Équation intégro-différentielles à retard infini

Théorie Spectral d’opérateurs linéaires

 Dans ce section nous allons rappelé quelques résultats sur la théorie d’opérateurs linéaires fermés . Définition 1.1. Un opérateur linéaire A d’un espace de Banach X est application linéaire d’un sous-espace vectoriel D(A) de X à valeur dans X. D(A) est domaine de définition de A. Définition 1.2. Un opérateur continu ou borné est un opérateur tel que supkxk=1 kAxk < ∞. On note L(X) l’espace vectoriel des opérateurs bornés sur X. Définition 1.3. On appelle un opérateur linéaire non borné A dans X, l’application A : D(A) −→ X tel que supkxk=1 kAxk = ∞. Un opérateur non continu ne peut pas être défini sur l’espace tout entier, on cherche alors à le définir sur un domaine D(A) qui ait des bonnes propriétés, comme par exemple qu’il soit dense. Définition 1.4. Un opérateur linéaire A dans X est fermé si son graphe G(A) = {(x, Ax) tel que x ∈ D(A)} est fermé dans X × X. Définition 1.5. Lorsque D(A) est dense dans X, on dit que (A,D(A)) est de domaine dense dans X. Proposition 1.1. Un opérateur (A,D(A)) est fermé si et seulement si pour toute suite (xn)n de D(A) telle que limnxn = x et limnAxn = y on a alors x ∈ D(A) et y = Ax. Définition 1.6. Si A est un opérateur linéaire fermé sur un espace de Banach X et de domaine Y = D(A) , l’ensemble résolvant de A est défini par : ρ(A) = {λ ∈ C : (λI − A) −1 existe}. (1.1) Si λ ∈ ρ(A), alors(λI − A) −1 ∈ L(X). Préliminaires 2 Définition 1.7. le spectre de A noté σ(A) défini par : σ(A) = {λ ∈ C : (λI − A) −1 n 0 est pas bijectif}. (1.2) Autrement dit c’est l’ensemble complémentaire de l’ensemble résolvant. Il est important de retenir que si λ ∈ ρ(A) alors (A−λI) −1 ∈ L(X) grâce au théorème de l’application ouvert. La résolvante de A est définie alors par : R(λ, A) = (λI − A) −1 (1.3) Proposition 1.2. Pour tout λ, µ ∈ ρ(A) on a les propriétés suivantes : (i) R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A) (ii) R(λ, A)R(µ, A) = R(µ, A)R(λ, A). Définition 1.8. Soient E et F deux espaces normés, et A ∈ L(E, F) est compact si A(BE) est relativement compact pour la topologie forte.On désigne par K(E, F) l’ensemble des opérateurs compacts et on pose K(E)=K(E, E). BE c’est la boule unité fermée. 

