Données numériques de Hodge et convolution intermédiaire

Dans un troisième temps, nous étudierons le comportement des données numériques de Hodge par convolution intermédiaire additive par un module de Kummer. Comme dans le chapitre 4 sans filtration de Hodge, de nombreux résultats ont été obtenus dans cette direction par Dettweiler et Sabbah [DS13, §3.1]. Seul le comportement des données numériques locales de Hodge cycles proches à l’infini n’a pas été explicité par Dettweiler et Sabbah, dans la mesure où ces derniers font l’hypothèse d’une monodromie scalaire à l’infini, leur objectif étant d’appliquer l’algorithme de Katz qui fait cette hypothèse. Nous détaillerons ce résultat dans le théorème 6.3.1, en reprenant l’approche et les idées de la preuve du théorème 4.2.5. Nous compléterons ensuite les résultats de Dettweiler- Sabbah en donnant également des formules pour les invariants locaux h Dans un quatrième et dernier temps, nous expliciterons le comportement des données numériques de Hodge par convolution intermédiaire multiplicative par un module de Kummer. Pour cela, nous utiliserons là encore la formule obtenue à la proposition 2.8.1, ce qui nous permettra de transposer certains des résultats additifs au cadre multiplicatif.(M ) de vecteurs primitifs, qui sont munis d’une structure de Hodge polarisable d’après [Sch73]. On définit alors les données numériques locales de Hodge cycles proches par .

On souhaite maintenant expliciter le comportement des données numériques locales de Hodge cycles proches à l’infini par convolution intermédiaire additive. Ce comportement n’est pas explicité par Dett- weiler et Sabbah dans [DS13], dans la mesure où ces derniers font l’hypothèse d’une monodromie scalaire à l’infini, leur objectif étant d’appliquer l’algorithme de Katz qui fait cette hypothèse. Les principaux ar- guments de la preuve seront la dégénerescence de la suite sprectrale de Hodge et l’utilisation du théorème de Riemann-Roch. ) ∈ C. De plus, l’hypothèse de monodromie scalaire à l’infini faite dans le théorème 3.1.2 de [DS13] ne sert que pour les parties (1) et (3) du théorème, nous permettant bien d’appliquer (2) sans cette hypothèse.Les deux propositions suivantes donnent le comportement des données numériques locales de Hodge cycles proches à l’infini par convolution intermédiaire multiplicative.Pour terminer l’étude du comportement des données numériques de Hodge par convolution intermé- diaire multiplicative, il reste à expliciter le comportement des données numériques globales de Hodge.