Caractéristiques X des amas de galaxies distants et
application à la contrainte des paramètres
cosmologiques

Evolution des fluctuations de densité, formation hiérarchique des structures et auto-similarité 

Les considérations suivantes traitent de la formation de halos de matière noire non collisionnelle, ce formalisme représente aussi une bonne approximation du comportement du gaz intra-amas, piégé dans le puit de potentiel de la matière noire. La formation des structures gravitationnellement liées est issue de l’effondrement gravitationnel des fluctuations de densité initiales : les zones les plus denses croissent sous l’action de la gravité. Lorsque l’on écrit “amas”, “galaxies” ou “structure” : il s’agit en fait toujours de “halos de matière noire”. Au cours de l’évolution de l’Univers jeune, une phase très importante intervient environ 300 000 ans après le Big-Bang : c’est le découplage rayonnement-matière. Après cette transition, la pression du rayonnement (désormais libéré) n’empˆeche plus la matière de se condenser. On peut dès lors étudier l’évolution d’une distribution de densité ρ(~r,t). 

 Evolution linéaire des perturbations, mode de Jeans 

Dans le paragraphe 1.1.2, nous avons considéré l’Univers comme homogène et isotrope `a grande échelle. Toutefois, l’observation actuelle des structures (avec un grand contraste de densité) indique la présence de fluctuations déj`a `a l’époque du découplage. Lors de l’expansion de l’Univers, l’effondrement gravitationnel de ces fluctuations a conduit aux structures que nous observons aujourd’hui. Dans le cadre de la relativité générale, le théorème de Birkhoff (analogue gravitationnel du théorème de Gauss de l’électromagnétisme) nous autorise, pour des échelles spatiales plus petites que l’horizon, de travailler avec la gravitation newtonienne. Ainsi, pour étudier la croissance des fluctuations adiabatiques de matière noire froide noncollisionnelle `a faible contraste de densité, on adopte le formalisme classique pour l’étude d’un fluide non-collisionnel : les équations d’Euler, l’équation de conservation et l’équation de Poisson [6] [156]. En négligeant le gradient de pression, ce système d’équation pour le fluide cosmique de densité ρ, de pression P et de vitesse v s’écrit   Ou` ϕ est le potentiel gravitationnel non perturbé. L’indice r indique que nous travaillons en coordonnées physiques. Ce système admet une solution évidente : un Univers homogène, non perturbé. Mais cette solution n’est pas compatible avec l’observation des structures actuellement formées. Introduisons donc les embryons de ces structures sous forme de faibles perturbations autour des valeurs moyennes telles que  En passant en coordonnées comobiles et en posant ψ = ϕ + 1 2 a d 2a dt2 , a étant le facteur d’échelle ( ~x = ~r/a(t),~v = a˙x + ~u(x,t),∇x = a∇r), on obtient :    ∂δ ∂t + 1 a∇~ x.((1 + δ)~u) = 0 ∂~u ∂t + 1 a da dt ~u + 1 a (~u.∇~ x)~u = − 1 a∇xψ ∇2 xψ = 4πGρa¯ 2 δ (1.25) On recherche une solution sous forme d’onde plane : δ(x,t) = X k δk(t)e −ikx (1.26) ou` δk est la transformée de Fourier du contraste de densité δ. Dans l’espace de Fourier, le système devient   L’approximation linéaire revient `a négliger les termes de couplage. On obtient ainsi l’équation d’évolution des surdensités dans un fluide non-collisionnel : ∂ 2 δk ∂t 2 + 2 a da dt ∂δk ∂t = 4πGρ¯δk (1.28) Considérons maintenant l’effet de la pression du fluide sur cette solution ; par unité de volume, la force exercée par la pression s’exprime : F = −∇P/a = −(dP/dρ)∇ρ/a = −c 2 sρ¯∇δ/a. (1.29) Ou` j’introduis la vitesse du son dans le fluide  Ainsi, l’équation d’évolution des perturbations devient : ∂ 2 δk ∂t 2 + 2 a da dt ∂δk ∂t + c 2 sk 2 a 2 − 4πGρδ¯ k ! = 0 (1.31) Cette équation, pour une solution en onde plane, donne la relation de dispersion qui relie k (k = 2π/λ) et ω par : ω 2 − c 2 sk 2 + 4πGρ¯ = 0 (1.32) ou` k est le vecteur d’onde. L’évolution des surdensités est régie par deux phénomènes en compétition : la gravité qui a tendance `a faire s’effondrer la matière sur elle-mˆeme et la pression du fluide qui empˆeche l’effondrement. Le mode particulier pour lequel ces deux effets se compensent exactement est appelé mode de Jeans avec pour longueur caractéristique la longueur de Jeans définie par : λj = cs( π Gρ¯ ) 1/2 . (1.33) A cette longueur est associée la masse de Jeans : Mj = 4 3 πρ¯  λj 2 3 (1.34) L’équation 1.32 admet deux types de solution en fonction de leur longueur d’onde. Si celle-ci est supérieure `a la longueur de Jeans (λ > λj) c’est la gravité qui domine et les surdensités augmentent. Pour le cas λ < λj , c’est la pression qui domine et on obtient des solutions oscillantes : deux ondes sonores de directions ±k se propagent dans le fluide avec une dispersion donnée par : ω = ±csk[1 − (λ/λj )] (1.35) Parmi ces deux modes, seul le mode croissant, D(t), est intéressant pour notre propos. L’expression formelle du mode croissant est [1] : D(t) ∝ H(t) Z dt a 2H2(t) (1.36) Le détail des calculs aboutissant `a ce résulat sont fournis en annexe 1. On peut réécrire D(t) en fonction du redshift [1] : D(z) = 5ΩM H2 0 2 H(z) Z ∞ z 1 + z 0 H3(z 0) dz0 , (1.37) Dans le modèle Einstein-De Sitter la solution pour le mode croissant est proportionnelle au facteur d’expansion de l’Univers : D(t) ∝ a ∝ t 2/3 . Les taux de croissance CHAPITRE 1. CONTEXTE COSMOLOGIQUE Fig. 1.4 – Facteur de croissance des perturbations pour différents modèles d’Univers : critique (ΩM=1, trait plein), ouvert (ΩM < 1, ΩΛ = 0, trait point-pointillés) et plat avec constante cosmologique (ΩΛ = 1 − ΩM , trait pointillés) des perturbations pour différents modèles d’Univers sont donnés ci-dessous : (pour ΩM < 1 et ΩΛ = 1 − ΩM ) (1.38) Mais dans la plupart des cas, la formule d’ajustement suivante est suffisante. La figure 1.4 illustre le comportement du facteur de croissance dans différents modèles cosmologiques.

