ∈ χ et δt est la mesure de Dirac au point t. Notons par B(M0) la plus petite σ -algèbre des sous-ensembles de M telle que : ΠB : M0 −→ N, avec ΠB(X) = X(B),B ∈ B soit mesurable. Soit Λ ∈ M. Une variable aléatoire X définie sur (Ω, F, P) et à valeurs dans M0 est un processus de Poisson de mesure d’intensité Λ si et seulement si on a : -Pour chaque choix des ensembles finis disjoints B1, B2, · · · , Bm ∈ B, les variables aléatoires X(B1), X(B2), · · · , X(Bm) sont indépendantes. – Pour tout B ∈ B avec Λ(B) < ∞, X(B) est une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre Λ(B) c’est-à-dire que : P(X(B) = k) = Λ(B) k k! exp(−Λ(B)), k = 0, 1, · · · 6 1.2.2 Intégrale stochastique par rapport aux processus de Poisson Soit X un processus de Poisson de mesure d’intensité Λ avec la fonction d’intensité S et T un réel positif. L P ([0, T], dt), p ≤ 1 est l’ensemble des fonctions mesurables f(.) : [0, T] −→ R telles que Z T 0 | f(t) | p S(t)dt < ∞. On définit l’intégrale stochastique de f(.) par rapport au processus de Poisson par I(f) = Z T 0 f(t)dX(t) = X 0≤ti≤T f(ti), où X est définie dans (1.1). L’intégrale stochastique par rapport au processus de Poisson centré π(t) = X(t) − R t 0 S(v)dv s’écrit sous la forme : I∗(f) = Z T 0 f(t)dπ(t) = I(f) − Z T 0 f(t)dS(t). Des propriétés de l’intégrale stochastique sont données dans le lemme suivant : Lemme 1.2.5 Soit f(.) ∈ L 1 ([0, T], dt); alors les intégrales stochastiques I(f) = Z T 0 f(t)dX(t), I∗(f) = Z T 0 f(t)dπ(t) sont bien définies et EI(f) = Z T 0 f(t)dS(t), EI∗(f) = 0. (1.2) Pour les fonctions caractéristiques Φ(u) = E exp{iuI(f)} et Φ∗(u) = E exp{iuI∗(f)}. nous avons les égalités suivantes Φ(u) = exp{ Z T 0 [exp{iuf(t)} − 1]S(t)dt} (1.3) Φ∗(u) = exp{ Z T 0 [exp iuf(t) − 1 − iuf(t)]S(t)dt}. (1.4) 7 Si f(.), g(.) ∈ L 1 ([0, T], dt) \ L 2 ([0, T], dt) alors EI∗(f) 2 = Z T 0 f(t) 2S(t)dt, E(I∗(f)I∗(g)) = Z T 0 f(t)g(t)S(t)dt. (1.5) pour une fonction f(.) ∈ L 1 ([0, T], dt) telle que e f(.) − 1 − f(.) ∈ L 1 ([0, T], dt), nous avons E exp{ Z T 0 f(t)dπ(t)} = exp{[e f(t) − 1 − f(t)]S(t)dt}. (1.6) Preuve : Kutoyants [53]. La fonction f ∈ L 1 ([0, T], dt) donc R T 0 | f(t) | S(t)dt < ∞. On définit une fonction étagée simple f(.) ≥ 0 par f(t) ≡ f (m) (t) = Xm i=1 αi1{τi−1≤t<τi} où αi , i = 1, · · · , m et 0 = τ0 < τ1 < · · · < τm = T sont des réels connus . L’intégrale stochastique de f (m) (.) s’écrit I(f (m) ) = Z T 0 f (m) (t)dX(t) = Xm i=1 αi(X(τi) − X(τi−1)). EI(f (m) ) = Xm i=1 αiE(X(τi) − X(τi−1)) = Xm i=1 αiΛ(τi−1, τi) = Xm i=1 αi Z τi τi−1 S(t)dt = Z T 0 f (m) (t)S(t)dt. Soit f (m) une suite croissante de fonctions étagées simples telle qu’on ait f (m) (t) ↑ f(t) quand m −→ ∞ et Z T 0 | f (m) (t) − f(t) | S(t)dt −→ 0, 8 d’après le théorème de la convergence monotone I(f (m) ) = Z T 0 f (m) (t)dX(t) ↑ Z T 0 f(t)dX(t) = I(f), et par le théorème de convergence dominé (Lebesgue) EI(f) = lim m−→+∞ EI(f (m) ) = Z T 0 f(t)S(t)dt. La première égalité de (1.2) est ainsi prouvée pour une fonction f(.) positive. Dans le cas général, prendre f(t) = f+(t) − f−(t), où f+(t) = f(t) ∨ 0 et f−(t) = −(f−(t) ∧ 0) avec f+(t) ≥ 0 , f−(t) ≥ 0 , d’où (1.2) est vérifiée pour toute fonction f(.) ∈ L 1 ([0, T], dt). La fonction caractéristique d’une variable aléatoire X suivant la loi de Poisson de paramètre Λ est E(e iuX) = X +∞ k=1 e iukP(X = k) = X +∞ k=1 e iuke −Λ Λ k k! = e −ΛX +∞ k=1 (Λe (iu) ) k k! . Donc, pour une fonction simple f (m) ,la fonction caractéristique de l’intégrale stochastique I(f (m) ) s’écrit E exp{iuI(f (m) )} = E exp{iuXm k=1 αk[X(τk) − X(τk−1)]}, puisque les accroissements des variables aléatoires de Poisson sont indépendants,l’égalité ci-dessus devient E exp{iuI(f (m) )} = Ym k=1 E exp{iuαk[X(τk) − X(τk−1)]} = Ym