Croissance Lente de Fissures : de la fragilité à la complexité

 Confrontation des résultats avec ceux du Disordered Fiber Bundle Model thermiquement activé

Les résultats présentés dans ce chapitre diffèrent sensiblement de ceux établis par plusieurs travaux théoriques antérieurs traitant du Disordered Fiber Bundle Model à une dimension (1d-DFBM) [39, 40, 44, 45]. Ces modèles décrivent l’influence du désordre en seuil de rupture sur un processus de fracturation par activation thermique dans un milieu fragile tout comme le modèle présenté ici. Dans la version originale du modèle de Fiber Bundle [46], une série de fibres élastiques et fragiles parallèles connectées à deux barres rigides sont mises sous contrainte au travers de ces barres. A chaque instant, toutes les fibres qui n’ont pas été rompues sont soumises à la même contrainte, f = F/(N − n), où N est le nombre initial de fibres, n est le nombre de fibres cassées et F la force totale appliquée sur les barres. Les travaux qui nous intéressent ici concernent le cas particulier de la rupture souscritique du Fiber Bundle qui correspond à la situation où la force appliquée est telle qu’initialement la contrainte f = f0 = F/N sur chaque fibre est inférieure à la ténacité de celle-ci fc. Des fluctuations thermiques locales de la contrainte permettent alors d’activer la nucléation et la croissance de fissures dans le Fiber Bundle. On s’intéresse à l’évolution au cours du temps du nombre de fibres qui ont été rompues n(t) ainsi qu’au temps de rupture total. Il s’avère alors qu’aussi longtemps que la fraction de fibres cassées est inférieure à 50% [40], l’introduction d’une distribution gaussienne spatialement gelée dans les seuils de rupture fc accélère la rupture. Le taux de rupture |n˙(t)| augmente alors avec la variance Td de la distribution des seuils. Cette accélération de la dynamique de rupture intervient en pratique à travers l’introduction d’une température effective plus grande que la température thermodynamique dans le facteur de Boltzmann de la loi dynamique. Roux [39] prévoit une température effective de : Teff = T + Td (2.25) pour le temps de rupture de la première fibre et Ciliberto [44] une température effective de : Teff = T  1 − q πkBTd 2 1 1−f0 2 (2.26) pour le temps de rupture total du Fiber Bundle. On obtient ainsi un résultat parfaitement opposé à celui du cas de la croissance d’une fissure macroscopique pour lequel la température effective était plus faible que  la température thermodynamique et la dynamique ralentie. On peut comprendre assez facilement ce résultat ainsi que son opposition avec celui présenté dans ce chapitre. En effet, dans le cas du Fiber Bundle, le processus de rupture démarre par les fibres les plus faibles et affecte progressivement les plus tenaces. Ainsi, la distribution des seuils de rupture dans l’échantillon évolue dans le temps. Elle est tronquée à partir du bas par un front qui se déplace des petits vers les grands seuils de rupture avec le temps. Comme la rupture est susceptible d’avoir lieu partout dans le système, la dynamique de rupture est globale et le taux d’endommagement φ˙ est donné par le nombre de fibres cassées à chaque pas de temps dn : φ˙ = 1 N hdni des dt . (2.27) Ici, c’est ce nombre de fibres rompues à chaque pas de temps dn qui est la variable statistique. Ainsi, l’effet du désordre est obtenu en pondérant le taux d’endommagement du matériau par la distribution des seuils de rupture. Ce n’est pas du tout le même processus qui intervient dans le cas de la croissance thermiquement activée d’une fissure macroscopique unique se propageant dans un milieu désordonné. Alors, la probabilité de casser à la pointe de la fissure est extrêmement dominante à cause de la concentration des contraintes et ceci même pour un grand désordre. La rupture devient un processus