Approche non-intrusive pour la résolution du problème adjoint

Intérêts d’une méthode non-intrusive

Les différents exemples donnés dans les Chapitres 3 et 4 ont montré que les bornes d’erreur sur une quantité locale I pouvaient être rendues de très bonne qualité si le problème adjoint était correctement résolu. Cette résolution n’est pas si évidente à mener en 2D/3D car le chargement localisé du problème adjoint conduit généralement à une solution présentant de forts gradients en espace et en temps.Une première façon de remédier à ce problème a été étudiée précédemment ; elle consiste à raffiner localement (i.e. dans la zone de forts gradients) le maillage spatio- temporel utilisé. Cependant cette méthode est intrusive car elle nécessite un remaillage et le calcul de nouveaux opérateurs pour la résolution.

Nous développons ici une technique non-intrusive pour la résolution du problème ad- joint [Chamoin et Ladevèze 2007]. Nous entendons par « non-intrusive » que cette résolu- tion va s’appuyer sur le même maillage spatio-temporel Mh × M∆t que celui utilisé pour. Les seules données qui sont modifiées entre les résolutions des deux problèmes concernent le chargement.L’idée générale suivie pour mettre en place une méthode efficace et non-intrusive de résolution du problème adjoint consiste à introduire la partie à forts gradients de la solution à l’aide d’un enrichissement de l’espace d’approximation classique éléments finis. De nombreuses méthodes d’enrichissement existent. Citons par exemple :- les méthodes de Trefftz : pour les composites par exemple, on introduit des fonctions spéciales de problèmes locaux qui reflètent la solution. L’inconvénient est qu’on assure la continuité par des multiplicateurs de Lagrange qui apportent des problèmes de stabilité.

La méthode d’enrichissement que nous allons utiliser ici s’inspire de la « Generali- zed Finite Element Method (GFEM) » initiée par Strouboulis [Strouboulis et al. 2000a]. Dans cette méthode, on introduit des fonctions d’enrichissement dans la base de fonctions d’approximation, à l’aide d’une partition de l’unité associée généralement aux fonctions de forme éléments finis [Melenk et Babu˘ska 1997] ; ceci permet de garder une solution conforme en déplacement. Dans la GFEM, les fonctions d’enrichissement sont construites numériquement en résolvant à l’échelle fine un panel de problèmes locaux ; cette technique fournit une bibliothèque de fonctions « handbook » permettant de traiter des détails struc- turaux comme les inclusions ou les trous.

Nouvelle résolution du problème adjoint

On prend comme partition d’unité les fonctions φi correspondant aux fonctions de forme éléments finis classiques associées aux nœuds i du maillage spatial Mh où cela est nécessaire i.e. dans un voisinage de la zone de chargement du problème adjoint, l’objectif étant de bien capter la partie à forts gradients de la solution. La PUM n’est donc appliquée que sur un ensemble de nœuds du maillage ; on note ces nœuds nP UMur est un champ de déplacement résiduel à chercher. La solution approchée du problème adjoint est donc constituée de deux parties :- une solution « handbook » qui représente localement une solution « quasi-exacte » du chargement du problème adjoint. Cependant, cette solution ne vérifie généralement pas les conditions limites du problème ;Remarque : Les singularités rencontrées dans la solution du problème adjoint sont dues au chargement et non pas à la géométrie. Leur intensité étant parfaitement connue, on n’a pas besoin d’introduire des degrés de liberté supplémentaires pour l’enrichissement. On évite ainsi les problèmes de dépendance des fonctions de base qui sont un souci majeur dans les méthodes GFEM/XFEM.

D’autre part, on se ramène par la transformée de Laplace à la résolution numérique d’un problème d’élasticité en milieu infini. La fonction « handbook » introduite est donc analytique en temps et numérique en espace.sr) peut être correctement obtenue avec le même maillage que celui utilisé pour résoudre le problème de référence. On emploie de ce fait les mêmes opérateurs (notamment la matrice de rigidité factorisée) entre les deux résolutions. Seul le nouveau chargement (5.8) a besoin d’être introduit pour la résolution du problème adjoint.sh), nécessaire pour le calcul de l’erreuren dissipation du problème adjoint, est classique et utilise les mêmes techniques que celles décrites dans le Chapitre 2. En pratique, on doit calculer une solution résiduelle admissibleCette construction reprend les procédures classiques données dans [Ladevèze et Pelle 2004] et s’appuie sur les propriétés .