APPLICATION DE LA DERIVATION NON‐ENTIERE ET DE L’APPROCHE NON‐PARETO A LA SEGMENTATION

APPLICATION DE LA DERIVATION NON‐ENTIERE ET DE L’APPROCHE NON‐PARETO A LA SEGMENTATION

Dans ce chapitre, nous présentons une méthode de segmentation basée sur une approche multiobjectifnon‐Pareto (Nakib, et al., 2006b; Nakib, et al., 2007h; Nakib, et al., 2007g; Nakib, et al., 2007f). Le principe d’un système de segmentation d’images par approche non‐Pareto consiste à segmenter l’image avec plusieurs critères, les uns indépendamment des autres. Ce système de segmentation produit un ensemble de solutions optimales selon chaque critère, dont le cardinal est égal au nombre de critères utilisés (figure 5.1).

La première section est dédiée au formalisme de la DNE à une dimension (1D), et à son extension aux espaces à deux dimensions (2D). Dans la deuxième section, nous présentons les propriétés d’un histogramme et d’une image dérivés avec un ordre non‐entier. Les deux variantes de l’algorithme, basées sur la DNE‐1D et DNE‐2D, sont détaillées dans la troisième section. L’analyse de l’algorithme, sa comparaison avec d’autres méthodes, ainsi que des exemples de segmentations font l’objet de la quatrième section. Le chapitre se termine par une conclusion. critères utilisés, nous introduisons en amont un bloc de dérivation non entière. Il nous faut aussi un bloc de sélection de la meilleure solution parmi les p solutions proposées, où p est le nombre de critères. Pour résoudre ce problème et rendre l’algorithme non‐supervisé, nous avons introduit en aval un algorithme de sélection, permettant d’élire la meilleure solution, au sens de la régularité géométrique des images segmentées. Le schéma de l’algorithme complet de segmentation par l’approche non‐Pareto est présenté .

FORMALISME DE LA DERIVATION NON‐ ENTIERE (DNE)

La théorie de la dérivation non‐entière (dérivée fractionnaire) date des travaux de Leibniz et L’Hospital en 1965. La dérivation d’ordre non‐entier généralise la notion de dérivée d’ordre entier α d’une fonction f(x) par rapport à la variable x à des valeurs non‐entières de α. Lorsque α est négatif,des différentes approches pour définir la DNE figure dans (Oldham, et al., 1974). Au départ, la théorie des dérivées fractionnaires a été considérée comme une branche relevant des mathématiques. Récemment, la DNE a été appliquée dans différents domaines : en automatique, où elle est utilisée pour le calcul d’une commande robuste (Oustaloup, 1996), dans la résolution de problèmes inverses mal posés de transfert thermique (Battaglia, 2001), et dans de nombreux autres domaines, notamment en réseaux de neurones (Ramus, et al., 2002), en traitement d’images pour la détection de contours (Mathieu, et al., 2003) et en traitement de signal (Ferdi, et al., 2000; Nakib, et al., 2002).

PROPRIETES DE L’HISTOGRAMME ET DE L’IMAGE DIFFERENCIEE

Lorsqu’un histogramme est différencié avec un ordre α positif, son amplitude est comprimée. Nous avons remarqué qu’avec l’augmentation de l’ordre de 0 vers1, l’intervalle de variations diminue considérablement. En revanche, dans le cas où la valeur de α s’étend de 0 à ‐1, l’intervalle de diminue quand les valeurs de α sont positives. Par contre, elle augmente lorsque les valeurs de α sont négatives. La même remarque a été constatée lorsque la DNE‐2D a été appliquée. Dans cette approche, nous appliquons la DNE‐1D sur l’histogramme de l’image, avec différents ordres de dérivation. Nous partons de l’hypothèse que les différentes classes de niveaux de gris se traduisent par des pics dans l’histogramme. A partir de là, chaque intervalle entre deux pics de l’histogramme est différencié par un ordre (optimal) qui permet de séparer deux classes successives.Les différentes étapes de l’algorithme sont présentées dans l’Algorithme 5.1.

Dans la procédure de segmentation globale (Figure 5.2), l’Algorithme 5.1 est exécuté plusieurs fois, et à chaque fois avec un ordre α différent. L’objectif est de trouver l’ordre α optimal, et par là la binarisation optimale recherchée. Il est à préciser que chacun des ordres ne produira pas, certainement, un seuil de segmentation différent. L’ensemble des seuils de segmentation ainsi créés est ensuite traité et réduit par les étages suivants de l’algorithme global. L’étage final de sélection fournira alors le seuil de segmentation optimal recherché en correspondance avec l’ordre optimal de α.

Afin de trouver l’ordre optimal de la DNE et par la suite la segmentation optimale de l’image, nous faisons appel à l’optimisation multiobjectif par l’approche non‐Pareto. En nous appuyant sur le schéma de la figure 5.2, nous avons utilisé trois critères : l’entropie de Shannon, la variance interclasse biaisée et la régularité géométrique des images segmentées (figure 5.6). Dans la première étape, nous évaluons la régularité des différentes lignes de l’image. Le nombre de lignes dépend de la largeur des objets dans l’image en niveaux de gris, et définit le pas entre deux lignes successives. Généralement, ce nombre est compris entre 2 et 5. L’illustration de cette étape est présentée sur la figure 5.7. Les variations de chaque ligne sont calculées en utilisant l’expression (5.12). Les figures 5. 7 (c) et (e) illustrent la forme de deux lignes de l’image binarisée, dans deux cas de segmentation.