local et on doit à présent pondérer par le désordre le temps que met la fibre à la pointe pour casser et donc l’inverse du taux d’endommagement : 1 φ˙ ∝ dt dℓ = htwides 2λ (2.28) car c’est le temps d’attente qui est ici la variable statistique. C’est bien le fait que dans un cas (Fiber Bundle) la distribution des seuils de rupture pondère le taux d’endommagement et dans l’autre (fissure macroscopique) l’inverse du taux d’endommagement qui explique les influences complètement opposées de l’introduction de désordre dans les seuils de rupture sur la fracturation thermiquement activée (pour le Fiber Bundle le désordre accélère le processus de rupture et pour le cas d’une fissure macroscopique le ralentit). 2.6 Analogie entre les résultats obtenus et les travaux de J. Kierfeld et V.M. Vinokur et de J.-P. Bouchaud En mai 2006, Kierfeld et Vinokur ont publié un article intitulé “Slow crack growth propagation in heterogeneous materials » [47] qui traite d’un problème parfaitement similaire à celui qui nous intéresse dans ce chapitre. “[Thermally] activated dynamics of crack […] propagation in a two-dimensional heterogeneous material containing quenched randomly distributed defects are studied theoretically”. Ils utilisent cependant dans leur travail une approche analytique très différente de la nôtre. Ainsi, ils dérivent une équation de Langevin décrivant le mouvement de la pointe de la fissure : η ˙ℓ = G(ℓ, ˙ℓ) − γ − fd(ℓ) + ζ(t) (2.29)  qui fait intervenir : – la dissipation visqueuse à la pointe de la fissure η ˙ℓ qui prend en compte les pertes thermiques lors des déformations plastiques, – le traditionnel taux de restitution de l’énergie élastique dynamique G(ℓ, ˙ℓ) ≃ (1 − ˙ℓ/cr)G(ℓ) avec cr la vitesse des ondes de Rayleigh, – l’énergie de surface de la fracture γ, – une force aléatoire fd(x) qui permet de rendre compte du désordre dans le matériau, – une force aléatoire motrice de la croissance ζ(t), due aux fluctuations thermiques qui vérifie hζ(t)it = 0 et hζ(t)ζ(t ′ )it = 2ηT δ(t − t ′ ). La résolution de cette équation à travers une équation de Fokker-Planck sur la probabilité P(ℓ, t) permet d’accéder à la dynamique de la rupture et en particulier au temps total de rupture du matériau. Différentes distributions pour le désordre fd(x) sont utilisées mais une en particulier correspond exactement à la nôtre : un bruit gaussien avec une corrélation spatiale à une certaine échelle caractéristique du matériau λ : hfd(x)ix = 0 et hfd(x)fd(x ′ )ix = ∆0 δλ(x − x ′ ). Il a été montré dans [48] que cette situation est totalement équivalente à un solide avec des seuils de rupture distribués normalement. Kierfeld montre alors en particulier que lorsque la température thermodynamique devient inférieure à la variance du désordre ∆0, i.e. ηT cR < ∆0, la croissance de la fissure est complètement bloquée et le temps de rupture devient infini. On observe à ce point une similarité frappante entre le résultat de Kierfeld et le nôtre : il existe un seuil en température proportionnel à la variance du désordre du matériau en dessous duquel la croissance par activation thermique d’une fissure est complètement bloquée. De plus, comme dans nos conclusions, la croissance est ralentie par le désordre lorsque l’on se place au dessus du seuil. Il est important de remarquer ici que l’équation du mouvement proposée par Kierfeld et Vinokur est très proche de celle utilisée par J.-P. Bouchaud [49] pour décrire le mouvement suramorti d’une particule dans un potentiel de désordre Ed(x) à une dimension. D’autre part, les résultats que nous avons obtenus dans notre modèle de croissance de fissure prédisant une loi super-Arrhenius pour le temps de rupture sont très similaires aux résultats issus du modèle de piégeage introduit par J.-P. Bouchaud [43] pour décrire la dynamique de relaxation des systèmes vitreux.

