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BIFURCATION DE HOPF POUR UN SYSTÈME DIFFÈRENTIEL QUADRATIQUE EN DIMENSION
Dans ce chapitre, nous appliquons la théorie de moyennisation d’ordre deux à un système différentiel polynomial quadratique dans R5 afin d’ étudier la bifurcation de Hopf qui se produit à l’origine pour ce type de système. On prouve qu’au plus 27 cycles limites peuvent apparatre par bifurcation de Hopf d’un point d’équilibre ayant 5 valeurs propres trois sont des zero et deux sont des imaginairesb pures. En plus, on donne un exemple d’un système différentiel polynomial quadratique pour lequel exactement 27 cycles limites bifurquent de l’origine.
Nombre maximum de cycles limites obtenus par bi-furcation de Hopf pour un système différentiel qua-dratique dans R5 par la théorie de moyennisation d’ordre deux
Notre objectif dans ce chapitre est d’étudier l’existence de cycles limites qui peuvent bifurquer à partir d’un équilibre zéro-Hopf d’un système différentiel polynomial dans R5 avec des non-linéarités quadratiques en utilisant la théorie de moyennisation.
Dans la référence [45], les auteurs ont étudié la bifurcation de Hopf en dimension n > 2, en utilisant la méthode de moyennisation du premier ordre. Ils ont prouvé qu’au moins 2n 3 cycles limites peuvent bifurquer à partir d’une singularité avec des valeurs propres bi et n 2 zéros. Ils ont prouvé pour la première fois que le nombre de cycles limites bifurqués dans une bifurcation de Hopf peut grandir de manière ex-ponentielle avec la dimension du système, (on se référer à [59]).
Dans la référence [28], les auteurs ont étudié la bifurcation zéro-Hopf dans R4 avec un polynôme cubique de dimension 4. Ils ont montré qu’il y a 9 cycles limites bifurquant de l’origine en appliquant la théorie de la moyennisation du second ordre.
Dans [50], les auteurs ont étudié la bifurcation de zero-Hopf produisant des systèmes différentiels polynomiaux dans R3 avec des non-linéarités homogènes quadratiques et ils ont montré qu’il y a 3 cycles limites.
Dans ce chapitre, nous nous sommes intéressés à étudier la bifurcation zéro-Hopf pour des champs de vecteurs polynomiaux quadratiques dans R5 en utilisant la théorie de la moyennisation du premier et second ordre.
Nous allons étudier la bifurcation de zero-Hopf à l’origine des coordonnées de systèmes différentiels polynomiaux quadratiques dans R5.
Yj(x; y; z; u; w), Zj(x; y; z; u; w), Uj(x; y; z; u; w) et Wj(x; y; z; u; w) ont la même expres-sion que Xj(x; y; z; u; w) en remplaçant aji respectivement par bji; cji pour j = 0; 1; 2 et i = 0; 1; : : : ; 14: Les coefficients aij; bij; cij; a1; a2; b; b1; b2, c1; c2; B1; B2; A1; A2 sont des paramètres avec b 6= 0. Notons que le système (3.1) pour » = 0 à l’origine a des valeurs propres bi; 0; 0; 0: Donc pour » = 0 une bifurcation de zero- Hopf peut se produire.
D’après [45], nous savons qu’au moins 25 3 = 4 cycles limites peuvent bifurquer à partir de l’origine du système différentiel polynomial quadratique (3.1) pour » =6 0 suffisamment petit. Ici, nous améliorons ce résultat en prouvant qu’au moins 27 cycles limites peuvent naître d’une bifurcation de zero- Hopf à partir de l’origine du système (3.1). Notre résultat principal est (a) Au plus 4 cycles limites bifurquent de l’origine de système (3.1) quand » = 0, en ap-pliquant la théorie de la moyennisation du premier ordre, et cette borne supérieure est atteinte.
(b) Au plus 27 cycles limites bifurquent de l’origine du système (3.1) quand » = 0, en ap-pliquant la théorie de la moyennisation du second ordre, et cette borne supérieure est atteinte.
Preuve de l’affirmation (a) du Théorème (3.1) Nous redimensionnons d’abord les va-riables (x; y; z; u; w) en faisant le changement de variables (x; y; z; u; w) = (« X; « Y; « Z; « U; « W ). Deuxièmement, nous passons aux coordonnées cylindriques en faisant (X; Y; Z; U; W ) = ( cos ; sin ; ; ; ), et troisièmement, nous prenons l’angle comme nouvelle va-riable indépendante. Le système (3.1) prend la forme normale pour appliquer la thèorie de la moyennisation. Ainsi par rapport aux variables ( ; ; ; )
Comme les coefficients du système g1 = 0; g2 = 0 et g3 = 0 sont indépendants, ils doivent être sélectionnés de manière à ce que le nombre de solutions réelles fournies par le théorème de Bezout soit 8. Puisque ce système dépend de 2, nous pouvons ob-tenir 4 vraies solutions où > 0. En supposant que le déterminant de la matrice jaco-bienne évaluée en ces 4 solutions est non nul, alors il y a 4 cycles limites qui bifurquent à partir de l’origine quand » ! 0. Donnons maintenant un exemple du résultat (a) du théorème 3.1 ayant 4 cycles limites qui bifurquant à partir d’une bifurcation zéro-Hopf.
