Analyse de quelques phases précises des déroulements

Présentation des analyses

Nous analysons plus finement certaines phases précises de notre expérimentation illustrant bien le travail réalisé en classe, les interventions de l’enseignant et les activités potentielles des élèves. Au point précédent, nous avons ciblé les phases suivantes :  Le premier système de la tâche introductive 1. Cette tâche permet d’installer chez les élèves le questionnement sur les objets géométriques décrits par une équation et d’associer les objets à des ensembles de points. C’est lors de cette phase que l’interprétation géométrique des objets est introduite.  Le quatrième système de la tâche introductive 2. Nous choisissons de présenter cette phase précise de l’enseignement car nous avons repéré au point précédent des décalages importants avec ce que nous avons prévu a priori. Les élèves sont sollicités pour mobiliser de nombreuses connaissances anciennes et organiser le raisonnement pour réaliser la tâche. De plus, nous y avons relevé quelques difficultés des élèves en logique nous amenant à improviser en classe.  Quatre exercices du scénario. Nous choisissons de présenter les analyses a posteriori des exercices 11, 12, 15 et 18. L’exercice 11 relève du niveau disponible de mise en fonctionnement des connaissances. Les élèves doivent en toute autonomie organiser leur raisonnement, mobiliser des connaissances anciennes et nouvelles, effectuer des conversions entre certains registres et choisir une méthode pour déterminer une équation cartésienne. Les exercices 12, 15 et 18 mettent tous les trois en jeu le premier aspect de l’interprétation géométrique que nous travaillons depuis le début de notre scénario. Nous choisissons de présenter les déroulements correspondant à la correction de ces trois exercices afin d’étudier le développement de cet aspect par les élèves. 404 Chapitre XII. Expérimentation du scénario Nous présentons les déroulements de celles-ci dans un tableau spécifiant la nature du travail mathématique à réaliser, les interventions de l’enseignant et les activités potentiellement développées par les élèves. Au vu du nombre d’heures filmées, nous ne proposons pas de transcription pour la totalité des séances mais nous illustrons nos propos par des extraits du discours de l’enseignant pour les phases visées. Nous pouvons par la suite déduire les activités a minima et a maxima des élèves par comparaison à nos analyses a priori. 

La tâche introductive 1 : S1 Tâche introductive 

Recherchez graphiquement l’ensemble des solutions des systèmes suivants dans R 2 . (S1) ( x+5 = 2x+3 4y+4 = 0 Le déroulement est détaillé dans le tableau XII.14. XII.3. Analyse de quelques phases précises des déroulements 405 Durée Nature du travail Interventions de P Activités des E 2’12” Lecture du système S1 P écrit le système au tableau. P demande comment résoudre graphiquement le système. Un E propose de donner une valeur à y. P demande à l’E de préciser sa réponse. Un autre E donne la démarche attendue. P valide et trace les axes d’un repère orthonormé du plan. P dit qu’il faut prendre note. Les E prennent une feuille et tracent le repère. P sollicite l’E qui voulait donner des valeurs à y et demande de préciser son raisonnement. L’E répond. P explique qu’il ne faut pas résoudre algébriquement le système. P revient sur la démarche graphique proposée. Les E écoutent. 8’26” Correction collective P numérote les équations du système. P écrit la démarche graphique à suivre. P demande l’objet géométrique décrit par la première équation du système. Un E répond correctement. Les E recopient. P valide et demande de préciser sa réponse. P écrit ce que l’E lui dit. L’E précise sa réponse. P valide que l’équation x = 2 décrit une droite. P demande pourquoi il s’agit bien d’une droite et pas juste du point (2,0) qu’il montre du doigt. Un E dit que x est quelconque. P corrige l’E. Un E dit que y est quelconque. P valide. P revient sur le fait qu’on cherche des couples tels que x = 2. P écrit l’ensemble des couples qui vérifient cette équation. P insiste sur le vocabulaire ensembliste. Les E écoutent et recopient. P donne un couple appartenant à cet ensemble. P demande aux E d’autres éléments appartenant à l’ensemble. Les E répondent correctement. P ajoute le couple (2, 3 4 ) car les E ne proposent que des couples dont les valeurs sont naturelles. Les E recopient et écoutent. P revient sur le graphe et met en évidence les points donnés. Les E écoutent. 406 Chapitre XII. Expérimentation du scénario Durée Nature du travail Interventions de P Activités des E P demande l’objet décrit par la deuxième équation. Un E répond correctement. P donne l’ensemble des points vérifiant cette équation. Les E recopient. P demande des couples appartenant à cet ensemble. Des E proposent des couples appartenant à l’ensemble. P ajoute le couple ( √ 2,−1) car les E ne proposent que des couples dont les valeurs sont entières. Les E recopient et écoutent. P trace la droite y = −1. P demande comment résoudre le système. Les E tracent la droite. Des E répondent correctement. P explique les différents cas : aucun point d’intersection, un point d’intersection, une infinité de points d’intersection. Les E écoutent. P demande quels sont les points d’intersection des deux droites. Un E répond correctement. P écrit au tableau la conclusion de l’exercice. Les E recopient. P insiste sur le fait que (2,−1) est bien solution du système car x = 2 et y = −1. Les E écoutent. TABLE XII.14 – Déroulements de la résolution du système S1 de la tâche introductive .