Théorie des sémi-groupes d’opérateurs linéaires

 Définition 1.9. Une famille d’opérateur (T(t))t≥0 T : [0, +∞[−→ L(X) est dit semi-groupe fortement continu oú Co-semi-groupe sur X si les propriétés suivantes sont vérifiées : (i) T(0) = I (ii) T(t + s) = T(t)T(s) pour tout t, s ≥ 0 (iii) t −→ T(t)x est continue ; pour tout x ∈ X. Théorème 1.1. Soit (T(t))t≥0 un semi-groupe fortement continue sur X. Alors il existe des constantes w ≥ 0 et M ≥ 1 telle que : kT(t)k ≤ Mewt pour t ≥ 0. (1.4) Définition 1.10. Soit(T(t))t≥0 un Co semi-groupe sur X l’opérateur défini par : D(A) = Y = {x ∈ X : lim t−→0+ T(t)x − x t ∀x existe} (1.5) Ax = limt−→0+ T(t)x−x t pour tout x ∈ D(A) est appelé générateur infinitésimal de (T(t))t≥0. Remarque 1.1. Si (T(t))t≥0 est un semi- groupe de classe C0 d’opérateur linéaire borné de générateur infinitésimal alors il est unique . Exemple 1.1. Un semi-groupe de classe C0. Dans L p (R)(1 ≤ p ≤ +∞), la famille (T(t))t≥0 est définie par : [T(t)x](s) = x(t + s), ∀t ≥ 0, s ∈ L p (R). on défini ensuite l’opérateur A sur L p (R) par : Préliminaires 3 D(A) = {x ∈ L p (R) : x est localement continue, et x0 ∈ L p (R)} Ax = x 0 pour tout x ∈ D(A) Proposition 1.3. Soit (T(t))t≥0 un C0 semi-groupe de générateur infinitésimal A,alors on a : (i) pour tout x ∈ X , la fonctiont −→ T(t)x est continue sur R+ (ii) si x ∈ D(A) , et t ≥ 0 alors T(t)x ∈ D(A) et T(t)x = AT(t)x (iii) fonction t −→ T(t)x est continument dérivable sur R+ si et seulement si x ∈ D(A) dans ce cas ∀t ≥ 0 d dtT(t)x = AT(t)x = T(t)Ax (iv) pour tout x de X et tout t ≥ 0 ´ t 0 T(s)xds ∈ D(A) et A( ´ t 0 T(s)xds) = T(t)x − x. et si de plus x ∈ D(A) A ´ t 0 T(s)xds = ´ t 0 T(s)Axds = T(t)x − x (v) pour λ ∈ C et x ∈ X, l’opérateur résolvant est défini par : Re(λ, A) = (A − λI) −1x = ´ t 0 e −λtT(t)xdt. Nous présentons la réciproque de ce résultat par le célèbre Théoreme de Hille-Yosida suivant. Théorème 1.2. (Hille-Yosida) La condition nécessaire et suffisant pour un opérateur A fermé à domaine dense dans X soit généralement infinitésimal d’un semi-groupe de classe C0 l’unique (T(t))t≥0 et qu’il existe des constantes ω ≥ 0 et M ≥ 1 telles que : (1) ρ(A) ⊃ {λ : λ ∈ C, Re(λ) > ω} (2) k(A − λI) −nk = M (Re(λ) − w) n) , ∀ Re(λ) > ω , n = 1, 2……. Proposition 1.4. Si T est un semi groupe sur X de générateur A alors T(t)x est solution de l’équation différentielle x˙ = Ax(t) Considérons l’équation :    x˙(t) = Ax(t) + f(x), x(0) = x0 (1.6) c’est une équation intégro-différentielle Définition 1.11. On dit que U : [0, b] −→ X est solution de (1.8) si : (i) t −→ u(t) est continument différentiable sur [0,b] ; (ii) u(t) ∈ D(A) pour tout t ∈ [0, b] ; (iii) u(.) satisfait le système (1.6)sur [0,b]. Préliminaires 4 La résolution de l’équation(1.6), on modifie souvent le système initial en une équation intégrale de Lotka-Volterra. D’oú l’intérêt de l’opérateur résolvant par la formule de la variation de la constant. Théorème 1.3. Si u est une solution stricte du système (1.6) sur L’intervalle [0, b], alors u est donnée par la formule suivante : u(t) = T(t)u0 + ˆ t 0 T(t − s)f(s)ds pour t ∈ [0, b]. (1.7) Si u satisfait la formule (1.7), alors u n’est pas généralement une solution stricte du système (1.6). Ce constat