Variables dépendantes discrètes et volatilité conditionnelle autorégressive

Les modèles à variables dépendantes discrètes 

CHOIX ENTRE PLUSIEURS OPTIONS

Chaque individu i doit faire un choix entre J options différentes (j = 1, 2 . . .J). Pour chaque individu i, et pour chaque option j, on dispose d’un vecteur wij des caractéristiques de l’option j telles qu’elles sont perçues par l’individu i. Dans les cas particuliers où les caractéristiques perçues de l’option j sont identiques, quel que soit l’individu i, l’indice i devient inutile : wij = wj pour tout i. Pour chaque individu i, on dispose également d’un vecteur li des caractéristiques propres à cet individu. Pour un individu particulieri et une option particulière j, on dispose donc d’un vecteur de caractéristiques observées zij tel que z 0 ij = (w 0 ijl 0 i ) 0 . Dans certains cas, ce vecteur se ramène simplement à z 0 ij = (w 0 j l 0 i ). L’utilité qu’un individu i retire de l’option j est notée Uij. On suppose que cette utilité dépend des caractéristiques rassemblées danszij et d’un facteur aléatoire (ce dernier tenant compte du fait qu’il est impossible d’identifier et d’observer tous les facteurs qui influent sur les choix d’un individu) : Uij = β 0 zij + εij (7.1) où εij est une composante aléatoire, et donc une variable aléatoire, qui n’est pas observable. Son espérance est supposée nulle. Le vecteur β rassemble les coefficients qui mesurent l’impact de chaque variable de zij sur l’utilité Uij. L’individu i choisit j quand l’utilité qu’il retire de l’option j est supérieure aux utilités qu’il retire de chacune des autres options : Dire que « le choix de i est l’option j » équivaut à dire : • Uij > Uik pour tout k 6= j • ou encore, β 0 zij + εij > β 0 zik + εik pour tout k 6= j • ou encore, εik − εij < β 0 zij − β 0 zik pour tout k 6= j La probabilité Pij que le choix de l’individu i se porte sur l’option j est donc la probabilité que l’utilité qu’il retire de j soit supérieure à l’utilité qu’il retire de n’importe quelle autre option : Pij = P(εik − εij < β 0 zij − β 0 zik pour tout k 6= j) ou encore : Pij = P(εik − εij < β 0 (zij − zik) pour tout k 6= j). (7.2) Dans le cas particulier où le nombre d’options s’élève à deux (J = 2), c’est-à-dire quand les choix d’un individu i ne peuvent porter que sur j = 1 ou j = 2, la probabilité Pi1 que le choix de l’individu i se porte sur l’option 1 est la probabilité que l’utilité qu’il en retire soit supérieure à l’utilité qu’il retire de l’option 2 : Pi1 = P .