Forces et moments des rotors

Tenant compte des cadres de référence fondamentaux tirant dans les équations (3.15) et (2.44) à (2.46), en association avec la figure 3.27, nous notons que les forces de moyeu peuvent être écrites comme suit : 𝑋 = 𝑀𝑎(𝑢̇ − 𝑟𝑣 + 𝑞𝑤) (3.16) 𝑌 = 𝑀𝑎(𝑣̇ − 𝑝𝑤 + 𝑟𝑢) 𝑍 = 𝑀𝑎(𝑤̇ − 𝑞𝑢 + 𝑝𝑣) 𝑋ℎ𝑤 = ∑∫{−(𝑓𝑧 − 𝑚 𝑎𝑧𝑏)𝑖 β𝑖 𝑐𝑜𝑠𝜓𝑖 − (𝑓𝑦 − 𝑚 𝑎𝑦𝑏)𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜓𝑖 + 𝑚 𝑎𝑥𝑏𝑐𝑜𝑠𝜓𝑖 }𝑑𝑟𝑏 𝑅 0 𝑁𝑏 𝑖=1 (3.17) Forces et moments agissant sur un moyeu de rotor 𝑌ℎ𝑤 = ∑∫{(𝑓𝑧 − 𝑚 𝑎𝑧)𝑖 β𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜓𝑖 − (𝑓𝑦 − 𝑚 𝑎𝑦)𝑖 𝑐𝑜𝑠𝜓𝑖 − 𝑚 𝑎𝑥 𝑠𝑖𝑛𝜓𝑖 }𝑑𝑟 𝑅 0 𝑁𝑏 𝑖=1 (3.18) 𝑍ℎ𝑤 = ∑∫{(𝑓𝑧 − 𝑚 𝑎𝑧𝑏 + 𝑚 𝑎𝑥𝑏)𝑖 }𝑑𝑟 𝑅 0 𝑁𝑏 𝑖=1 (3.19) Les expressions pour les accélérations inertielles de l’élément de lames ont tirées de la section précédente. Le chargement aérodynamique est approché par un ascenseur simple et paire de traînée, avec un angle global d’entrée supposé petit, de sorte que [3.08]: 𝑓𝑧 = −𝑙 𝑐𝑜𝑠∅ − 𝑑 𝑠𝑖𝑛∅ ≈ −𝑙 − 𝑑∅ (3.20) 𝑓𝑦 = 𝑑 𝑐𝑜𝑠∅ − 𝑙 𝑠𝑖𝑛∅ ≈ 𝑑 − 𝑙∅ (3.21) 107 Après avoir effectué les intégrations analytiquement en utilisant les approximations dérivées dans les équations (3.17) à (3.19), nous pouvons écrire les forces sous forme de coefficient comme : ( 2𝐶𝑥𝑤 𝑎0𝑠 ) = 𝑋ℎ𝑤 1 2 𝜌(Ω𝑅) 2 𝜋 𝑅2 𝑠 𝑎0 = 1 𝑁𝑏 ∑𝐹 (1) (𝜓𝑖) 𝑁𝑏 𝑖=1 β𝑖 𝑐𝑜𝑠𝜓𝑖 + 𝐹 (2) (𝜓𝑖)𝑠𝑖𝑛𝜓𝑖 (3.22) ( 2𝐶𝑦𝑤 𝑎0𝑠 ) = 𝑌ℎ𝑤 1 2 𝜌(Ω𝑅) 2 𝜋 𝑅2 𝑠 𝑎0 = 1 𝑁𝑏 ∑−𝐹 (1) (𝜓𝑖) 𝑁𝑏 𝑖=1 β𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜓𝑖 + 𝐹 (2) (𝜓𝑖 )𝑐𝑜𝑠𝜓𝑖 (3.23) ( 2𝐶𝑧𝑤 𝑎0𝑠 ) = 𝑍ℎ𝑤 1 2 𝜌(Ω𝑅) 2 𝜋 𝑅2 𝑠 𝑎0 = 1 𝑁𝑏 ∑𝐹 (1) (𝜓𝑖) 𝑁𝑏 𝑖=1 = −( 2 𝐶𝑇 𝑎0 𝑠 ) (3.24) Où 𝐹 (1) (𝜓𝑖) = − ∫{𝑈̅𝑇 2𝜃𝑖 + 𝑈̅𝑃𝑈̅𝑇 }𝑑𝑟𝑏̅ 1 0 (3.25) 𝐹 (2) (𝜓𝑖) = − ∫ {𝑈̅𝑃𝑈̅𝑇𝜃𝑖 + 𝑈̅𝑃 2 − 𝛿𝑖𝑈̅𝑇 2 𝑎0 } 𝑑𝑟𝑏̅ 1 0 (3.26) Dans le plan de la composante de la force de traînée, le rotor de solidités est défini de la manière suivante : 𝑠 = 𝑁𝑏 𝑐 𝜋𝑅 (3.27) D’après les équations (3.22) à (3.26), les fonctions F peuvent être étendues pour donner les