CATEGORIE DES CW-COMPLEXES

Généralités sur les Catégories et Foncteurs Introduction 

Ce chapitre rassemble des résultats et rappels préliminaires à l’étude des chapitres qui suivent. On y donne les notions de catégorie et foncteur et les notions de bases sur les espaces topologiques utiles à la compréhension de la suite du travail. 

Catégories 

Définition 1.1 : Une catégorie C est la donnée : 1) D’une classe d’objets notée Ob((C)). 2) Pour tout couple (X,Y) d’objets de C, d’un ensemble HomC (X,Y) dont les éléments sont appelés flèches ou morphismes de X dans Y. 3)Pour tout triplet (X,Y, Z) d’objets de C, d’une application (f , g) 7→ g ◦ f de HomC (X,Y) × HomC (Y, Z) dans HomC (X, Z) appelée composition des morphismes satisfaisant aux deux conditions suivantes : a) Pour tout quadruplet (X,Y, Z, T) d’objets de C et pour tout triplet (f , g, h) ∈ HomC (X,Y) × HomC (Y, Z) × HomC (Z, T),(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f) 8 b) Pour tout objet X ∈ C, il existe un morphisme 1X appelé morphisme identité de X tel que : i)Pour tout objet Y de C et pour tout f ∈ HomC (X,Y), f ◦ 1X = f ii) Pour tout objet Y de C, pour tout g ∈ HomC (Y, X), 1X ◦ g = g Exemples 1.1 : 1) Catégorie des ensembles notée Ens : les objets sont les ensembles , les morphismes sont les applications. 

