APPLICATION DE LA DERIVATION NON ENTIERE ET DE L’APPROCHE NON‐ PARETO A LA SEGMENTATION 

Dans  ce  chapitre,  nous  présentons  une  méthode  de  segmentation  basée  sur  une  approche  multiobjectif non‐Pareto (Nakib, et al., 2006b; Nakib, et al., 2007h; Nakib, et al., 2007g; Nakib, et al.,  2007f).  Le  principe  d’un  système  de  segmentation  d’images  par  approche  non‐Pareto  consiste  à  segmenter  l’image  avec  plusieurs  critères,  les  uns  indépendamment  des  autres.  Ce  système  de  segmentation produit un ensemble de solutions optimales selon chaque critère, dont le cardinal est  égal au nombre de critères utilisés (figure 5.1).  critères utilisés, nous introduisons en amont un bloc de dérivation non entière. Il nous faut aussi un  bloc  de  sélection  de  la  meilleure  solution  parmi  les  p  solutions  proposées,  où  p  est  le  nombre  de  critères.  Pour  résoudre  ce  problème  et  rendre  l’algorithme  non‐supervisé,  nous  avons  introduit  en  aval  un  algorithme  de  sélection,  permettant  d’élire  la  meilleure  solution,  au  sens  de  la  régularité géométrique des images segmentées. Le schéma de l’algorithme complet de segmentation  par l’approche non‐Pareto est présenté sur la  figure 5.2.Dans l’algorithme, nous avons utilisé la dérivation non‐entière (DNE) sous deux formes discrètes : le  cas unidimensionnel défini par Grünwald (Oldham, et al., 1974), et le cas bi‐dimensionnel que nous  avons proposé. Dans les sections suivantes, nous allons décrire chaque bloc de cet algorithme. La première section est dédiée au formalisme de la DNE à une dimension (1D), et à son extension aux  espaces  à  deux  dimensions  (2D).  Dans  la  deuxième  section,  nous  présentons  les  propriétés  d’un  histogramme  et  d’une  image  dérivés  avec  un  ordre  non‐entier.  Les  deux  variantes  de  l’algorithme,  basées sur la DNE‐1D et DNE‐2D, sont détaillées dans la troisième section. L’analyse de l’algorithme,  sa comparaison avec d’autres méthodes,  ainsi que des exemples de segmentations font l’objet de la  quatrième section. Le chapitre se termine par une conclusion.

FORMALISME  DE  LA  DERIVATION  NON‐ ENTIERE (DNE) 

La  théorie  de  la  dérivation  non‐entière  (dérivée  fractionnaire)  date  des  travaux  de  Leibniz  et  L’Hospital en 1965. La dérivation d’ordre non‐entier généralise la notion de dérivée d’ordre entier α  d’une fonction f(x) par rapport à la variable x à des valeurs non‐entières de α. Lorsque α est négatif,des différentes approches pour définir la DNE figure dans (Oldham, et al., 1974). Au départ, la théorie  des  dérivées  fractionnaires  a  été  considérée  comme  une  branche  relevant  des  mathématiques.  Récemment, la DNE a été appliquée dans différents domaines : en automatique, où elle est utilisée  pour le calcul d’une commande robuste (Oustaloup, 1996), dans la résolution de problèmes inverses  mal  posés  de  transfert  thermique  (Battaglia,  2001),  et  dans  de  nombreux  autres  domaines,  notamment en réseaux de neurones (Ramus, et al., 2002), en traitement d’images pour la détection  de contours (Mathieu, et al., 2003) et en traitement de signal (Ferdi, et al., 2000; Nakib, et al., 2002).Lorsqu’un histogramme est différencié avec un ordre α positif, son amplitude est comprimée. Nous  avons  remarqué  qu’avec  l’augmentation  de  l’ordre  de  0  vers  1,  l’intervalle  de  variations  diminue  considérablement.  En  revanche,  dans  le  cas  où  la  valeur  de  α  s’étend  de  0  à  ‐1,  l’intervalle  deAfin  d’illustrer  l’effet  de  l’application  de  la  DNE‐2D  sur  une  image,  nous  considérons  l’image  test  avion de la figure 5.5 (a). Nous représentons les variations des niveaux de gris en les traçant comme  une  fonction 2D (figure 5.5 (b), (d), (f) et (h)). L’interprétation géométrique est obtenue par l’analyse  des variations de niveaux de gris de l’image.

Les filtres DNE‐1D et DNE‐2D n’ont pas de valeurs moyennes nulles (Nakib, et al., 2007f; Nakib, et al.,  2007g),  ce  qui  nécessite  un  moyennage  de  l’histogramme  dans  le  cas  de  la  DNE‐1D,  et  de  l’image  dans le cas de la DNE‐2D.  Nous  allons  décrire  les  deux  algorithmes  de  segmentation  basés  sur  la  DNE‐1D  et  la  DNE‐2D.  Ces  deux algorithmes reposent sur l’hypothèse d’existence d’une dépendance entre la valeur d’un pixel  et les valeurs de ses voisins. Dans  cette  approche,  nous  appliquons  la  DNE‐1D  sur  l’histogramme  de  l’image,  avec  différents  ordres de dérivation. Nous partons de l’hypothèse  que les différentes classes de niveaux  de gris se  traduisent  par  des  pics  dans  l’histogramme.  A  partir  de  là,  chaque  intervalle  entre  deux  pics  de  l’histogramme est différencié par un ordre (optimal) qui permet de séparer deux classes successives.  Les différentes étapes de l’algorithme sont présentées dans l’Algorithme 5.1.Dans la procédure de segmentation globale (Figure 5.2), l’Algorithme 5.1 est exécuté plusieurs fois,  et  à  chaque  fois  avec  un  ordre α  différent.  L’objectif  est  de  trouver  l’ordre  α  optimal,  et  par  là  la  binarisation  optimale  recherchée.  Il  est  à  préciser  que  chacun  des  ordres  ne  produira  pas,  certainement, un seuil de segmentation différent. L’ensemble des seuils de segmentation ainsi créés  est  ensuite  traité  et  réduit  par  les  étages  suivants  de  l’algorithme  global.  L’étage  final  de  sélection  fournira alors le seuil de segmentation optimal recherché en correspondance avec l’ordre optimal de  α.