BIFURCATION DE HOPF POUR UN SYSTÈME DIFFÈRENTIEL QUADRATIQUE EN DIMENSION
Dans ce chapitre, nous appliquons la théorie de moyennisation d’ordre trois à un système différentiel polynomial quadratique dans R4 pour étudier la bifurcation de Hopf qui se produit à l’origine pour ce type de système. On prouve qu’au plus 25 cycles limites peuvent bifurquer par bifurcation de Hopf d’un point d’équilibre ayant des valeurs propres de la forme bi et (0; 0). De plus, on donnera un exemple d’un système différentiel polynomial quadratique pour lequel exactement 9 cycles limites bifurquent de l’origine par la méthode de moyennisation de second ordre. Cette étude a fait l’objet d’un article publié dans le journal « Dynamical and Control Systems (2020) « .
4.1 Nombre maximum de cycles limites obtenus par bi-furcation de zero-Hopf pour un système différentiel quadratique dans R4 par la théorie de moyennisation d’ordre trois MAXIMUM DE CYCLES LIMITES OBTENUS PAR BIFURCATION DE HOPF
On étudie dans ce chapitre la bifurcation de Hopf pour des champs de vecteurs dans R4. On s’intéresse à l’étude du nombre maximum de cycles limites obtenus par une bifurcation de zero-Hopf autour de l’origine d’un système quadratique dans R4. En général, la bifurcation de zero-Hopf est étudiée pour des points singuliers ayant des valeurs propres de la forme (« ) (« )i avec (0) = 0 et 0(0) 6= 0. La bifurcation de Hopf des cycles limites a été considérée par plusieurs auteurs, voir [34, 35, 37]. Dans notre travail, on considère des systèmes différentiels polynomiaux quadratiques dans R4, dont la partie linéaire du point d’équilibre à l’origine (0; 0; 0; 0) a des valeurs propres de la forme (a1″ + a2″2 + a3″3) i(b + b1″ + b2″2 + b3″3); c1″ + c2″2 + c3″3 et d1″ + d2″2 + d3″3, où » est un petit paramètre.
L’objectif de cette partie, consiste á utiliser la théorie de moyennisation d’ordre trois, pour étudier la bifurcation de Hopf pour des champs de vecteurs dans R4. On obtient un résultat sur le nombre maximum de cycles limites qui bifurquent de l’origine du système différentiel polynomial quadratique (4.1).
Théorème 4.1 En appliquant la théorie de moyennisation d’ordre trois, on obtient 25 cycles limites bifurquant de l’origine du système (4.1) quand » = 0.
Preuve
En posant (x; y; z; w) = (« X; « Y; « Z; « W ) et en passant aux coordonnées cylindriques (X; Y; Z; W ) = ( cos ; sin ; ; ), et de plus, en considérant comme une nouvelle variable indépendante.
Ce système a deux racines positives simples induisent, pour le système (4.3) deux cycles limites qui bifurquant de l’origine.
Puisque tous les coefficients des deux équations g21( ; ) = 0 et g22( ; ) = 0 sont indé-pendants, ils peuvent être choisis de manière arbitraire. D’après le théorème de Bezout, le système g21( ; ) = 0; g22( ; ) = 0 a neuf racines réelles, et le système (4.4) a neuf racines réelles avec > 0.
Table des matières
Introduction générale
Chapitre 1 Notions préliminaires
1.1 Systèmes dynamiques
1.2 Notion du flot
1.2.1 Systèmes d’équations différentielles non linéaires
1.3 Théorie des systèmes différentiels non linéaires autonomes
1.3.1 Point critique et linéarisation
1.3.2 Classification et nature des points critiques
1.3.3 Plan et portrait de phase
1.3.4 Orbites périodiques et cycles limites
1.3.5 Existence et unicité de la solution
1.3.6 Existence et non-existence des cycles limites
1.4 Bifurcation de Hopf
1.5 Théorème de Bezout
Chapitre 2 Théorie de moyennisation
2.1 Théorie de moyennisation dans le cas périodique
2.1.1 Théorie de moyennisation du premier ordre
2.1.2 Théorie de moyennisation du second ordre
2.2 Théorie de moyennisation suivant le degré de Brouwer
2.2.1 Rappels sur le degré de Brouwer
2.2.2 Théorie de moyennisation d’ordre un, deux et trois dans Rn
Chapitre 3 bifurcation de Hopf pour un système diffèrentiel quadratique en dimension 5
3.1 Nombre maximum de cycles limites obtenus par bifurcation de Hopf pour un système différentiel quadratique dans R5 par la théorie de moyennisation d’ordre deux
Chapitre 4 bifurcation de Hopf pour un système diffèrentiel quadratique en dimension 4
4.1 Nombre maximum de cycles limites obtenus par bifurcation de zero-Hopf pour un système différentiel quadratique dans R4 par la théorie de moyennisation d’ordre trois
Chapitre 5 Cycle limite bifurquant d’un point d’équilibre d’un système de Kolmogorov de degrée arbitraire
5.0.1 Introduction
5.0.2 Résutats principaux
Conclusion et Perspective
Bibliographie
