Connexité des groupes de Lie

 Composantes connexes d’un groupe topologique

Composantes connexes d’un groupe topologique Soit G un groupe topologique. On note par G0 la composante connexe contenant l’élément neutre e, c’est-à-dire la plus grande partie connexe de G contenant e. Lemme 1. Le sous-ensemble G0 est fermé et distingué dans G. Si, de plus e possède un voisinage connexe alors G0 est un sous- groupe ouvert et fermé. Théorème 2.1.1. GLn(R) n’est pas connexe. Démonstration. Prenons M, N ∈ GLn(R) avec |M| > 0, |N| < 0. Supposons qu’il existe une application continue . α : [0, 1] −→ GLn(R) 0 7−→ α(0) = M 1 7−→ α(1) = N . Considérons aussi les applications suivantes : det: GLn(R) → R∗ := R − {0} et la composition β : [0, 1] α−→ GLn(R) det −→ R ∗ β := det ◦α. Alors β(t) = det(α(t)) = |α(t)|, ∀t ∈ [0, 1]. Donc β est une application continue et satisfait aux conditions suivantes β(0) = |α(0)| = |M| > 0, β(1) = |α(1)| = |N| < 0. D’après le théorème de Bolzano, on peut conclure que GLn(R) n’est pas connexe. Une importante observation est de remarquer que dans un groupe de Lie, les notions de connexité et de connexité par arc sont équivalents. Maintenant on peut écrire GLn(R) sous la forme de réunion de composante connexe. GLn(R) = GL+ n (R) ∪ GL− n (R), où GLn(R) + est l’ensemble des matrices de déterminants positifs et GLn(R) − l’ensemble des matrices de déterminants négatifs.Théorème 2.1.2. GL+ n (R) est connexe. Démonstration. Pour tout élément M de GL+ n (R), montrons qu’il existe une application continue α: [0, 1] → GL+ n (R) satisfaisant aux conditions suivantes : 0 7→ α(0) = M 1 7→ α(1) = In. Il est convenable d’introduire la notation M ∼ N qui signifie qu’il existe une application continue α: [0, 1] → GL+ n (R) telle que α(0) = M et α(1) = N. Il est facile de montrer que ∼ est une relation d’équivalence. Il est aussi facile de vérifier les propriétés suivantes : Si M, N, M0 ∈ GLn(R) alors, M ∼ N ⇒ MM0 ∼ NM0 pour tous M0 ∈ GL+ n (R), M ∼ N ⇒ M0M ∼ M0N pour tous M0 ∈ GL+ n (R). Ainsi, si M est un élément de GL+ n (R) nous avons M ∼ In, alors en prenant en compte le fait que ∼ est une relation d’équivalence, on conclut que GL+ n (R) est connexe par arc. Pour cette démonstration, nous aurons besoin des propriétés sur les formes canoniques de Jordan. Si A est une matrice à coefficient rèel, on peut toujours la mettre sous sa forme de Jordan, dans ce cas il existe une matrice inversible P telle que P AP −1 = J où J est une matrice de la forme J = diag(M1, · · · , Mk) et (Mi) est une matrice de Jordan. Un bloc de Jordan rèel peut être identifier á un bloc de Jordan complexe ( si λi est une valeur propre correspondant au bloc de Jordan réel), ou c’est une matrice composée de 2 × 2 blocs de Jordan comme suit (pour une valeur propre non-réel λi = ai + ibi). Les blocs diagonaux sont de la forme : Ci =  ai bi −bi ai  et décrit la multiplication par λi dans le plan complexe. Les éléments de la diagonale supérieure sont représentés par des matrices identités d’ordre 2. Donc la matrice de Jordan est définie par Ji =   Ci I Ci . . . . . . I Ci   . La forme de Jordan rèel est une conséquence de la forme de complexe. Maintenant ,nous nous intéressons à quelques remarques : i) Si λj 6= 0 alors Cj ∈ GL2(R) et Cj ∼ 12 (la matrice identité d’ordre 2. En effet, on peut écrire aj = ρj cos θj et bj = ρj sin θj pour un certain rèel ρj ≥ 0. L’application continue φ(t) =  [(1 − t)ρj + t] cos(1 − t)θj [(1 − t)ρj + t] sin(1 − t)θj −[(1 − t)ρj + t] sin(1 − t)θj [(1 − t)ρj + t] cos(1 − t)θj  satisfait φ(0) = Cj et φ(1) = 12. Donc C2 ∼ 12.