Discussion de l’hypothèse de croissance en ligne droite

Dans notre analyse, on a supposé que la fissure grandissait selon une ligne droite bien qu’expérimentalement les fronts de fissure dans les matériaux hétérogènes sont rugueux. Cette hypothèse est-elle pertinente pour décrire la croissance de fissure dans les milieux hétérogènes ? Deux points de vue peuvent être mis en avant. On peut penser que la rugosité est due au fait que la fissure, à chaque instant, croît dans la direction où le milieu est le plus faible. On peut alors parlé de croissance selon le chemin le plus faible. Dans ce cas, la fissure, pendant sa croissance, ne va pas subir la distribution de seuils de rupture intrinsèque au matériau, mais seulement 48 Chapitre 2. Croissance sous-critique dans un matériau désordonné une partie de cette distribution qui correspond principalement aux seuils les plus faibles. Alors, la distribution qui doit être utilisée dans l’équation 2.14 n’est pas la distribution de seuils de rupture intrinsèque au matériau et les calculs effectués dans ce chapitre semblent ne pas être pertinents. Mais, on peut aussi penser que la croissance de la fissure intervient dans la direction où l’intensification des contraintes est la plus grande à la pointe de la fissure. Cette direction dépend de la géométrie du système (forme de la fissure) ainsi que de l’hétérogénéité du matériau au voisinage de la pointe de la fissure. On peut dans ce cas là avoir le critère suivant de croissance : statistiquement, plus la contrainte est grande, plus la probabilité de casser dans la direction correspondante est grande. Cette idée est utilisée dans des travaux théoriques et expérimentaux récents [50, 51]. Dans ce cadre où c’est la distribution de la contrainte à la pointe de la fissure qui contrôle la rugosité, il est raisonnable de considérer que, en moyenne statistique, la totalité de la distribution de seuils de rupture intrinsèque au matériau est rencontrée lors de la croissance de la fissure. Ce type de croissance n’est pas incompatible avec la rugosité du front de rupture. En effet, les hétérogénéités structurelles du matériau à la pointe de la fissure ainsi que la forme de la fissure créent un champ de contrainte complexe. Ainsi, la plus grande contrainte n’est pas nécessairement dans la direction principale de la fissure de telle manière que la rugosité peut apparaître même si la fissure grandit toujours dans la direction de contrainte maximale. La réalité expérimentale est probablement un compromis entre ces deux mécanismes en compétition : la croissance gouvernée par l’intensification des contraintes et la croissance qui suit le chemin à travers les régions les plus faibles du matériau. Dans le cas d’un matériau avec une structure mésoscopique, comme le papier, la pointe de la fissure est constituée d’un ensemble fini de fibres de telle manière que la fissure ne peut croître que dans un nombre fini de directions. La détermination de la direction de croissance est clairement issue de la compétition entre l’intensification des contraintes sur chaque fibre à la pointe et leur ténacité. Des simulations numériques ont été réalisées pour illustrer une situation où la fissure est autorisée à choisir entre un nombre fini de directions de croissance à chaque pas. Nous avons modélisé un milieu élastique à deux dimensions par un réseau de ressorts. Plus de détails sur ces simulations sont donnés dans [33] et [52]. Contrairement aux précédents travaux effectués avec ce code de simulation, nous avons utilisé ici un réseau hexagonal de ressorts (cf. figure 2.9) plutôt qu’un réseau carré. Le code initialement programmé en language Maltab R a été transposé en C pour pouvoir manipuler des objets de taille beaucoup plus grandes (réseau de 400 × 400 soit matrices de 4002 × 4002 ). Le désordre a été introduit par l’utilisation d’une distribution normale pour les seuils de rupture. On constate sur la figure 2.9 que la fissure peut en fait choisir, à chaque pas de la croissance, entre trois directions notées directions haute, droite et basse. Sur la figure 2.10 est présenté un front de fissure typique obtenu par croissance thermiquement activée. On peut remarquer que la fissure croît presque selon une ligne droite. En fait, l’intensification des contraintes sur les ressorts hauts et bas est seulement de 80% celle du ressort droit. Ainsi, la fissure va croître à travers les ressorts haut et bas uniquement si la ténacité du ressort  direction haute direction basse direction droite fissure σ Fig. 2.9 – Géométrie du réseau hexagonal de ressorts utilisé pour les simulations numériques avec une fissure qui n’est pas droite. droit est exceptionnellement grande. Cette possibilité peu probable aboutit à des évenements rares et on peut dire que la fissure est confrontée en moyenne statistique à la quasi-totalité la distribution de seuils de rupture intrinsèque au matériau tronquée de ces plus grands seuils. Dans cette simulation, le chemin suivi par la fissure est principalement déterminé par l’intensification des contraintes. Expérimentalement, ℓi Fig. 2.10 – Image d’une fissure créée à partir d’une fissure initiale de longueur ℓi en simulant l’activation thermique dans un réseau hexagonal de ressorts. le nombre de fibres se rejoignant à la pointe d’une fissure peut être plus grand que trois de telle manière que les variations d’intensification des contraintes entre les fibres sont probablement moins abruptes que dans la simulation. Ainsi, aucune conclusion définitive sur le mécanisme de croissance ne peut être donnée car, selon le matériau considéré, un des deux mécanismes en compétition (croissance régie par l’intensification des contraintes et croissance selon le chemin de plus faible ténacité) va dominer. Les résultats présentés dans ce chapitre ont du sens dans le cas où le chemin suivi par la fissure est déterminé principalement par l’intensification des contraintes. 

Des expériences pour tester la loi Super-Arrhenius ?

