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Bornes pour la vitesse de sortie exponentielle :

Sortie des Diffusions

Borne inférieure

Nous devons établir les bornes inférieures et supérieures pour les temps de transitions τ% où les deux devraient dépasser avec une faible probabilité exponentielle qu’on doit déterminer exactement. Il se trouve que la probabilité de dépasser la borne supérieure dis-paraisse asymptotiquement à tout ordre exponentiel, donc, la vitesse exacte de Grandes Déviations est déterminée seulement par Px(τ% ≤ (aµ − h)T ε) de l’excès de la borne in-férieure. Pour la borne inférieure de la dernière probabilité, aussi bien pour une borne supérieure de Px(τ% ≥ (αµ +h)T ε), on doit prouver un type de la distribution asymptotique Px(τ% ≥ s(ε)) pour une suite s(ε) bien choisie . On peut l’exprimer en terme de problème de sortie de diffusion sur un domaine borné bien choisi.
Rappelons que τ% est le premier temps d’entrée pour un petit voisinage B%(x+) du point d’équlibre x+. Considérons le domaine borné D = D(R, %) := BR(0) \ B%(x+), et soit τD := inf{t ≥ 0, Xt ∈/ D} le premier temps de sortie de D ; une sortie de D veut dire que soit entre dans B%(x+) c’est- à -dire on obtient une transtion pour un autre point d’équilibre ou X sort de BR(0). Mais comme conséquence de la condition de croissance (2.7), la probabailité du dernier événement ne contribue pas les échelles des grandes dèvi-ations dûes à la proposition (2.2.1), comme le simple argument suivant le montre :
Soit s(ε, µ) = sT ε pour s > 0. Puisque τD = τ% ∧σR, où σR est le premier temps de sortie de la diffusion de BR(0), la Proposition (2.2.1) assure que pour R1, ε1 > 0 sachant que R ≥ R1 et ε ≤ ε1
Px (τ% ≥ s(ε, µ)) ≤ Px ({τ% ≥ s(ε, µ)} ∩ {σR ≥ s(ε, µ)}) + Px (σR < s(ε, µ)) ≤ Px(τD ≥ s(ε, µ)) + Cη2 s(ε, µ) exp −ηR , pour k x k≤ R. ε ε2
Le choix de s(ε, µ) = sT ε et T ε = exp(µε), le dernier terme de la dernière somme est d’or- dre 1 exp(µ −nR) c’est-à- dire on peut le supposer exponentiellement petit pour quelque ε ε
ordre exponentiel requis par le choix convenble de R. Evidement, ceci tient uniformement avec µ dans un ensemble compact. Cet argument montre que l’investigation de la propri-eté asymptotique de la loi de τ% peut être remplacée par l’étude de proprieté de τD, avec une erreur pouvant être choisi arbitrairement petite par R.
Similairement, pour le problème de sortie d’un temps homgène, nous avons besoin d’ un lemme qui montre comment approximer l’énergie de transition par le coût en trajrec-toire particulière qui sort sur un voisinage de D. Ceci est d’importance capitale pour l’éstimation de la loi asymptotique de τD.
Lemme 3. 1. Soit ϑ > 0 et M un intervalle compact de R+, il existe T0 > 0 et δ > 0 avec la proprieté suivante :
Pour tout x ∈ D et s ∈ M, on peut trouver une trajectoire continue ζx,s ∈ C0T0 commençant
x,s x,s
en ζ0 = x et qui se termine en un point de distance d(ζT , D) ≥ δ loin de D tel que
0
I0sT0 (ζx,s) ≤ e(s) + ϑ pour tout s ∈ M
