Contexte du travail la géométrie différentielle

Le point de départ de cette recherche est lié à notre expérience d’enseignante. En effet, nous intervenons, à l’Université de Mons en Belgique, dans un cours d’Introduction aux variétés différentielles adressé à des étudiants en troisième année universitaire de la filière mathématique. Nous nous occupons des travaux dirigés depuis presque 7 ans. C’est dans ce contexte que nous avons constaté certaines difficultés rencontrées par nos étudiants lorsqu’ils devaient manipuler et esquisser les objets géométriques étudiés. Afin de mettre en évidence ces difficultés, nous exposons dans un premier temps les notions importantes travaillées au sein de ce cours. Nous présentons également la philosophie du cours ainsi que les attentes des enseignants lors de l’évaluation finale. Nous déduisons de ces analyses un premier questionnement. 1 Les notions mathématiques étudiées La géométrie différentielle est l’application des outils du calcul différentiel et de l’algèbre linéaire à l’étude de la géométrie (définition utilisée dans le syllabus 1 du cours et inspiré de Wikipédia). Nous étudions alors au sein de ce cours des objets géométriques tels que les courbes du plan et de l’espace ainsi que les surfaces de R 3 . C’est une volonté de la part des enseignants de ne pas aller au-delà de l’espace appréhendable par les étudiants. En effet, l’interprétation géométrique des notions vues et des calculs effectués est selon nous une condition nécessaire pour une meilleure compréhension des notions clés de la géométrie différentielle. Dans le premier chapitre du cours sont notamment vues les notions de courbe paramétrée, de courbe régulière, de courbe paramétrée par longueur d’arc et de courbure. Il est à noter que nous ne nous intéressons pas à la façon dont les courbes sont parcourues mais bien à leur géométrie c’est-à-dire à l’image de la courbe. Nous donnons les définitions de ces différents concepts. 1. Le syllabus est accessible sur https://moodle.umons.ac.be/pluginfile.php/ 297771/mod_resource/content/1/plan.pdf   Définition 1 (Courbe paramétrée). Soit I ⊆ R un intervalle d’intérieur non vide. Une courbe paramétrée est une fonction α : I → R n continue. Définition 2 (Courbe régulière). Soit α : I → R n une courbe paramétrée. Soit t ∈ I. Le point α(t) est dit régulier si α˙(t) 6= 0. Une courbe paramétrée est dite régulière si tous ses points sont réguliers. Définition 3 (Courbe paramétrée par longueur d’arc). Soit α : I → R n une courbe paramétrée. On dit que α est paramétrée par longueur d’arc si et seulement si kα˙(t)k = 1, quel que soit t ∈ I. Définition 4 (Courbure). Soient α : I → R n une courbe paramétrée par longueur d’arc et t ∈ I. La courbure de α au point α(t), notée κ(t), est définie par kα¨(t)k. Comme le montrent les définitions ci-dessus, les notions semblent se limiter à des calculs de dérivées et de norme. C’est pourquoi, les enseignants mettent un accent fort sur la signification géométrique de ces différentes notions. Pour eux, il est plus important que les étudiants soient capables d’interpréter géométriquement les différents résultats qu’ils obtiennent lors de leurs calculs que les calculs en eux-mêmes. Ainsi, que ce soit avec l’enseignant lors des séances théoriques ou avec l’assistant lors des séances d’exercices, les étudiants sont amenés à devoir interpréter géométriquement les objets qu’ils manipulent et les résultats des différents calculs effectués. 

 Difficultés des étudiants

Le cours de géométrie différentielle aborde de nombreuses notions amenant les étudiants à réaliser beaucoup de calculs. L’interprétation géométrique des différentes notions est alors nécessaire pour que les étudiants les comprennent. Nous avons mis en évidence le travail attendu des étudiants par les enseignants lors des exercices et des évaluations. La confrontation des résultats obtenus avec la surface étudiée est jugée importante au sein de ce cours. Or, pour y arriver, les étudiants doivent être capables d’esquisser la surface ou du moins de la visualiser, c’est-à-dire de se créer une image mentale de l’objet et de pouvoir effectuer des modifications de ces images mentales comme par exemple effectuer des rotations (Marchand, 2006). Nous intervenons dans les travaux dirigés depuis presque sept ans. Nous constatons chaque année qu’il n’est pas évident pour la majorité des étudiants de visualiser la surface étudiée, les courbes décrites par les sections normales, et d’employer une démarche permettant d’y arriver. Les étudiants essayent généralement de s’en sortir avec une démarche de pointage (Duval, 1988). Il s’agit de trouver des points appartenant aux courbes et aux surfaces et de s’en donner suffisamment pour esquisser l’objet géométrique considéré. Cette démarche peut fonctionner dans R 2 mais dans R 3 elle est vite mise en défaut. Ils sont généralement démunis lorsque cette démarche est non efficace.