La pertinence de la loi Super-Arrhenius décrivant la croissance lente de fissure dans les matériaux désordonnés n’a pour l’instant aucun support expérimental. Le défi à relever pour espérer vérifier cette loi est la fabrication d’un système dont on peut contrôler le désordre. Partant des expériences déjà réalisées dans les feuilles de papier, une idée simple est alors d’endommager les échantillons pour en modifier localement et de manière contrôlée la résistance à la rupture. Dans ce but, une machine permettant de percer des trous en des positions très précises des feuilles de papier a été élaborée au laboratoire.

La machine à percer les échantillons

La machine permettant de percer les échantillons de papier est présentée sur la figure 2.11. Ces échantillons (24cm par 21cm) sont enroulés par chacune de leur extrémités sur des rouleaux solidaires d’un plateau fixé sur une platine de translation (Micro Controle UE42) qui permet d’imposer des déplacements avec une précision de 1 micromètres. Les trous sont réalisés grâce à des aiguilles calibrées de différents diamètres (de 250µm à 1mm) fixées sur un vibreur qui permet de maîtriser leur descente à travers la feuille. Le vibreur est alimenté par un générateur de fonction Agilent 33220A. Un ordinateur qui contrôle la platine de translation et le générateur nous permet alors d’indenter dans la feuille de papier une ligne de trous en des positions parfaitement contrôlées. Sur la figure 2.12, on présente un élément d’une feuille de papier ayant été percée de part en part grâce à cette machine. 2.8.2 Principe des expériences L’idée de départ des expériences est de réaliser une ligne de trous de part en part de l’échantillon de papier sur l’axe sur lequel les fissures sont habituellement initiées. Expérimentalement, on vérifie que dans cette configuration la fissure grandit bien selon la ligne de trous. La situation de référence, correspondant, dans le modèle, au cas homogène, est alors constituée par un échantillon pourvu de trous espacés de manière régulière. Si les trous sont réalisés à une échelle suffisamment raisonnable par rapport à la taille des fibres de papier (en pratique quelques fois la taille des fibres égale à 50µm), on peut facilement concevoir que le seuil de rupture effectif de l’échantillon sera différent de celui intrinsèque au matériau σc selon : σ 0 c = σc δ0 δ0 + d (2.30) où d est la distance entre deux trous succesifs et δ0 le diamètre des trous. Ce nouveau seuil de rupture devenant la référence, on peut alors introduire du désordre sur les intervalles entre les trous : δf = δ0 + fluctuation. On imagine ainsi pouvoir contrôler 8Travail de conception et fabrication réalisés par Marc Moulin. 2.8. Des expériences pour tester la loi Super-Arrhenius ? 51 Aiguille Vibreur Platine de translation Echantillon (a) (b) Fig. 2.11 – Schéma (a) et photographie (b) de la machine à percer les échantillons de papier. Fig. 2.12 – Feuille de papier trouée de part en part sur une ligne. 52 Chapitre 2. Croissance sous-critique dans un matériau désordonné les fluctuations du seuil de rupture effectif du matériau : σ eff c = σc δf δf + d (2.31) qui va fluctuer autour de σ 0 c . En choisissant bien la distribution des intervalles entre les trous, on peut retrouver de manière effective à une échelle mésoscopique une distribution de seuil de rupture gaussienne pour le matériau. Il semble alors qu’il soit possible de créer des échantillons avec un désordre maitrisé et ainsi de tester sur un matériau modèle la pertinence de la loi de croissance Super-Arrhenius. 2.9 Conclusion En faisant l’hypothèse de l’existence de fluctuations thermiques de la contrainte locale, nous avons pu modéliser la croissance sous-critique d’une fissure dans un matériau hétérogène. L’influence du désordre du matériau sur la croissance d’une fissure dans un solide à deux dimensions élastique et fragile est en fait prise en compte par l’introduction d’une distribution spatialement gelée de seuil local de rupture. Des prédictions analytiques pour la vitesse de croissance de la fissure et la durée de vie de l’échantillon ont été dérivées puis confirmées par des calculs numériques directs. La conclusion est que la croissance thermiquement activée de la fissure est inhibée par le désordre : la vitesse décroît et le temps de rupture croît avec la variance du désordre θd qui est interprétée comme une température de désordre. L’influence du désordre est en fait simplement pris en compte par l’introduction d’une température effective θeff = θ − θd, en place de la température thermodynamique, pour des températures supérieures à θd. Ainsi, les temps de rupture suivent une loi dite Super-Arrhenius. De nouvelles investigations expérimentales doivent être conduites pour vérifier la pertinence de ce type de loi.