 Amortissement de la croissance des perturbations

Dans la réalité les choses sont un peu plus compliquées : le fluide considéré est en fait composé de baryons dans un “bain” de matière noire. L’évolution dépend alors du type de particules en présence, de leur nombre et de la taille de la perturbation. Dans le cas de perturbations `a grande échelle, qui ne sont régies que par la gravitation, l’approximation non-collisionnelle développée ci-dessus s’applique directement. En revanche, l’évolution des perturbations de plus petite échelle est très dépendante du type de particules de matière noire. Avant la (re)combinaison, le fluide est supposé collisionnel et la longueur de Jeans du plasma est supérieure au rayon de Hubble de l’Univers (Weinberg, 72)[233] : les fluctuations pour lesquelles λ < λj oscillent jusqu’`a la recombinaison. Au moment de la recombinaison, l’Univers devient transparent et la longueur de Jeans décroˆıt brutalement : les perturbations telles que M < Mj qui étaient gelées peuvent désormais croˆıtre. Un autre phénomène intervient aux petites échelles : la diffusion des photons des zones de sur-densité vers les zones de sous-densité peut “gommer” les fluctuations. En effet, le libre parcours moyen des photons juste avant la recombinaison est : l(z) = 1 χeneσT ∝ 1 χeΩbh 2  1000 1 + z 3 (1.41) ou` χe est la fraction de baryons ionisés, ne la densité électronique et σT la section efficace Thomson. Ainsi, pour des échelles inférieures `a cette longueur caractéristique, le processus de diffusion est très efficace et entraˆıne la destruction des petites structures. C’est l’“Amortissement de Silk” [4] qui intervient pour des structures de masses inférieures `a la masse de Silk définie par : MSilk ‘ 6.2 × 10−12Msol  Ω0 Ωb  (Ω0h 2 ) −5/4 . (1.42) Cette masse est modifiée par la présence de matière noire qui n’interagit pas avec les photons. Il existe aussi un processus d’amortissement qui n’est efficace qu’en présence de matière noire chaude, typiquement des neutrinos massifs. L’Univers réel est composé de baryons et de matière noire et l’évolution des perturbations baryoniques est guidée par l’évolution de la matière noire. Dans le cadre d’un modèle CDM, les objets les plus petits qui peuvent se former ont une masse de baryons de l’ordre de 103Msol [3] et les structures plus grandes se forment successivement : c’est le modèle de formation hiérarchique des structures.