Algèbres d’Iwahori-Hecke et q-mesure de Plancherel

Dans ce chapitre, nous présentons finalement la q-mesure de Plancherel, et nous expli- quons son lien avec la théorie des algèbres d’Iwahori-Hecke. L’idée initiale est d’étudier la mesure de Plancherel d’un module de GL(n, F a été décrite pour la première fois par Kerov dans [Ker92], et elle a été étudiée en détail par E. Strahov ([Str08]) ; dans la section 7.1, nous donnons plusieurs expressions pour cette mesure, et nous la relions à un modèle combinatoire et à divers processus aléatoires. La poissonisée des q-mesures de Plancherel est de nouveau une mesure de Schur, et les noyaux correspondants s’expriment à l’aide de fonctions de Bessel déformées, cf. la proposi- tion 7.3. Malheureusement, on ne peut pas comme dans le paragraphe 5.2 en déduire l’asymp- totique des q-mesures de Plancherel, car le comportement à l’infini de ces q-fonctions de Bessel n’est pas connu. Pour cette raison, l’étude asymptotique sera menée en utilisant des techniques d’obser- vables de diagrammes, voir le chapitre 8. En particulier, nous construirons plus loin une quantification de l’algèbre O, cf. le paragraphe 8.1. Cette déformation s’inspire de la théo- rie des algèbres d’Hecke (cf. [Mat99a, Iwa64]) ; nous en rappelons les points principaux dans le paragraphe 7.2, et nous rappelons également dans la section 7.3 la théorie des caractères de l’algèbre d’Hecke de type A, en s’inspirant pour l’essentiel de l’article [Ram91]. Le point important à retenir est le suivant : la formule de Ram 7.7 exprime les caractères de l’algèbre.

Dans [Str08], E. Strahov utilise une troisième expression de D ] tel que σ(i) > σ(i + 1). Autrement dit, la i-ième case du rubanstandard associé à σ est au-dessus de la i + 1-ième case. L’indice majeur de σ est la somme de ses descentes ; par exemple, si σ = 352614, alors imaj(σ) = 2 + 4 = 6. D’autre part, si T est un tableau standard de taille n, on dit que i est une descente de T si i + 1 est dans une ligne strictement au-dessus de la ligne de i dans T. Par exemple, les descentes du tableau standard sont 2 et 4. Comme précédemment, l’indice majeur d’un tableau standard est la somme de ses descentes. Une récurrence permet de montrer que pour toute permutation σ, l’ensemble des descentes de σ est aussi l’ensemble des descentes du tableau standard Q(σ) = P(σ d ou d + 1 descentes, et la fonction précédente va de d + 1 à n pour les permutations τ avec d + 1 descentes, et de d à 0 pour les permutations τ avec d descentes, étant entendu qu’on liste les voisins de σ suivant la position de la lettre n + 1 dans leur mot (cf. [Gup78]). Par suite :Il y a toutefois une différence avec la construction du paragraphe 3.2 : la projection parRSK du q-processus de Knuth n’est plus un processus markovien. En effet, si tel était le cas, alors pour tout tableau standard T de taille n + 1, notant t le tableau T moins la case n + 1, et Le modèle combinatoire de la q-mesure de Plancherel ne fournit donc pas par correspondance RSK une généralisation raisonnable du processus de Plancherel. Il existe toutefois une généra- lisation markovienne de ce processus, mais on doit la définir directement au niveau du graphe Young Y .

alors on a défini les probabilités de transition d’un processus markovien sur Y de lois mar- ginales les q-mesures de Plancherel, et lorsque q tend vers 1, on retrouve le processus de Plancherel usuel. On appelle q-processus de Plancherel ces nouveaux processus. Leurs pro- babilités de transition p et ils sont donc tout aussi aisément programmables que le processus de Plancherel usuel. Des exemples numériques seront proposés au début du chapitre 8 ; sur la figure 7.1, on a indiqué les degrés génériques et les q-probabilités de transition pour les quatre premiers niveaux du graphe de Young. pour toute partition λ, on voit facilement que l’image de la q-mesure de Plancherel (resp., du q-processus de Plancherel) par la conjugaison de diagrammes est la q Dans [Str08], E. Strahov esquisse une étude asymptotique des q-mesures de Plancherelen remplaçant le q-processus de Plancherel par un analogue différentiel dont une q-fonction génératrice satisfait une q-équation de Burgers ; il utilise également des q-observables de dia- grammes. Malheureusement, les q-observables employées dans [Str08] n’appartiennent pas à l’algèbre O, et d’ailleurs elles ne spécialisent pas en les observables usuelles correspondantes lorsque le paramètre q tend vers 1. D’autre part, l’étude asymptotique menée par Strahov met en jeu des q-formes limites Ω n ; nous verrons dans le chapitre suivant une forme beaucoup plus simple de ces résultats. Enfin, la proposition 8.2.1 de [Str08] ne donne rien de rigoureux concernant l’asymptotique des q-processus de Plancherel — ou du moins nous ne voyons pas comment l’exploiter.