nous amène à la définition de la solution faible. Définition 1.12. Une fonction continue u : [0, b] −→ X est appelée solution faible du système (1.6) si u(0) = u0 et u satisfait la formule (1.7). Le théorème suivant donne des conditions suffisantes de régularité des solutions faibles du système (1.6). Théorème 1.4. Soient f ∈ C 1 ([0, +∞]; X) et u une solution faible du système (1.6). Alors pour u0 ∈ Y, u est une solution stricte. Tout au long de notre travail, nous allons donner par la suite quelques caractérisations d’une classe particulière de semi-groupe analytique. Définition 1.13. Un opérateur linéaire (A, D(A)) à domaine dense dans un espace de Banach X est dit sectoriel(d 0angle δ) s’il existe 0 < δ ≤ π 2 tel que le secteur Σπ 2 +δ = {λ ∈ C 😐 argλ |< π 2 + δ} \ {0} soit continu dans l’ensemble résolvant ρ(A) , et pour tout M ≥ 1 tel que kR(λ, A)k ≤ M |λ| pour tout 0 6= λ ∈ Pπ 2 +δ+ Définition 1.14. Une famille d’opérateur ((T(z))z∈ P δ S 0⊂L(X) est dit semi-groupe analytique (d 0angle δ ∈]0, π 2 [) si : (i) T(0) = I et T(z1 + z2) = T(z1)T(z2) pour tout z1, z2 ∈ P δ (ii) l 0application z −→ T(z) est analytique dans P δ (iii) limP δ 0 3t−→0 T(z)x = x pour x ∈ X et δ0 < δ Théorème 1.5. Si un opérateur est sectoriel ,alors -A est un générateur infinitésimal d’un semi-groupe analytique{T(t)}t≤0 Théorème 1.6. Un opérateur A est sectoriel d’angle sectoriel θ < π 2 si et seulement si -A est générateur infinitésimal d’un semi-groupe borné et analytique sur le secteur P θ 0 = {λ ∈ C 😐 argλ |< θ0 } avec θ0 = π 2 − θ Ainsi, les semi-groupes analytiques correspondent exactement aux opérateurs sectoriels A d’angle sectoriel θ < π 2 . Préliminaires 

La théorie des opérateurs résolvants 

Dans ce section nous allons rappelé quelques résultats de la théorie des opérateurs résolvants qui est une sorte de généralisation des semi-groupes d’opérateurs linéaire. On le trouve souvent dans l’étude d’une équation intégro-différentielle de la forme suivante : ( du dt (t) = −Au(t) + ´ t 0 B(t − s)u(s)ds pour t ≥ 0 u(0) = u0 ∈ X (1.8) D’oú A est un opérateur linéaire fermé à domaine Y dense dans X et B(t) un opérateur linéaire non borné. Pour distinguer les solutions de (1.8), nous allons définir la notion d’opérateur résolvante et citer quelques unes de ses propriétés. Définition 1.15. Une famille d’opérateurs linéaires bornés (R(t))t≥0 dans X est dite opérateur résolvant pour le système linéaire (1.8) si : (a) R(0) = I et kR(t)k ≤ M1 exp(σt) avec M ≥ 1 quelconque et σ ∈ X (b) pour tout x ∈ X , t −→ R(t)x est continu pour t ≥ 0, (c) R(t) ∈ L(X) pour t ≥ 0 . P ourx ∈ Y R(.)x ∈ C 1 (R +, X) ∩ C(R +, Y) et pour t ≥ 0 nous avons : R 0 (t)x = AR(t)x + ˆ t 0 B(t − s)R(s)xds (1.9) = R(t)Ax + ˆ t 0 R(t − s)B(s)xds. (1.10) Si le système (1.8) admet un opérateur résolvant, alors du point (c) on peut en déduire pour tout x ∈ Y, le terme R(t)x devient une solution du système homogène . De manière générale, considérons le système d’équation non homogène suivant : ( du dt (t) = −Au(t) + ´ t 0 B(t − s)u(s)ds + f(t) pour t ≥ 0 u(0) = u0 ∈ X. (1.11) D’autres hypothèses sur f telles que la dépendance à l’état u, la prise en compte de l’hérédité du système ou encore la prise en compte simultanée du