Catégorie des groupes notée Gr 

 les objets sont les groupes, les morphismes sont les homomorphismes de groupes. Catégorie des A-modules à gauche notée A − Mod (resp. à droite notée Mod − A) : les objets sont les A-modules à gauche(resp. à droite), les morphismes sont les homomorphismes de A-modules à gauche(resp. à droite). 4) Catégorie des groupes abéliens notée Ab : les objets sont les groupes abéliens, les morphismes sont les homomorphismes de groupes abéliens. Définition 1.2 : Soit f : X −→ Y un morphisme de C. Alors : 1) On dit que f est un monomorphisme de C si l’une des deux conditions suivantes sont vérifiées : i)∀Z ∈ Ob(C), ∀(u, v) ∈ HomC (Z, X) × HomC (Z, X) tel que f ◦ u = f ◦ v ⇒ u = v ii)∀Z ∈ Ob(C), l’application notée C(1Z, f) : HomC (Z, X) −→ HomC (Z,Y) u 7→ f ◦ u est injective 2) On dit que f est un épimorphisme de C si l’une des deux conditions suivantes sont vérifiées : i)∀Z ∈ Ob(C), ∀(u, v) ∈ HomC (Y, Z) × HomC (Y, Z) tel que u ◦ f = v ◦ f ⇒ u = v ii)∀Z ∈ Ob(C), l’application notée 9 C(f , 1Z) : HomC (Y, Z) −→ HomC (X, Z) u 7→ u ◦ f est injective 3) On dit que f est un isomorphisme s’il existe un morphisme g : Y −→ X de C tel que f ◦ g = 1Y et g ◦ f = 1X. Si g existe alors g est noté f −1 et il est unique. Si X = Y et f : X −→ X est un isomorphisme. Alors on dit que f est un automorphisme. 4) On dit que f est sectionnable(resp. rétractable) si et seulement si f admet un inverse à droite(resp. un inverse à gauche) c’est à dire si et seulement si il existe s ∈ HomC (Y, X)(resp. r ∈ HomC (Y, X)) tel que f ◦ s = 1Y(resp. r ◦ f = 1X). On dit que s est une section de f , de même r est une rétraction de f .  Sommes(Coproduits) et Produits Définition 1.3 : 1) Soit (Xi)i∈I une famille d’objets dans une catégorie C. Une somme de cette famille est la donnée d’un objet X de C et pour chaque i ∈ I d’une flèche injective ini : Xi −→ X vérifiant la propriété suivante : Quels que soient l’objet Y et les flèches ui : Xi −→ Y de C il existe une unique flèche u : X −→ Y telle que le diagramme suivant Xi ini / ui  X u  Y soit commutatif (c’est à dire u ◦ ini = ui ) quel que i. 2) Un produit est la donnée d’un objet X de C et pour chaque i ∈ I d’une flèche pri : X −→ Xi vérifiant la propriété universelle suivante : Quels que soient l’objet Y et les flèches ui : Y −→ Xi de C il existe une unique flèche 10 u : Y −→ X telle que le diagramme suivant X pri /Xi Y u OO ui ? soit commutatif quel que soit i Les sommes et produits sont uniques à isomorphismes près s’ils existent. On les note par : ä i∈I Xi et ∏ i∈I Xi Exemple 1.2 : Le coproduit de deux espaces topologiques est leur union disjointe.  Sommes amalgamées : Définition 1.4 :Carré cocartésien Considérons dans une catégorie C un diagramme commutatif Y f / g  Y 0 j  v  Z i / u ‘ Z 0 X On dit que YY’ZZ’ est un carré cocartésien si, quels que soient l’objet X de C et les flèches u, v tels que l’on ait v ◦ f = u ◦ g il existe une unique flèche k : Z 0 −→ X qui 11 rend commutatif le diagramme suivant Y f / g  Y 0 j  v  Z i / u ‘ Z 0 k X Définition 1.5 : Soit le diagramme suivant dans la catégorie C Y f / g  Y 0 Z Une somme amalgamée de ce diagramme est la donnée d’un objet Z 0 de C et de deux flèches inY0 : Y 0 −→ Z 0 , inZ : Z −→ Z 0 tels que le carré YY’ZZ’ ainsi formé soit cocartésien. Si un tel objet Z 0 existe , il est unique à isomorphisme près. On écrit alors Y 0 ä f ,g Z = Z 0 1.2 Foncteurs Définition 1.6 : Soient C et D deux catégories. On appelle foncteur covariant ( ou simplement foncteur ) de C dans D une application F de C dans D telle que : 1) Pour chaque objet X de C, F(X) est un objet de D. 2) Pour tout morphisme f : X −→ Y de C, F(f) : F(X) −→ F(Y) est un morphisme de D. 3) Si f : X −→ Y et g : Y −→ Z sont deux morphismes de C alors F(g ◦ f) = F(g) ◦ F(f) 4) Pour tout objet X de C, F(1X) = 1F(X) 12 Définition 1.7 : Soient C et D deux catégories. Alors on dit que l’application F : C −→ D est un foncteur contravariant de C dans D si : i) Pour chaque objet X de C, il associe un unique objet F(X) de D. ii) Pour tout morphisme f : X −→ Y, il associe un unique morphisme F : F(Y) −→ F(X). iii) Si f : X −→ Y et g : X 0 −→ Y 0 sont deux morphismes de C alors F(g ◦ f) = F(f) ◦ F(g). iv) F(1X) = 1F(X) pour tout objet X de C. Définition 1.8 : Soit C une catégorie, on définit foncteur identité 1C : C −→ C par : 1C(X) = X pour tout X ∈ C et 1C (f) = f pour tout f ∈ HomC(X,Y) Exemples 1.3 : 1) Foncteur d’une catégorie C dans Ens noté Hom(X, −) défini par : • Pour tout objet X d’une catégorie C, Hom(X, −)Y = Hom(X,Y), ∀Y ∈ C. • Pour tout morphisme f ∈ Hom(Y,Y 0 ) de C, Hom(X, −)f = Hom(X, f) et est noté f? avec f?(h) = f ◦ h pour tout h ∈ Hom(X,Y). Soit X f −→ Y g −→ Z où f et g sont deux morphismes de C,alors on a : (g ◦ f)? = g? ◦ f? En effet :Soit (g ◦ f)? : HomC (T, X) −→ HomC (T, Z) h 7→ (g ◦ f)?(h) = (g ◦ f) ◦ h D’autre part (g? ◦ f?)(h) = g?(f?(h)) = g?(f ◦ h) = g ◦ (f ◦ h) D’après l’association des compositions des morphismes on obtient : g ◦ (f ◦ h) = (g ◦ f) ◦ h = (g ◦ f)?(h) Donc (g ◦ f)? = g? ◦ f? Posons f = 1X : X −→ X Soit (1X)? : h −→ 1X ◦ h ∀h ∈ HomC (T, X) donc (1X)? = 1Hom(T,X) 13 2) Foncteur d’une catégorie C dans Ens noté : Hom(−,Y) défini par : pour tout objet Y de C, Hom(−,Y)X = Hom(X,Y) ∀X ∈ C Pour tout morphisme f ∈ Hom(Z, Z 0 ) de C, Hom(−,Y)(f) = Hom(f ,Y) = f? avec f?(h) = h ◦ f ∀h ∈ Hom(Z 0 , Z) Soient f , g, h des morphismes de C tel que : Z f −→ Z 0 g −→ Z 00 h −→ Y, alors on : (g ◦ f)? = f? ◦ g? En effet : (g ◦ f)?, f? ◦ g? : Hom(Z 00 ,Y) −→ Hom(Z,Y) (g ◦ f)?(h) = h ◦ (g ◦ f) D’autre part, (f? ◦ g?)(h) = f?(h ◦ g) = (h ◦ g) ◦ f et comme (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f) Donc (g ◦ f)? = f? ◦ g? Donc Hom(−,Y) est un foncteur contravariant. Posons f = 1Z : Z −→ Z (1Z)? : HomC (Z,Y) −→ HomC (Z,Y), h 7→ h ◦ 1Z Donc (1Z)? = 1HomC (Z,Y) Définition 1.9 : Soient C et D deux catégories, F : C −→ D et G : D −→ C deux foncteurs. Alors on définit le foncteur composé G ◦ F : C −→ C par : i) ∀X ∈ C, G ◦ F(X) = G(F(X)) ii) ∀ f : X −→ Y tel que f ∈ HomC (X,Y), G ◦ F(f) : GF(X) −→ GF(Y) Sous les mêmes conditions de cette définition, on dit que F est un isomorphisme si F ◦ G = 1D et G ◦ F = 1.