Dynamique forcée des systèmes vitreux : des verres de spin aux fluides complexes
Diffusion du son par une bille
On considere une sphere élastique plongeé dans un fluide. On emet une onde plane incidente et on cherche l’amplitude de l’onde diffuseé par la sphere.Comme la sphere n’est pas infiniment rigide, on observe un certain nombre de resonances dues à la propagation d’ondes de Rayleigh à sa surface. Par consequent, l’amplitude rayonneé depend de fac¸on assez complexe du rapport longueur d’onde sur rayon de la sphere.
Montage experimental
Expression de l’onde diffusee
Ce probleme de diffusion du son par une sphere elastique a eté traité analytiquement par Gaunard & Uberall ¨ [29]. On suppose que la sphere est plongeé dans un liquide infini de masse volumique ρ1 dans lequel la celérit é du son vaut c1. On emet une onde plane de pulsation ω et de vecteur d’onde k1. La sphere est un solide elastique de masse volumique ρ2, de rayon a dans lequel peuvent se propager des ondes longitudinales de celérit é cL et de cisaillement cS dont les vecteurs d’onde sont respectivement kL et kS. Chaque type d’onde verifie une equation d’onde dans son milieu. On effectue une decomposition de la pression en fonctions de Bessel spheriques ét on peut montrer que l’amplitude de la pression diffuseé à l’exterieur de la sphere s’ecrit pdiff r θ % p0eH iωt ∞ ∑ nW0 i n 2n1 Pn cosθ bnh 1 n k1r X (2.11) ou p0 est l’amplitude de l’onde plane incidente, Pn est le polynome ˆ de Legendre d’ordre n, θ est l’angle avec le vecteur d’onde incident et h 1 n la fonction de Hankel spherique de premiere espece. bn est un coefficient fonction de ρ1 ρ2, n, ksa, kLa et k1a, dont l’expression est fournie dans la reférence [29]. Ce terme decrit les resonances successives dues à la propagation des ondes de surface sur la sphere et leur rayonnement dans le fluide. Dans la limite du champ lointain (pour la bille), l’expression precédente peut etre ˆ réecrite pdi f f r θ % p0 a f θ 2r e ik1r H iωt (2.12) avec f θ ; 2 ik1a ∞ ∑ nW0 i n 2n1 Pn cosθ bn (2.13) Cette fonction f appeleé fonction de forme, represente l’amplitude relative de l’onde diffuseé par rapport à l’onde plane incidente. Elle fournit l’ev olution de l’amplitude avec la longueur d’onde et avec l’angle. 2.3.2 Application à notre cas Dans notre cas, les spheres sont en polystyrene de masse volumique ρ2 1 056 kg/m3 . Les celérit és du son dans ce materiau sont cL 2350 m/s et cS 1120 m/s [32]. Les billes utilisees sont de diametre 1, 0.5 et 0.25 mm.
Table des matières
Introduction
1. Etat de l’art en lagrangien 1.1 Theorie
1.1.1 Les variables lagrangiennes
1.1.2 La turbulence homogene
1.1.3 Les predictions de la theorie Kolmogorov
1.2 Experiences
1.2.1 Les premieres mesures indirectes
1.2.2 Les mesures lagrangiennes
1.3.1 Les simulations totales
1.3.2 Les modeles stochastiques
2. Montage experimental
2.1 Principe de la mesure : effet Doppler ultrasonore
2.2 Ecoulement
2.3 Diffusion du son par une bille
2.3.1 Expression de l’onde diffusee
2.3.2 Application à notre cas
2.4 Transducteurs
2.4.1 Les contraintes
2.4.2 Les deux reseaux de transducteurs
2.5 Chaˆıne d’acquisition
2.5.1 Cahier des charges
2.5.2 Principe
2.5.3 Realisation pratique (en collaboration avec Pascal Metz)
3. Forces hydrodynamiques sur une bille
3.1 Formalisation de l’interaction fluide/particule
3.1.1 Predictions dans la limite Re
3.1.2 Extension au cas Re
3.1.3 Equation émpirique
3.2 Experiences
3.2.1 Dispositif experimental
3.2.2 Traitement du signal
3.2.3 Chute d’une bille dans un fluide au repos
3.2.4 Rebonds
3.2.5 Conclusion
4. Analyse spectrale des signaux acoustiques 4.1 Introduction aux methodes d’analyse spectrale
4.2 Theorie : methode de maximum de vraisemblance approchee
4.2.1 Position du probleme
4.2.2 Methode de maximum de vraisemblance
4.2.3 Maximum de vraisemblance approche
4.2.4 Integration d’une nouvelle mesure
4.2.5 Recapitulatif
4.3 Extension à l’estimation de la directivite
4.4 Pratique
4.4.1 Mise en œuvre
4.4.2 Rappels des differents parametres
4.4.3 Signaux synthetiques
4.4.4 Signal experimental
5. Description des mesures
5.1 Configuration experimentale
5.1.1 Presentation de l’ecoulement
5.1.2 Mesure de ε
5.2 La mesure lagrangienne
5.2.1 Configuration experimentale
5.2.2 Valeurs des parametres de l’algorithme
5.3 Coherence de l’estimation de vitesse
5.3.1 La mesure de la position
5.3.2 La position
5.3.3 Coherence de la mesure de vitesse
6. La vitesse lagrangienne
6.1 Les signaux lagrangiens
6.1.1 Les segments
6.1.2 Comment faire des moyennes ?
6.1.3 PDF de vitesse
6.2 Fonction d’autocorrelation de la vitesse lagrangienne
6.2.1 Les estimateurs de la fonction d’autocorrelation
6.2.2 Autocorrelation d’une composante de vitesse
6.2.3 Correlation des composantes de vitesse
6.3 Spectre de puissance lagrangien
6.3.1 Les estimateurs du spectre de puissance
6.3.2 Resultat ét discussion
6.4 Discussion sur la fonction de structure d’ordre
7. Accelération de la bille3
7.1 PDF de l’accelération de la particule
7.2 La correlation de l’accelération
7.2.1 Auto-correlation de l’accelération
Table des matier es
7.2.2 La fin du regime inertiel
7.2.3 La correlation des composantes d’accelération
8. L’intermittence lagrangienne
8.1 Mise en evidence de l’intermittence
8.1.1 La deformation des PDFs des increments
8.1.2 Fonctions de structure
8.1.3 Les cumulants
8.2 De l’origine de l’intermittence lagrangienne ?
8.2.1 Le modele MRW[21]
8.2.2 Les observations experimentales
8.2.3 Discussion
8.3 Une equation de Langevin ?
8.3.1 Un modele stochastique
8.3.2 Le terme de rappel
8.3.3 Vers une modelisation tridimensionnelle du terme stochastique
9. Considerations éner getiques
9.1 Correlations
9.1.1 Correlations du carré de la vitesse
9.1.2 Correlations des increments du carré de la vitesse
9.2 Intermittence du carré de la vitesse
9.2.1 La deformation des PDFs
9.2.2 Fonctions de structure
9.3 Cumulants
Conclusions
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