Démonstration. Cette preuve étend les arguments du Lemme 5.7.18 et 5.7.19 présentés dans [5]. Fixons ϑ et on va décomposer le domaine D en trois parties. Fixons l > 0, définissons un domaine βl par βl = {x ∈ D : dist(x, χ) < l}, où χ est la séparation de A− et A+. Par suite, on va définir deux ensembles ouverts D− = (D \ βl) ∩ A− et D+ = (D \βl)∩A+. On va construire des trajectoires appropriées des points y ∈ D aux points de distance positive loin de D qui n’excède pas l’énérgie e(s) pas plus que ϑ est uniformement en s ∈ M en quatre étapes.
Etape 1.
Supposons en premier que y ∈ D−. Pour un l > 0 assez petit, on va constriure δ1l > 0, S1l > 0 et une trajectoire ψ1s,y,l définie sur un intervalle de temps [0,τ1s,y,l] avec τ1s,y,l ≤ S1l pour tout y ∈ D−, s ∈ M et sur lequel on sort d’un δ1l−voisinage de D− avec une perte plus de e(s) + 23ϑ.
Etape 1.1
Dans cette première étape, on part de y en un petit voisinage Bl(x−) de x− en temps au plus T1l < ∞, sans perte. On note par ϕs,y,l1 la trajectoire qui commence en ϕs,y,l1(0) = y ∈ D− de
ϕ˙1(t) = b(s,ϕ1(t))
et atteignant Bl(x−) en temps σ1y,s,l. Cependant D− ⊂ A− et par l’Hpypothèse 3.1.1, σ1y,s,l est fini. De plus, puisque b est localement Lipschitz, la stabilité de la solution par rapport
à la condition initiale et le changement du champ du vecteur lisse impliquent qu’il existe un voisinage ouvert Wy de y et Ws de s et T1s,y,l > 0 telles que pour tout z ∈ Wy, u ∈ Ws, σ1u,z,l ≤ T1s,y,l. On rappelle que D− est compact. C’est pourquoi, on peut trouver une en- velloppe finie de D− × M de tels ensembles et donc T1l < ∞ tel que pour tout y ∈ D− et s ∈ M, σ1s,y,l ≤ T1l. Notons zs,y,l = ϕs,y,l1(σ1s,y,l).
Etape 1.2
Dans la seconde étape, on va partir d’un petit voisinage Bl(x−) de x− en un point d’équili-bre x−, en temps au plus 1, de coût au plus de ϑ3. En effet, par la continuité de la fonction de perte, pour un l assez petit, s ∈ M, il existe une trajectoire continue ϕs,y,l2 de longueur
ϑ de temps σ2s,y,l ≤ 1 sachant que ϕ2s,y,l(0) = zs,y,l,ϕ2s,y,l(σ2s,y,l) = x− et I0σ2(s,y,l) (ϕ2s,y,l) ≤ . 3
Etape 1.3
Dans cette troisième étape, on va sortir du δ-voisinage de D−, démarrant en un point
déquilibre x−, de temps au plus T3 < ∞, de coût au plus e(s) + ϑ pour s ∈ M.
3 Par (3.4) et la continuité de la fonction de perte pour un s ∈ M, alors il existe un
s u zs ∈/ A− ⊃ D−,T3 < ∞, un voisinage Ws de s et pour u ∈ Ws,on a ϕ3 ∈ C0σ3u telle que
ϕ3u(0) = x− et ϕ3u(σ3µ) = zs, σ3µ ≤ T3s et sup I0uσ3s (ϕ3u) ≤ e(s) + ϑ .
3 u∈Ws
En utilisant la compacité de M pour trouver un recouvrement fini de M par de tels voisinages et donc T3 < ∞ de telle sorte que la proposition tient avec σ3s ≤ T3 pour tout s ∈ M. Finalement, on remarque que le point de sortie est au moins à une distance δ = inf |zj| loin de la frontière de D−, si zi,i ∈ J sont des points de sortie correspondant
i∈J
aux recouvrements finis.
Pour completer l’etape 1, on va définir une trajectoire ψ1s,y,l ∈ C0τ1s,y,l ∈ C0τ1s,y,l par la concatenation de ϕs,y,l1,ϕs,y,l2 et ϕs3. Par ici, pour un petit l > 0, on trouve S1l > 0 sachant que , pour tout s ∈ M,y ∈ D−, on a τ1s,y,l ≤ S1l, ψ1s,y,l(τ1s,y,l) = y , ψ1s,y,l(τ1s,y,l) ∈/ A− et s s,y,l 2
I0τ1s,y,l (ψ1 ) ≤ e(s) + 3ϑ pour tout s ∈ M,y ∈ D−.
En ce point, on peut envisager deux cas, le premier c’est : ψ1s,y,l sort de δl−voisinage de BR(0), et dans ce cas, on continue avec dans l’étape quatre . ψ1s,y,l sort de D− en βl : c’est le deuxieme cas, et on va le voir en deuxième étape .
