Contributions numériques pour la résolution de
certains problèmes environnementaux et
épidémiologiques

Maillage du domaine

Dans cette section nous sommes concernés par des domaines de type Figure 1.1. A cet effet, nous présenterons un processus de maillage en deux dimensions qui utilise à la fois la méthode des éléments finis triangulaires et les points de collocation. Dans la suite de cette section, le paramètre NT contrôlera le nombre de triangles et le paramètre NP désignera le nombre de points collocaux dans chaque élément fini triangulaire.

Maillage en éléments finis triangulaires

Nous avons une variété de codes numériques disponibles pour générer des éléments finis triangulaires sur des figures à géométrie complexe ou irrégulière. L’on pourrait consulter [22] où l’auteur développe un algorithme pour le maillage des figures en dimension 2 ou 3 d’espace sans utiliser le critère de Delauney contrairement à [32]. Dans ce travail, nous présentons un algorithme qui inclut la dérivation 

Maillage du domaine

Figure 1.1 – (a)Le fleuve Amazone, (b)Le Lac Victoria de Delauney. Ce programme utilise des codes tels que : « inpolygon » et « delaunayTriangulation » disponibles dans les outils de Matlab. Le principal avantage de notre programme est la rapidité et la légèreté permettant de créer facilement les éléments finis triangulaires. Quelques exemples de maillages sont présentés dans Figure 1.2. Figure 1.2 – De gauche à droite, le maillage en éléments finis triangulaires pour respectivement NT = 5, 10 et 15. 

Maillage du domaine 

Maillage en points Collocaux

Nous utiliserons deux types de points collocaux : les points de Fekete et les points de Gauss-Lobatto dans le cadre de notre méthode pseudo-spectrale ou de collocation. Les points de Fekete Les points Fekete sont définis au moyen des fonctions de base de Dubiner [20] φij (r, s) =  1 − s 2 i × p 0,0 i  2r + s + 1 1 − s  × p 2i+1,0 j (s) où les p α,β j (s) sont les polynômes de Jacobi de degré j et d’ordre (α, β) [1]. Il est bien connu que l’ensemble des fonctions φij , 0 ≤ i, j ≤ N et i + j ≤ N est une base orthogonale de PN ( bT), l’espace du polynôme de degré inférieur ou égal à N sur un domaine triangulaire de référence, bT. Dans tout ce qui suit, nous écrirons φk au lieu de φij , 1 ≤ k ≤ (N + 1)(N + 2)/2 pour toute bijection arbitraire k ≡ k(i, j). Considérons maintenant la matrice de Vandermonde généralisé V dont les composants sont Vij = φj (zi) pour les points arbitraires zk ∈ bT, k = 1, …, s, où nous avons défini s = (N + 1) (N + 2) /2. Les points de Fekete sont les points zbi , i = 1, …, s qui maximisent le déterminant de V : max {zi}∈Tb |V (z1, z2, …, zN )| (1.1) Les points de Gauss-Lobatto Les points de Gauss-Lobatto correspondent aux racines des polynômes de Jacobie p α,β j (s). Cependant, dans le cas des domaines à produits tensoriels comme des droites ou des rectangles, les points de Gauss-Lobatto sont bien adaptés à l’approximation spectrale [15], [16]. Et dans le cas des domaines complexes, les points sont générés dans une élément rectangulaire standard premièrement et transférés par la suite

Maillage du domaine dans le domaine complexe en utilisant une transformation appropriée

Dans Figure 1.3, nous présentons des exemples de points de collocation générés sur un domaine complexe. On peut remarquer que les points de collocation sont indépendants de la base choisie. En outre, comme il faut calculer numériquement l’inverse des matrices dans l’approximation des opérateurs de différentiations, il est important pour les matrices obtenues d’être bien conditionnées. Figure 1.3 – De la gauche vers la droite, les points de collocation construits respectivement pour NP = 10, 15 et 20. 1.2.3 Maillage mixte Le maillage mixte combine les éléments finis et les points de collocations. Le principal avantage de cette méthode, comparée aux travaux [46] et [47], est qu’elle recherche la meilleure valeur des paramètres de maillage NT (paramètre de triangularisation) et NP (Paramètre des Points de collocation) pour une meilleure approximation et conditionnement des matrices de différenciation. Pour cette raison,  la nouvelle approche reste efficace, même pour les petites valeurs de NT et NP. Figure 1.4 – De gauche à droite, Les éléments finis Points de collocation pour respectivement les couples de paramètres (NT = 5, NP = 3), (NT = 5, NP = 5) et (NT = 10, NP = 3).

