Caractérisation du sillage et simplification du problème 

Il existe trois méthodes pour caractériser le sillage : les campagnes expérimentales de mesures in situ (situations de vol réalistes), les études expérimentales en soufflerie et les modélisations numériques. Les méthodes expérimentales sont difficiles à mettre en place et le coût des équipements d’expérimentation est important. Ajoutées à la théorie, ces méthodes sont complémentaires afin d’approcher une bonne compréhension d’un phénomène. Les simulations numériques sont quant à elle moins couteuses en temps et en argent. L’approche numérique offre l’avantage de choisir et contrôler les conditions initiales, permettant ainsi de simuler des configurations inaccessibles dans les études expérimentales. ‘Les études numériques permettent de dégager les processus physiques essentiels de l’écoulement et peuvent fournir des informations conceptuelles très intéressantes dans la compréhension globale de mécanismes physiques tels que la dynamique de sillage’ (Delbende, 2010). Dans ce contexte, une étude numérique a été choisie pour caractériser le problème. Les modélisations numériques comportent toutefois des limites à garder en tête. En effet, les hypothèses initiales et les approximations induites durant les calculs nous éloignent des cas réalistes ou pire, fausser la solution finale. De plus, l’étude numérique envisagée s’étend sur plusieurs envergures derrière l’avion et nécessite l’emploi d’une approche numérique temporelle pour caractériser le sillage tourbillonnaire envisagé. La prochaine section décrit succinctement l’utilisation d’une telle approche d’une part et les approximations employées pour simplifier le problème d’autre part.

Simulation temporelle du sillage tourbillonnaire 

Contrairement à une simulation spatiale d’un écoulement qui donne une quantification des variables d’états de l’écoulement à chaque position en espace (approche nécessitant un nombre de mailles très important), la simulation temporelle est quant à elle beaucoup moins couteuse en termes de calcul. Cette correspondance consiste à remplacer le problème tridimensionnel stationnaire par un problème bidimensionnel instationnaire en créant une analogie entre la distance en aval de l’avion 𝘺 et le temps 𝘵 tel que 𝘵 = 𝘺 ⁄ܷ U₀ avec ܷU₀ la vitesse de l’écoulement libre (ici cette vitesse est équivalente à celle de l’avion sur la . Cette analogie permet de représenter un domaine infini en espace et de réduire ainsi significativement la taille de la boîte de calcul et s’avère très utile si l’on étudie des phénomènes sur de longues distances comme pour le régime tourbillonnaire envisagé. C’est pourquoi les calculs du système tourbillonnaire réalisés dans ce mémoire sont issus de simulations numériques temporelles. De plus, Batchelor (1964) explique que l’évolution temporelle remplace correctement l’évolution spatiale d’un tourbillon lorsque celui-ci est complètement formé. Dans notre cas, la validité de la simulation temporelle est assurée par l’hypothèse de couche limite où les gradients axiaux sont négligeables par rapport aux gradients radiaux lorsque l’enroulement de la nappe tourbillonnaire est achevé. D’autre part, afin de simplifier l’étude envisagée, des approximations ont en effet été appliquées au problème.

Approximation bidimensionnelle et repère d’étude

Au-delà de quelques envergures derrière l’avion (5 < 𝘺/𝘣), Fabre (2002) a mesuré que les vitesses axiales dans l’écoulement sont quasiment nulles. Cela signifie que les gradients de vitesse axiale sont beaucoup plus faibles que les gradients de vitesse tangentielle, signifiant qu’il est possible de considérer l’écoulement comme bidimensionnel à l’instant initial et donc de considérer les configurations présentées dans la revue. Les conditions et limites de cette approximation bidimensionnelle sont données par l’analyse de Moore & Saffman (1975). De plus, l’étude s’intéresse à un avion de ligne en configuration hypersustentée en approche d’atterrissage à une vitesse réduite comparée à celle utilisée en vol croisière, impliquant un nombre de Mach suffisamment faible pour considérer l’écoulement comme incompressible (la vitesse, la pression et la masse volumique du fluide ρ ne dépend ni du temps ni de l’espace). Cette justification a été également été employée dans les études telles que celle de Fabre (2002) ou encore Doran (2017). De plus, on considèrera l’avion au début de sa phase d’approche et ainsi assez loin du sol pour en négliger les effets. On s’intéresse maintenant aux définitions du modèle physique et mathématiques d’un système de quatre tourbillons contrarotatifs.

Le tourbillon de Lamb-Oseen 

Notre choix s’est tourné vers le tourbillon de Lamb-Oseen (Saffman, 1992) afin de modéliser les tourbillons de sillage tourbillonnaire envisagé. Les travaux de Moore & Saffman (1975) montrent que le tourbillon de Lamb-Oseen devient bidimensionnel suffisamment loin du bord de fuite de l’avion. Ce dernier est un doté d’une distribution gaussienne de vitesse correspondante à une solution analytique des équations de Navier-Stokes, ce qui fait de lui un modèle apprécié concernant la validité de l’initialisation. Il est donc possible de comparer les profils de vitesse tangentielle au cours du temps avec la théorie et en sortir les erreurs induites par la discrétisation des équations de Navier-Stokes. De plus, des auteurs tels que Leweke & Williamson (2016) observent un bon accord du tourbillon de Lamb-Oseen avec les données expérimentales. À noter qu’il existe de nombreux autres types de tourbillons avec des distributions différentes de vorticité. Une liste d’autres modèles, utilisés principalement pour décrire les tourbillons de sillage d’avions, peut être trouvée dans Gerz et al. (2002). Après un temps suffisamment long (plus long que le temps diffusif), tous les modèles de tourbillons tendent à ressembler au tourbillon de Lamb Oseen à bas Reynolds (Doran, (2017)). C’est-à-dire que leur distribution de vorticité tend vers une distribution gaussienne par effet de diffusion visqueuse. Notre étude étant à bas Reynolds, l’utilisation de modèle de Lamb-Oseen est justifiée. Ce modèle fait partie des approches les plus courantes de modélisation du tourbillon de sillage pour des cas académiques. Son abondance dans la littérature en fait un bon moyen de comparaison. Il est toutefois important de préciser que ce modèle décrit assez mal la structure des tourbillons de sillage observés dans des conditions réalistes et que des simplifications du problème doivent être posées. En effet, le sillage est un système principalement inertiel caractérisé par des nombres de Reynolds élevés (les forces d’inertie sont largement supérieures (~10⁷) aux forces visqueuses), tandis que le modèle de Lamb-Oseen décrit un tourbillon gouverné principalement par des forces visqueuses. L’utilisation du tourbillon de Lamb-Oseen pour décrire le système tourbillonnaire envisagé impose la formulation de certaines hypothèses à l’instant initial :
• La composante axiale de la vitesse est nulle (approximation bidimensionnelle);
• La composante radiale de la vitesse est nulle (approximation bidimensionnelle);
• L’écoulement est incompressible et instationnaire ;
• L’écoulement est purement tangentiel (approximation bidimensionnelle);
• Les forces de pesanteur sont négligées.