Algorithmes temporels rapides à point fixe
pour la séparation aveugle de mélanges
convolutifs et/ou sous-déterminés

 Dans la deuxième partie, nous nous intéressons aux mélanges sous-déterminés linéaires instantanés ou convolutifs, pour lesquels nous cherchons là aussi à étendre l’algorithme FastICA. Nous présentons dans le chapitre 4 un état de l’art de la séparation aveugle de sources sous-déterminée et constatons que l’hypothèse de parcimonie des sources est utilisée pour la plupart des mé- 6 thodes existantes. Dans le chapitre 5 onsa ré aux mélanges linéaires instantanés sous-déterminés, en nous basant sur le on ept de séparation différentielle de sour es, nous proposons un pro essus de blanchiment différentiel des observations qui permet l’emploi d’itérations à point xe pour optimiser un critère différentiel correspondant à la différen e entre deux instants du kurtosis du signal de sortie. Deux versions de l’algorithme proposé, baptisé FICA sont présentées : une version à délation et une version parallèle. Dans le chapitre 6, nous utilisons le même on ept de séparation différentielle de sour es pour les mélanges convolutifs sous-déterminés pour lesquels nous proposons un pro essus de blanchiment spatio-temporel différentiel permettant d’extraire par une procédure d’optimisation à point xe les processus d’innovation de sour es dites utiles en présence de sources de bruit. L’estimation des contributions des sources utiles, superposées à des contributions de sources de bruit, est réalisée au moyen d’un critère quadratique différentiel dont l’optimisation est e’e tuée au moyen d’un processus de filtrage de Wiener dit différentiel. Nous appelons C-FICA et algorithme destiné aux mélanges convolutifs sous-déterminés. Le chapitre 7 démontre l’utilité de nos algorithmes en présentant des tests de séparation de mélanges de sources réelles et arti cielles ; des tests de Monte-Carlo permettent d’évaluer la résistance de nos algorithmes différentiels FICA et C-FICA à la présence de sources de bruit. Nous comparons aussi la rapidité de l’algorithme QUE FICA avec elle d’une version différentielle de l’algorithme de Tugnait développée auparavant dans l’équipe. Le contenu de cette seconde partie a donné lieu à une publication dans la revue IEEE TSP [204℄. La troisième partie est ornée aux mélanges linéaires instantanés de sources contenant un grand nombre d’échantillons. Cette configuration est fréquente notamment en séparation aveugle d’images du fait de l’augmentation du nombre de pixels des capteurs photosensibles de types CCD ou CMOS. Le chapitre 8 met d’abord en éviden e une limitation de l’algorithme FastICA applicable aux mélanges linéaires instantanés (sur-)déterminés qui, à chaque itération de l’algorithme d’optimisation à point xe, ee tue un al ul de statistiques sur l’ensemble des échantillons disponibles, et qui demande de réaliser un grand nombre d’opérations élémentaires. FastICA demande pour cela le stockage en mémoire de signaux, qui, si le nombre d’échantillons disponibles est élevé, demande un espace mémoire important. Après avoir constaté que le critère du kurtosis est polynomial relativement aux oe ients d’extraction à estimer, nous proposons une procédure d’identi cation de ce polynôme qui permet ensuite d’appliquer des itérations de type point xe dans un espace de al ul moins gourmand. Nous baptisons O-FICA et algorithme applicable aux mélanges linéaires instantanés de longs signaux de mélange. Nous reprenons ensuite le principe d’identi cation polynomiale multivariable et l’appliquent à l’algorithme DCA pour les mélanges linéaires instantanés sous-déterminés. Le kurtosis différentiel pouvant aussi être identifié comme un polynôme, une procédure d’identification similaire à celle d’O-FICA permet d’optimiser l’algorithme DCA lorsque les mélanges contiennent un grand nombre d’échan- 7 tillons. Nous baptisons O-FICA et algorithme proposé pour la séparation sous-déterminée de signaux longs. Le chapitre 9 permet de mesurer le gain en temps de al ul obtenu avec nos algorithmes optimisés comparé à leur version standard associée. Un article au sujet de l’algorithme O-FICA a été présenté à la conférence GRETSI en Septembre 2007 [206℄ (une version anglaise a été présentée au Workshop ECMS en mai 2007 [205℄). Un article de revue est actuellement en cours de révision pour la revue IEEE TSP sur les deux algorithmes O-FICA et OFICA. 8 Première partie Mélanges convolutifs (sur-)déterminés 