k=1 exp{iuαkE[X(τk) − X(τk−1)]} 9 = Ym k=1 exp{iuαkΛ(τk−1, τk)} = Ym k=1 exp{iuαk Z τk τk−1 S(t)dt} = Ym k=1 exp{ Z τk τk−1 [e iuαk − 1]S(t)dt} = exp{ Xm k=1 Z τk τk−1 [e iuαk − 1]S(t)dt} = exp{ Z T 0 [e iuf(m) (t) − 1]S(t)dt}. Comme précédemment si nous faisons tendre m −→ +∞, nous avons : E exp{iuI(f (m) )} −→ E exp{iuI(f)}, et nous obtenons finalement Φ(u) = exp{ Z T 0 [e iuf(t) − 1]S(t)dt}. Puisque I∗(f) = R T 0 f(t)dπ(t) = R T 0 f(t)[dX(t) − S(t)dt], on a Φ(u) = Φ∗(u) exp{iu Z T 0 f(t)S(t)dt} et l’égalité (1.4) se déduit de (1.3). Les égalités (1.5) et (1.6) sont démontréesde façon analogue. 1.2.3 Rapport de vraisemblance Notons par (D[0, T], DT ) l’espace mesurable (muni de sa tribu borélienne DT ) des fonctions continues à droite, admettant une limite à gauche, ayant au plus des discontinuités de première espèce, définies sur l’intervalle [0, T]. Soient X1 et X2 deux processus de Poisson de fonctions d’intensité S1 = {S1(t), 0 ≤ t ≤ T} et S2 = {S2(t), 0 ≤ t ≤ T} satisfaisant respectivement les conditions suivantes : Λ1,T = Z T 0 S1(t)dt < +∞, Λ2,T = Z T 0 S2(t)dt < +∞. 10 Soit Λ1(.) et Λ2(.) les deux mesures d’intensité correspondantes sur l’espace mesurable ([0, T], BT ), où BT est la σ – algèbre borélienne. Les deux processus de Poisson X1 et X2 appartiennent à (D[0, T], DT ) et définissent deux mesures de probabilité P1 et P2. Notons P1 ⊥ P2 la singularité des mesures ,P1  P2 l’absolue continuité des mesures et P1 ∼ P2 l’équivalence des mesures. Si Λ1  Λ2, alors, il existe une dérivée de Radon-Nykodim S(t) = dΛ1 dΛ2 (t). Proposition 1.2.6 Si Λ1  Λ2, et Λ2([0, T]) < +∞ alors, P1  P2. De plus, dP1 dP2 (X) = exp{ Z T 0 ln S(t)dX(t) − Z T 0 [S(t) − 1]dΛ2(t)}. Enfin si Λ1 ∼ Λ2 alors, P1 ∼ P2. Preuve : Voir Brown [18]. Soient X,X1 et X2 trois processus de Poisson d’intensités respectives Λ, Λ1 et Λ2 et définissant les mesures de probabilité respectives P, P1 et P2. Si Λ1  Λ et Λ2  Λ, alors de la proposition précédente, on en déduit l’existence des rapports de vraisemblance Z1 = dP1 dP (X) et Z2 = dP2 dP (X). Notons Λi , i = 1, 2 les mesures définies pour tout borélien B de R par Λi(B) = Z B Si(u)dΛ(u) où Si(.) est la fonction d’intensité associée à Λi . Nous avons alors le lemme suivant : Lemme 1.2.7 Si Λ1 ∼ Λ2 sur l’intervalle [0, T], alors E | Z 1 2 1 − Z 1 2 2 |≤ Z T 0 ( p S1(t) − p S2(t) )2Λ(dt) et EZ 1 2 1 ≤ exp{ −1 2 Z T 0 ( p S1(t) − 1 )2Λ(dt)} où E(.) est l’espérance Mathématique par rapport à la mesure de probabilité P. De plus pour tout p > 1, nous avons E | Z 1 2 1 − Z 1 2 2 | p≤ ap{( Z T 0 l 2 (t)Λ1(dt))p + (Z T 0 l 2 (t)Λ2(dt))p + Z T 0 l 2p (t)Λ1(dt) + Z T 0 l 2p (t)Λ2(dt)} +(2p) −2p { Z T 0 l 2 (t)Λ1(dt) + Z T 0 l 2 (t)Λ2(dt)}, où ap = 1 2 p −2pCp et la fonction l(t) = ln(S2(t)S1(t) −1 ). Preuve : Voir Kutoyants [53]. 11 1.3 Processus de Wiener Nous rappelons quelques définitions à propos du processus de Wiener, pour une étude exhaustive on pourra se référer par exemple à l’ouvrage de Lipster et Shiryaev [60]. Definition 1.3.1 Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé et F = {Ft , 0 ≤ t ≤ T} une famille de σ – algèbres de F . On dit que F est une filtration, si c’est une famille croissante, au sens où Fs ⊂ Ft ⊂ F si 0 ≤ s < t ≤ T. Si F est une filtration sur un espace probabilisé (Ω, F, P), on dit que (Ω, F, {Ft , 0 ≤ t ≤ T}, P) est un espace probabilisé filtré. Notons que (X(t), Ft), t ∈ [0, T] signifie que X(t) est une variable aléatoire Ft – mesurable pour tout t ∈ [0, T] (X(t) est un processus non-anticipant). Definition 1.3.2 Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé et F = Ft , 0 ≤ t ≤ T une filtration. Le processus aléatoire W = (W(t), Ft), t ∈ [0, T] est un processus de Wiener standard s’il possède les propriétés .