Etape 2.
Pour un l assez petit, on commence en y ∈ βl, pour construire S2l > 0 et une trajectoire ψ2s,y,l définie pour un temps de l’intervalle [0,τ2s,y,l] avec τ2s,y,l ≤ S2l pour tout y ∈ D−,s ∈ M
et sur lequel, on sort de βl dans la frontière de D+ au plus de coût ϑ3. En effet, dûe à la continuité de la fonction de perte au Lemme 2.1, il existe un l > 0 tel que ψ2s,y,l(0) = y,ψ2s,y,l(τ2s,y,l) = zs,y,l et Is,y,ls,y,l (ψ2s,y,l) ≤ ϑ. On peut prendre S2l = 1. 0τ2 3
Etape 3
On commmence en y ∈ D+, pour construire δ3l > 0 et S3l > 0 et une trajectoire ψ3s,y,l définie sur l’intervalle [0,τ3s,y,l] avec τ3s,y,l ≤ S3l pour tout y ∈ D−, s ∈ M et sur lequel on sort de D+ en B%−δ3l (x+) dont le côut est 0.
Soit δ3l = %2. Comme D+ est un compact et contenu dans un domaine d’attraction de x+, stabilité de la solution de l’équation différentielle ϕ˙(t) = b(s,ϕ(t)) par rapport aux conditions initiales y ∈ D+ et le paramètre s assure l’existence de S3l > 0 tel que le temps d’entrée τ3s,y,l de B%/2(x+) par la solution commençant en y est bornée par S3l. Donc, on peut prendre ψ3s,t,l défini par la solution restreinte sur l’intervalle de temps avant l’entrée dans B%2 (x+).
Etape 4
Pour un l > 0 assez petit , on démarre en x ∈ D− et on construit T0 > 0,δ > 0 et une tra-jactroire ζs,x définie sur l’intervalle de temps [0,T0], sortant un δ−voisinage de D d’une perte au plus de e(s) + ϑ pour tout s ∈ M.
Pour un l assez petit, prendre T0 = S1l +S2l +S3l. On va concatener les trajectoires constru-ites dans les trois premières étapes. Rappellons que ψ1s,y,l passe par le point d’équilibre x− dûe de l’étape 1. Dans le cas ψ1s,x,l admet un δ− voisinage de BR(0), juste la trajectoire donnée par le temps en x−, sans perte, pour obtenir la trajectoire ζs,x,l définie sur [0,T0], et prendre δ = δl. Dans l’autre cas, on va concatener les trois trajectoires construites dans les Etapes de 1 – 3, pour obtenir une trajectoire définie sur un sous-intervalle de [0,T0] qui dépend de s,x,l et qu’il existe un δ−voisinage de D. Rappelons que d’après l’Etape 1, cette trajectoire passe en x−. Il reste à redéfinir la trajectoire par le temps supplémentaire sans perte en ce point d’équilibre, pour compléter la preuve. Maintenant, on va procéder à l’estimation des bornes inférieures uniformes de la loi asymptotique de τD.

Table des matières

1 Rappels sur les analyses stochastiques et résultats classiques de Grandes Déviations
1.1 Equation Différentielle Stochastique
1.2 Principe de Grandes Déviations
1.3 Théorème de Freidlin- Wentzell
2 Extension du PGD : temps inhomogène
2.1 Principe de Grandes Déviations
2.2 Inhomogénéité faible à travers des variations périodiques lentes
2.2.1 Bornitude de la Diffusion
2.2.2 Proprietés du quasi-potentiel
2.3 Grandes Déviations
3 Temps d’entrée et de sortie pour les domaine d’attractions
3.1 Quelques hypothèses sur les domaines d’attractions
3.2 Bornes pour la vitesse de sortie exponentielle : Sortie des Diffusions
3.2.1 Borne inférieure
3.2.2 Borne supérieure
4 Résonance Stochastique
4.1 Intervalle de résonance
4.2 Vitesses de transition comme mesure de qualité
4.3 La robustesse de la résonance stochastique

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