Formulation de schémas numériques

Dans cette section nous faisons un bref rappel sur la construction des matrices de différentiations pseudo-spectrales définies sur des domaines non réguliers. A cet effet, nous emprunterons certaines notations de [46],[47] et [49] qui ont longuement étudié cet aspect. 1.3.1 Méthode de différentiation Pseudo-spectrale [38, 39, 40, 47] L’approximation des opérateurs de différentiations par des matrices de différentiation pseudo-spectrale passe par un maillage du domaine d’étude en éléments finis et ensuite par des points de collocation générés sur lesdits éléments finis. Ces points 14 1.3 Formulation de schémas numériques de collocation constituent des valeurs particulières pour des fonctions de base associées à chaque élément fini. Ainsi nous auront les points de Gauss-Lobatto qui sont issus des polynômes de Jocobie et des points de Feketes qui sont issus des fonctions de la base de Dubiner. Nous rappellerons dans un premier temps les opérateurs de différentiations ensuite la méthode de collocation moindres carrés et enfin la méthode itérative de Denor-cell. Matrices de Différentiation Dans cette sous-section, nous rappelons les techniques développées dans [47, 38, 39, 40] qui ont longuement travaillé sur les performances de ces matrices selon la nature du domaine et du type d’équation. Tout d’abord, l’ensemble du domaine est maillé par des éléments finis triangulaires. Deuxièmement, nous définissons les points de collocation dans un triangle standard en utilisant soit les points de Fekete [44] ou les points de Gauss-Lobatto [51] et enfin, par une transformation bijective, nous transférons les points de collocation du triangle de référence à un triangle arbitraire (voir la figure 1.5). Pour être plus compréhensif, considérons le triangle de référence défini par bT = {(r, s), −1 ≤ r, s ≤ 1; r + s ≤ 0} (1.2) ainsi que la transformation bijective entre un triangle rectangle (standard), bT et un triangle quelconque T : h1 : bT → T   r s   →   x2 − x1 2 x3 − x1 2 y2 − y1 2 y3 − y1 2   ×   r s   +   x2 + x3 2 y2 + y3 2   (1.3) Les (xi , yi), i = 1, 2, 3 sont les cordonnées des sommets du triangle T. Notons que toute fonction continue sur le triangle standard bT peut être approchée par U(xbi) ∈ (r,s) (x,y) Figure 1.5 – (A gauche) Les points de Gauss-Lobatto (+) et les points de Fekete (o) representés sur le triangle de référenceTb pour N = 10. ; (A droite)Transfert des points de Fekete du triangle de référence (gauche) au triangle arbitraire (droit) pour N = 10. PN ( bT) satisfaisant à U(xbi) = d X (N) k=1 Uk × ψk(xbi), i = 1, .., d(N) (1.4) où {xbk}1≤k≤d(N) est une suite de points collocaux définie sur bT et les Uk sont les coordonnées de la fonction approchée dans la base (voir [46] pour le calcul des Uk). Appliquant les règles de dérivation dans les directions r et s on obtient : ∂rUN (r, s) = d P (N) k=1 Uk × ∂rψk(r, s), ∂sUN (r, s) = d P (N) k=1 Uk × ∂sψk(r, s) (1.5) où PN ( bT) est l’espace de polynômes de degré inférieur ou égal à N, d(N) est le nombre total de points collocaux générés dans bT. Admettons par ailleurs les 16 1.3 Formulation de schémas numériques notations matricielles suivantes : V : Vij = ψj (xbi) (matrice de Vandermonde) V r : V r ij = ∂rψj (xbi) V s : V s ij = ∂sψj (xbi) V rs : V rs ij = ∂r∂sψj (xbi) (1.6) et Ub =  U1, U2, …, Ud(N) T Ue r =  Ur(xb1), Ur(xb1), …, Ur(xbd(N)) T Ue s =  Us(xb1), Us(xb1), …, Us(xbd(N)) T Ue =  U(xb1), U(xb1), …, U(xbd(N)) T (1.7) Il faut noter que le choix