expressions suivantes : 𝐹 (1) (𝜓) = ( 1 3 + 𝜇 𝑠𝑖𝑛𝜓 + 𝜇 2 𝑠𝑖𝑛2𝜓) 𝜃𝑝 + ( 1 4 + 2 3 𝜇 𝑠𝑖𝑛𝜓 + 1 2 𝜇 2 𝑠𝑖𝑛2𝜓) 𝜃𝑡𝑤 + ( 1 3 + 𝜇 𝑠𝑖𝑛𝜓 2 ) (𝜔̅𝑦 − 𝜆1 − 𝛽 ′ ) + ( 1 2 + 𝜇 𝑠𝑖𝑛𝜓) (𝜇𝑧 − 𝜆0 − 𝛽𝜇 𝑐𝑜𝑠𝜓) (3.28) 108 𝐹 (2) (𝜓) = {( 1 3 + 1 2 𝜇 𝑠𝑖𝑛𝜓) (𝜔̅𝑦 − 𝜆1 − 𝛽 ′ ) + ( 1 2 + 𝜇 𝑠𝑖𝑛𝜓) (𝜇𝑧 − 𝜆0 − 𝛽𝜇 𝑐𝑜𝑠𝜓)} 𝜃𝑝 + {( 1 4 + 𝜇 𝑠𝑖𝑛𝜓 3 ) (𝜔̅𝑦 − 𝜆1 − 𝛽 ′ ) + ( 1 3 + 𝜇 𝑠𝑖𝑛𝜓 2 ) (𝜇𝑧 − 𝜆0 − 𝛽𝜇 𝑐𝑜𝑠𝜓)} 𝜃𝑡𝑤 + (𝜇𝑧 − 𝜆0 − 𝛽𝜇 𝑐𝑜𝑠𝜓) 2 + (𝜇𝑧 − 𝜆0 − 𝛽𝜇 𝑐𝑜𝑠𝜓)(𝜔̅𝑦 − 𝜆1 − 𝛽 ′ ) + (𝜔̅𝑦 − 𝜆1 − 𝛽 ′ ) 2 3 − 𝛿 𝑎0 ( 1 3 + 𝜇 𝑠𝑖𝑛𝜓 + 𝜇 2 𝑠𝑖𝑛2𝜓) (3.29) Cette paire de forces normales dans le plan va produire des charges vibratoires (c’est à dire, les harmoniques de Régime du rotor) et quasi-stable au niveau du moyeu. Les composants quasistationnaires dans le système d’axes hub-vent sont d’un intérêt principal dans la dynamique de volet peuvent être obtenus en augmentant les charges dans le système de rotation, donnée par les équations (3.27) et (3.28) jusqu’au second harmonique. Ainsi : 𝐹 (1) (𝜓) = 𝐹0 (1) + 𝐹1𝑐 (1) 𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝐹1𝑠 (1) 𝑠𝑖𝑛𝜓 + 𝐹2𝑐 (1) 𝑐𝑜𝑠2𝜓 + 𝐹2𝑠 (1) 𝑠𝑖𝑛2𝜓 (3.30) 𝐹 (2) (𝜓) = 𝐹0 (2) + 𝐹1𝑐 (2) 𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝐹1𝑠 (2) 𝑠𝑖𝑛𝜓 + 𝐹2𝑐 (2) 𝑐𝑜𝑠2𝜓 + 𝐹2𝑠 (2) 𝑠𝑖𝑛2𝜓 (3.31) En utilisant les équations (3.30) à (3.31), nous pouvons écrire les coefficients de force du moyeu : ( 2𝐶𝑋𝑊 𝑎0𝑠 ) = ( 𝐹0 (1) 2 + 𝐹2𝑐 (1) 4 ) 𝛽1𝑐 + 𝐹1𝑐 (1) 2 𝛽0 + 𝐹2𝑠 (1) 4 𝛽1𝑠 + 𝐹1𝑠 (1) 2 (3.32) ( 2𝐶𝑌𝑊 𝑎0𝑠 ) = ( 𝐹0 (1) 2 + 𝐹2𝑐 (1) 4 ) 𝛽1𝑠 − 𝐹1𝑠 (1) 2 𝛽0 − 𝐹2𝑠 (1) 4 𝛽1𝑐 + 𝐹1𝑐 (1) 2 (3.33) ( 2𝐶𝑍𝑊 𝑎0𝑠 ) = − ( 2𝐶𝑇 𝑎0𝑠 ) = −𝐹0 (1) (3.34) 109 Où les coefficients harmoniques sont donnés par les expressions [3.09]: 𝐹0 (1) = 𝜃0 ( 1 3 + 𝜇 2 2 ) + 𝜇 2 (𝜃1𝑠𝑤 + 𝑃̅ ℎ𝑤 2 ) + ( 𝜇2 − 𝜆0 2 ) + 1 4 (1 + 𝜇 2 )𝜃𝑡𝑤 (3.35) 𝐹1𝑠 (1) = ( 𝛼1𝑠𝑤 3 + 𝜇 (𝜃0 + 𝜇𝑧 − 𝜆0 + 2 3 𝜃𝑡𝑤)) (3.36) 𝐹1𝑐 (1) = 𝛼𝑐𝑤 3 − 𝜇𝛽0 2 (3.37) 𝐹2𝑠 (1) = 𝜇 2 { 𝛼1𝑐𝑤 2 + 𝜃1𝑐𝑤 − 𝛽1𝑠𝑤 2 − 𝜇𝛽0} (3.38) 𝐹2𝑐 (1) = − 𝜇 2 { 𝛼1𝑠𝑤 2 + 𝜃1𝑠𝑤 − 𝛽1𝑐𝑤 2 + 𝜇 (𝜃0 + 𝜃𝑡𝑤 2 )} (3.39) 𝐹1𝑠 (2) = 𝜇 2 2 𝛽0𝛽1𝑠𝑤 + (𝜇𝑧 − 𝜆0 − 𝜇 4 𝛽1𝑐𝑤) (𝛼1𝑠𝑤 − 𝜃1𝑠𝑤) − 𝜇 4 𝛽1𝑠𝑤(𝛼1𝑐𝑤 − 𝜃1𝑐𝑤) + 𝜃0 ( 𝛼1𝑠𝑤 − 𝜃1𝑠𝑤 3 + 𝜇(𝜇𝑧 − 𝜆0 ) − 𝜇 2 4 𝛽1𝑐𝑤) + ( 𝛼1𝑠𝑤 − 𝜃1𝑠𝑤 4 + 𝜇 2 (𝜇𝑧 − 𝜆0 − 𝛽1𝑐𝑤𝜇 4 )) 𝜃𝑡𝑤 + 𝜃1𝑠𝑤 ( 𝜇𝑧 − 𝜆0 2 + 𝜇 ( 3 8 (𝑝ℎ̅𝑤 − 𝜆1𝑠𝑤) + 𝛽1𝑐𝑤 4 )) + 𝜇 4 𝜃1𝑐𝑤 ( 𝑞̅ℎ𝑤 − 𝜆𝑙𝑐𝑤 2 − 𝛽1𝑠𝑤 − 𝜇𝛽0) − 𝛿𝜇 𝑎0 (3.40) 𝐹1𝑐 (2) = (𝛼1𝑐𝑤 − 𝜃1𝑐𝑤 − 2𝛽0𝜇) (𝜇𝑧 − 𝜆0 − 4 3 𝜇𝛽1𝑐𝑤) − 𝜇 4 𝛽1𝑠𝑤(𝛼1𝑠𝑤 − 𝜃1𝑠𝑤) + 𝜃0 ( 𝛼1𝑐𝑤 − 𝜃1𝑐𝑤 3 − 𝜇 2 (𝛽0 + 𝜇 2 𝛽1𝑠𝑤)) + 𝜃𝑡𝑤 ( 𝛼1𝑐𝑤 − 𝜃1𝑐𝑤 4 − 𝜇 ( 𝛽0 3 + 𝜇 8 𝛽1𝑠𝑤)) + 𝜃1𝑐𝑤 ( 𝜇𝑧 − 𝜆0 2 + 𝜇 4 ( 𝑝ℎ̅𝑤 − 𝜆1𝑠𝑤 2 − 𝛽1𝑐𝑤)) + 𝜇 4 𝜃1𝑠𝑤 ( 𝑞̅ℎ𝑤 − 𝜆1𝑐𝑤 2 − 𝛽1𝑠𝑤 − 𝜇𝛽0) (3.41) Les angles d’incidence de la lame efficaces sont donnés par les expressions suivantes : 𝛼1𝑠𝑤 = 𝑝ℎ̅𝑤 − 𝜆1𝑠𝑤 + 𝛽1𝑐𝑤 + 𝜃1𝑠𝑤 (3.42) 𝛼1𝑐𝑤 = 𝑞̅ℎ𝑤 − 𝜆1𝑐𝑤 + 𝛽1𝑠𝑤 + 𝜃1𝑐𝑤 (3.43) 110 3.7 Modélisation du rotor de queue de l’hélicoptère Le rotor de queue permet donc de contrôler le lacet qui fournit une force de poussée sur le côté du rotor de queue et produit un moment de lacet autour de l’arbre du rotor principal. En appliquant la force externe 𝐹𝑦 et les moments L et M, l’équation du rotor de queue est déterminée par l’expression : ( 2𝐶𝑇𝑇 𝑎0𝑇𝑠𝑇 ) = 1 3 𝜃0𝑇 + 𝐾3 ( 𝜂𝛽 𝜆𝛽 2 ) 𝑇 4 3 (𝜇𝑧𝑇 − 𝜆0𝑇) 1 − 𝐾3 ( 𝜂𝛽 𝜆𝛽 2 ) 𝑇 (1 + 𝜇𝑇 2 ) (1 + 3 2 𝜇𝑇 2 ) + ( 𝜇𝑧𝑇 − 𝜆0𝑇 2 ) (3.44) L’entrée de commande du rotor de queue est l’angle 0T qui exprime par la relation : 𝜃𝑂𝑇 = 𝑔𝑡0 + 𝑔𝑡1(𝑔𝑐𝑡0(1 − 𝜂𝑝) + (1 − 2𝑔𝑐𝑡0 )𝜂𝐶) + 𝑘𝜓(𝜓 − 𝜓𝐻) + 𝑘𝑟𝑟 1 + 𝜏𝑐3𝑠 (3.45)  𝑔𝑡0, 𝑔𝑡1 sont des constantes de pédales ;  𝑔𝑐𝑡0 est la constante du câble de pédale. Angle de commande du rotor de queue 111 Croquis de sous-système de rotor de queue 3.8 Modélisation de la vitesse de rotation du rotor principal de l’hélicoptère La modélisation de la vitesse de rotation du rotor principal qui est gouverné par le modèle dynamique du moteur se fait de la façon suivante : Ω̇ = 1 𝐼𝑅 (𝑄𝐸 − 𝑄𝑅 − 𝐺𝑇𝑄𝑇 ) + 𝑟̇ (3.46) 𝑄𝐸 = −𝐾3(Ω − Ω𝑖) (3.47) 𝑄𝑅 = 1 2 𝜌(Ω𝑅) 2Π𝑅 3 𝑠𝑎0 ( 2𝐶𝑄 𝑎0𝑠 ) (3.48) 𝑄𝑅 = 1 2 𝜌(Ω𝑇𝑅𝑇) 2Π𝑅𝑇 3 𝑠𝑇𝑎0𝑇 ( 2𝐶𝑄𝑇 𝑎0𝑇𝑠𝑇 ) (3.49) 𝑄𝑅 = 1 2 𝜌(Ω𝑇𝑅𝑇) 2Π𝑅𝑇 3 𝑠𝑇𝑎0𝑇 ( 2𝐶𝑄𝑇 𝑎0𝑇𝑠𝑇 ) (3.50) Dans le domaine temporel, le modèle mathématique du rotor est une équation différentielle linéaire à coefficient constant qui s’écrit : 𝑄𝐸 ̈ = 1 𝜏𝑒1𝜏𝑒3 {−(𝜏𝑒1 + 𝜏𝑒3 )𝑄𝐸 ̇ − 𝑄𝐸 + 𝐾3(Ω − Ω𝑖 + 𝜏𝑒2Ω) ̇ } (3.51)  𝑄𝐸, 𝑄𝑅 et 𝑄𝑇 sont respectivement le couple total du moteur, le couple du rotor principal et le couple du rotor de queue ;  𝐺𝑇 est le rapport de vitesse du rotor de queue ;  𝐼𝑅 est le moment d’inertie du système tournant ;  Ω𝑖 est la vitesse du rotor tournant au ralenti vitesse ;  𝐾3 est le gain de la vitesse du rotor. 112 Pour le rotor principal, les angles de battements sont supposés de faibles variations et l’accélération globale du fuselage et les effets de poids des lames sont négligés. Le taux de lacet et le taux de dérapage sont supposés faibles par rapport à la vitesse angulaire du rotor en . En particulier, les hypothèses concernant l’aérodynamique de pales de rotor permettent d’intégrer la charge aérodynamique analytique. Ainsi les hypothèses pour les expressions des forces et des moments des rotors sont les suivantes :  Les effets de compressibilité sont ignorés ;  Les effets des flux de décrochage sont ignorés ;  La répartition des vitesses induites au disque du rotor sont linéaires lors des variations longitudinales et latérales ;  Les coupleurs de pas de la pâle et la dynamique de décalage en mouvement de battement sont ignorés ;  L’interaction des modes d’inclinaison avec le mode de fuselage est négligée. L’implémentation de la composante du rotor de queue est basée sur un procédé théorique simplifié lors de la détermination de la caractéristique du rotor de sustentation en vol en palier. Les coordonnées du système de rotor comprennent 𝑋 pour le flux d’air à jet libre et 𝑍 pour la direction de la poussée. Les couples de la poussée du rotor sont calculés en fonction du facteur de perte de la lame.