Sommaire: Cours mathématiques espaces euclidiens avec exemples
I : Produit scalaire
1) Définition
2) Inégalité de Cauchy-Schwarz
3) Bases orthonormées
4) Sous–espaces orthogonaux
5) projections et symétries orthogonales
II : Automorphismes orthogonaux
1) Groupe orthogonal
2) Groupe orthogonal en dimension 2
3) Groupe orthogonal en dimension 3
4) Matrices orthogonales
5) Orientation en dimension 2
6) Orientation en dimension 3
III : Applications affines
1) Définition
2) Exemples
3) Conservation du barycentre
IV : Isométries affines
1) Définition
2) Isométries du plan
3) Isométries de l’espace
4) Similitudes
5) Sous–groupes du groupe affine
Annexe 1 : isométries laissant invariant le tétraèdre régulier
Annexe 2 : isométries laissant invariant le cube
Annexe 3 : le cercle des neufs points d’Euler
Extrait du cours mathématiques espaces euclidiens avec exemples
I : Produit scalaire
Début de partie réservée aux MPSI, PCSI, PTSI avec option mathématiques
1– Définition
DEFINITION: qui énonce que la somme des carrés des longueurs des diagonales (x + y et x – y) d’un parallélogramme (de côtés x et y) est égale à la somme des carrés des longueurs des quatre côtés.Dans la figure précédente, le parallélogramme est construit selon deux vecteurs, x de norme 5, et y de norme 10. La grande diagonale est portée par le vecteur x + y et a pour longueur 3 5 alors que la petite diagonale est portée par x – yet a pour longueur 5.
2– Inégalité de Cauchy-Schwarz
PROPOSITION: Le trinôme du second degré en t est positif ou nul pour tout t. Il ne peut donc posséder deux racines distinctes, donc son discriminant est négatif ou nul. Donc :
3– Bases orthonormées
DEFINITIONS:
i) Un vecteur x est dit unitaire ou normé si || x|| = 1.
ii) Deux vecteurs x et y sont dits orthogonaux si <x, y> = 0.
iii) Une base (e1,…,en) est dite orthogonale si les vecteurs de base sont deux à deux orthogonaux.
iv) Une base (e1 ,…,en) est dite orthonormale ou orthonormée si elle est orthogonale et si tous ses vecteurs sont normés.
On peut remarquer que si un système de vecteurs non nuls est constitué de vecteurs deux à deux orthogonaux, alors, ce système est libre car :
THEOREME DE PYTHAGORE
Il suffit de développer le carré de gauche. Tous les doubles produits de deux vecteurs distincts sont nuls puisque les vecteurs sont orthogonaux.
Il est facile de construire une base orthonormée à partir d’une base orthogonale. Il suffit pour cela de diviser chaque vecteur par sa norme pour se ramener à des vecteurs unitaires. Nous allons décrire un procédé permettant de construire une base orthogonale à partir de n’importe quelle base. Ce procédé est appelé procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt :
–Prendre ε= e
4– Sous–espaces orthogonaux
DEFINITION:
Deux sous–espaces vectoriels F et G d’un espace vectoriel euclidien sont dits orthogonaux si :
Si on est en dimension finie, il suffit de vérifier que les vecteurs d’une base de F sont orthogonaux aux vecteurs d’une base de G. Par ailleurs, F et G sont en somme directe. En effet, soit x élément de F ∩G.
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