des points de collocation est fait de telle sorte que la matrice de Vandermonde V soit inversible. Ce critère de selection a fait l’objet d’un algorithme développé dans [47]. Ainsi, Nous déduisons alors les matrices de différentiation d’ordre un et deux sur le triangle standard que sont : Dr = V r × V −1 Ds = V s × V −1 Drs = V rs × V −1 (1.8) de telle sorte que Ufr = Dr .Ue Ufs = Ds .Ue Ugrs = Drs .Ue (1.9) On généralise cette définition en considérant la transformation ponctuelle (1.3) et on obtient pour un triangle quelconque les matrices de différentiations de premier 17 1.3 Formulation de schémas numériques et de second ordre suivant : Dx = (c11 × V r + c21 × V s ) × V −1 Dy = (c12 × V r + c22 × V s ) × V −1 Dxx = (c 2 11V r + 2.c11.c21V rs + c 2 21.V s ).V −1 Dyy = (c 2 12V r + 2.c12.c22V rs + c 2 22.V s ).V −1 Dxy = (c12.c11)V r + (c11.c22 + c21.c12).V rs + (c22.c21).V s ).V −1 (1.10) où ci,j sont des valeurs constantes. Processus d’assemblage L’avantage d’approximer les opérateurs de différentiation par une matrice de différentiation locale (appliquée à chaque élément triangulaire) est de former une matrice diagonale, de grande taille, par bloc contenant toutes les matrices de différentiations locales. Ainsi le système d’équations aux dérivées partielles peut se réécrire sous forme d’une équation différentielle ordinaire. 1.3.2 Méthode de collocation moindres carrés Considérons le système d’équations (1.22) modélisant la dynamique de la pollution dans une eau de surface. En appliquant la méthode de discrétisation expliquée ci-dessus à cette équation, on obtient le système de différentiation ordinaire discrète suivant : dC(t) dt = ξL×C(t) − ηC(t) −µ |C| p (t) − f(t; λ) Z1 × DC(t) = Z1 × Φ1 (t) Z2 × DC(t) = Z2 × Φ2 (t) C(0) = C 0 (x) (1.11) 18 1.3 Formulation de schémas numériques où t ∈]0, T], D la matrice de différentiation du bord et : C(t) =  C(t, x1), …, C(t, xd(N)) 0 ; (1.12) f(t; λ) =  f(t, x1; λ), …, f(t, xd(N) ; λ) 0 ; (1.13) g(t; τ ) =  g(t, x1; τ ), …, g(t, xd(N) ; τ ) 0 ; (1.14) Φ1(t; τ ) =  Φ1(t, x1; τ ), …, Φ1(t, xd(N) ; τ ) 0 ; (1.15) Φ2(t; τ ) =  Φ2(t, x1; τ ), …, Φ2(t, xd(N) ; τ ) 0 ; (1.16) les xk, k = 1, …, d(N) sont les points de collocation. Zi , i = 1; 2 désigne l’opérateur discret qui identifie les points du bord du domaine Γi . L’erreur commise dans l’approximation du système continue par le système discret (1.11) est estimée par l’opérateur suivant : L (v, C) = dC(t) dt − ξL×C(t) + ηC(t) −µ |C| p (t) − f(t; λ) 2 . (1.17) Notons le vecteur des paramètres inconnus par v = (ξ, η, µ, p, λ, τ ). (1.18) Pour évaluer v nous avons besoin de données observées de C solution de l’équation (1.22) sur tout l’étendu du domaine d’étude Ω. Dans la pratique, c’est une tâche difficile d’avoir de telles données. Dans ce paragraphe, nous sommes concernés par le problème inverse suivant : 19 1.3 Formulation de schémas numériques Ayant des données collectées sur la solution de notre équation, nous voulons estimer v et la solution numérique C(t) dans l’intégralité du domaine. Pour résoudre ce problème, nous nous sommes inspirés des travaux sur la méthode des sentinelles dévéloppés par J.L. Lions [41] et A. Traore [48]. A cet effet, notons par Cobs lesdites données et Ωobs ⊂ Ω le domaine d’observation, un sous domaine de Ω (Figure 1.7) où les mesures expérimentales ont été prélevées. Nous désignons par Zobs et Zi (i = 1; 2) les matrices associées aux points de collocations du domaine d’observation respectivement du bord du domaine Γi.