Introduction 

La séparation aveugle de mélanges convolutifs est un domaine de re her he ré ent et très prometteur. Elle étudie la séparation des mélanges linéaires généraux, les mélanges linéaires instantanés et à atténuations et retards étant des cas particuliers réalistes pour certaines applications uniquement. En eet, le temps de propagation entre une source et un capteur n’est jamais parfaitement nul, même s’il peut parfois être négligé. La sous- classe des mélanges à atténuations et retards modélise les retards de propagation mais suppose que le signal n’est pas déformé par le milieu, et qui peut ne pas être conforme à la réalité. Pour les applications audio par exemple, on ne rencontre ce type de mélanges que lorsque l’enregistrement est réalisé dans une chambre ané- héroïque qui élimine les trajets multiples (ou réverbérations) entre les sources et les capteurs. Très souvent, donc , de nombreuses versions temporellement des allées d’une même source parviennent à chaque capteur en raison de réflexions multiples dans le milieu. Chaque version dé alée possède sa propre atténuation qui orrespond à un oe ient de la réponse impulsionnelle du ltre du ouple sour e- apteur onsidéré. Le phénomène de réverbération a oustique est illustré de façon simpliée par la gure 1.1. Dans e hapitre, nous ommençons par dénir le modèle de mélange onvolutif puis nous répertorions les diérents types de ritères d’abord utilisés pour la séparation de mélanges linéaires instantanés puis étendus à la lasse des mélanges onvolutifs. Nous divisons ensuite les méthodes évolutives en deux types : les méthodes fréquentielles utilisant la transformée de Fourier à court terme et les méthodes temporelles qui her hent à estimer des lettres d’extraction formulés temporellement. 

 Position du problème

 La classe générale des mélanges convolutifs tient compte de la déformation du signal propagé et la modélise par un altération entre la source et l’observation, Fig. 1.1  Illustration d’un mélange onvolutif a oustique à 3 sour es et 3 apteurs. e qui s’é rit mathématiquement sous la forme d’une onvolution. La ontribution d’une sour e d’indi e j sur un apteur i s’exprime don de la manière suivante : xij (t) = aij (t) ∗ sj (t) (1.1) où ∗ est l’opérateur de onvolution1 . Toutes les équations reliant les P observations aux N sour es (où P ≥ N ) peuvent s’é rire de manière synthétique par la relation matri ielle suivante : x(t) = A(t) ∗ s(t) (1.2) où s(t) = [s1(t), · · · , sN (t)]t et x(t) = [x1(t), · · · , xP (t)]t sont respe tivement les ve teurs sour e et observation et où A(t) =   a11(t) · · · a1N (t) . . . . . . aP1(t) · · · aP N (t)   (1.3) regroupe les réponses impulsionnelles des ltres présents entre sour es et apteurs. Lorsque l’on considère des signaux numériques, l’éq. (1.2) s’exprime à l’aide d’un indice temporel dis ret n au lieu de la variable de temps continue t : x(n) = A(n) ∗ s(n) (1.4) 1 Le terme de bruit de mesure b(n) n’est pas pris en ompte i i. où ∗ est cette fois l’opérateur de convolution dis rète. Dans le domaine en Z , on obtient alors X(z) = A(z)S(z) (1.5) où A(z) est une matri e de fon tions de transfert de ltres qui est la transformée en Z de A(n) A(z) =   P+∞ k=−∞ a11(k)z −k · · · P+∞ k=−∞ a1N (k)z −k . . . . . P . +∞ k=−∞ aP1(k)z −k · · · P+∞ k=−∞ aP N (k)z −k   (1.6) Pour que le mélange soit réellement onvolutif ( .-à-d. pas seulement à atténuations et retards), il faut que pour au moins un ouple d’indi es (i, j), la fon tion Aij (z) = P+∞ k=−∞ aij (k)z −k ait deux oe ients aij (k) non nuls. La grande majorité des travaux de séparation aveugle de sour es dans le as onvolutif supposent un modèle de mélange faisant intervenir des ltres ausaux à Réponses Impulsionnelles Finies (RIF). La matri e de ltres A(z) se réé rit alors A(z) =   PK k=0 a11(k)z −k · · · PK k=0 a1N (k)z −k . . . . . . PK k=0 aP1(k)z −k · · · PK k=0 aP N (k)z −k   (1.7) Notons toutefois les travaux de Ci ho ki qui supposent l’existen e d’une omposante auto-régressive dans le pro essus de mélange [52℄. La gure 1.2 représente le pro essus de mélange sous forme de s héma-blo . Si toutes les fon tions de transfert ont un seul oe ient non nul, le mélange est simplement à atténuations et retards et si de plus les fon tions d’une même olonne de A(z) ont e oe ient non nul au même indi e k, le mélange peut être réé rit de manière linéaire instantanée en dé alant si besoin les sour es. La séparation aveugle de sour es her he à estimer les sour es sj (n) formant le ve teur s(n). Dans le as d’un mélange onvolutif, ette estimation n’est possible qu’à une indétermination de ltrage près. En eet, si l’on prend un ltre quel onque F(z), la ontribution d’une sour e j sur un apteur i (1.1) peut se réé rire dans le domaine en Z sous la forme Xij (z) = Aij (z) F(z) .