Choix du tenseur de relaxation

Dans ce chapitre, on développe les mêmes étapes que celles du chapitre pré­ cédent. L’isotropie du matériau nous permet d’aller au bout de l’identification, c’est à dire à l’obtention des formes des fonctions ÜQ, ai et a2. En guise d’exemple, on développe la procédure d’identification dans le cas où la mesure linéarisante choisie est écrite sous forme d’une mesure de Seth [Seth, 1964]. Revenons au potentiel d’énergie libre et à la mesure linéariante définis res­ pectivement par les relations (11.21) et (11.15). L’isotropie du matériau, ajoutée à celle de la relation reliant Eà A imposent un tenseur de relaxation de la forme: On limite l’identification du comportement aux matériaux isotropes et com­ pressibles. Celle-ci se faisant pour des essais de relaxation, on écrit le potentiel d’énergie libre sous la forme suivante, en substituant (11.31) dans (11.21): On constate, à partir de (11.38), que deux équations suffisent pour déterminer A (a0, ai, a2) et ß (ao, ßi, a2). En revanche, connaissant ces deux fonctions, on ne peut pas déterminer les trois fonctions ao, ai et a2. On peut donc supposer que a2 est une fonction quelconque bornée des trois invariants et déterminer ao et «i en fonction de a2. D’après (11.38), on a:

La mesure linéarisante la plus simple, compatible avec ce qui précède et véri­ fiant les relations (11.16), (11.17) et (11.18) est celle où a2 = 0. Une telle mesure est définie par: Le choix de cette mesure se justifie par le fait qu’on ne peut identifier par des essais de relaxation que deux fonctions puisque, dans le cas isotrope, on ne dispose que de deux fonctions mémoire A et ¡À.  Nemat-Nasser et Mehrabadi [Nemat-Nasser & Mehrabadi, 1987] affirment que la mesure de déformation doit être nulle en l’absence de déformation, positive et croissante quand le matériau considéré est en extension et doit se réduire à la déformation £ quand le comportement est linéarisé. Donc, à ce stade de l’identi­ fication, il faut vérifier la validité de la mesure de déformation qui, dans ce cas, est sujette à la connaissance des potentiels $0 et ^oo-Afin de s’affranchir de cette difficulté, on pourrait choisir une mesure qui vérifie naturellement les conditions de validité imposées par Nemat-Nasser et Mehrabadi [Nemat-Nasser & Mehrabadi, 1987]. Cette étude est proposée dans le paragraphe suivant. Dans le cas où m = 2, on retrouve le tenseur de Green-Lagrange A. Si, en outre, les déformations sont petites, alors on retrouve le tenseur de déformation linéarisée e_ puisque: Nemat-Nasser et Mehrabadi [Nemat-Nasser h Mehrabadi, 1987] montrent que ces mesures vérifient les conditions de validité. L’identification se limite donc à la détermination du scalaire m. 

Ces mesures incluent donc les cas linéaire et petites perturbations et sont un cas particulier de la mesure générale proposée par la relation (11.15) puisque Morman [Morman, 1988] a montré qu’elles pouvaient s’écrire sous la forme: Ainsi, pour chaque valeur de (Aa)a=1..,3, on a une valeur de m. On choisit alors une valeur de m au voisinage des déformations souhaitées. Cette méthode reste néanmoins très complexe car l’équation précédente est fortement non linéaire du fait de la dépendance en Xa du second membre, des différents invariants et de Souvent, les comportements des polymères sont approchés par des compor­ tements hyperélastiques. Ce type de comportements est décrit par des poten­ tiels d’énergie libre qui, dans le cas isotrope, dépendent des invariants de C. Par exemple, les potentiels de Mooney-Rivlin, de Blatz-Ko ou de Hart-Smith sont des potentiels souvent utilisés: Mooney et Rivlin [Rivlin, 1951], proposent comme potentiel hyperélastique, un potentiel dépendant des deux premiers invariants de <Ç (dans le cas incompressible). Ce potentiel, écrit à l’ordre 2, a la forme: L’avantage du modèle pseudo-linéaire est de pouvoir déterminer simplement une mesure linéarisante d’un comportement hyperélastique par équivalence aux petites déformations. A titre d’exemple, déterminons les coefficients ÜQ et a\ d’une mesure linéarisante pour un potentiel de Mooney-Rivlin compressible que l’on choisit sous la forme.