retard et de la vitesse du système, etc. peuvent être imposées. Nous obtenons donc respectivement une équation intégro-différentielle semi linéaire, semi linéaire à retard infini , etc. Nous définissons à présent la notion de solution stricte Préliminaires 6 Définition 1.16. Une fonction continue u : [0, b] −→ X est appelée solution stricte du système (1.11) si : (i) t −→ u(t) est continûment différentiable sur [0, b] ; (ii) u(t) ∈ Y = D(A) pour t ∈ [0, b] ; (iii) u(.) satisfait le systéme (1.11) sur [0, b]. . On transforme généralement le système initial en une équation intégrale de Lotka-Volterra lors de la résolution de ces types d’équations intégro-différentielles. Cette Transformation est obtenue grâce à la formule de la variation de la constante donnée par l’opérateur résolvant.Cette formule de la variation de la constante nous donne la forme générale des solutions de (1.12) si la fonction f satisfait à quelques conditions appropriées lorsque la donnée initiale u(0) ∈ Y. Théorème 1.7. Si u est une solution stricte du système (1.11) sur l’intervalle [0,b], alors u est donnée par la formule suivante : u(t) = R(t)u0 + ˆ t 0 R(t − s)f(s)xds pour t ∈ [0, b]. (1.12) par conséquent on peut poser que la famille (R(t))t≥0 est similaire au semi-groupe. Mais, elle ne vérifie pas la propriété T(t + s) = T(t)T(s) ; t , s ≥ 0 des semi-groupes. Remarque 1.2. Si u satisfait la formule (1.12), alors u n’est pas généralement une solution stricte du système (1.11). Définition 1.17. Une fonction continue u : [0, b] −→ X est appelée solution faible du système (1.10) si u(0) = u0 et u satisfait la formule (1.11). Le théorème suivant donne des conditions suffisantes de régularité des solutions faibles. Théorème 1.8. Soient f ∈ C 1 ([0, +∞]; X) et u une solution faible du système (1.11). Alors pour u0 ∈ Y , u est une solution stricte. Vu que la théorie des opérateurs résolvants est souvent utiliser dans la résolution des systèmes intégro-différentiels, de nombreux mathématiciens se sont concentrer sur le développement de cette théorie durant ces dernières décennies. Par exemple par la suite nous allons nous intéresser sur les travaux de Grimmer et Pritchard. Sous certaines hypothèses, assez général(V1)-(V3), Grimmer et Pritchard ont démontré l’existence d’un opérateur résolvant pour le système (1.11). Ils ont prouvé que l’opérateur défini par : R(t)x = ˆ Υ e λt(λI − A − B ∗ (λ))−1 dλ (1.13) est un opérateur résolvant analytique pour le système (1.11). Remarque 1.3. Dans la suite de ce mémoire nous supposons (V1)-(V3) soient satisfaites. Alors il existe un opérateur résolvant analytique (R(t))t≥0 pour le système (1.11). les certains auteurs ont prouvé que les hypothèses suivantes sont suffisantes : (V 0 1 ) -A génère un semi-groupe analytique. En particulier , Préliminaires 7 ρ(−A) ⊃ ∆1 = {λ ∈ C : |argλ| < π 2 + δ1}; 0 < δ1 < π 2 et nous avonsk(λI + A) −1k ≤ M/|λ|| sur ∆1 pour M > 0 la fonction b(.) ∈ L 1 loc[0, ∞] avec b ∗ (λ) absolument convergente pour Reλ > 0 ; (V 0 2 ) il existe ∆2 = {λ ∈ C : |argλ| < π 2 + δ2}; 0 < δ2 < π 2 } tel que λ ∈ ∆2 implique h1(λ) = 1 + b ∗ (λ) existe et est non nul . De plus λh1 ∈ ∆1 pour λ ∈ ∆2 (V 0 3 ) Dans ∆2 , b∗ (λ) −→ 0 si |λ| −→ ∞. Plus tard en 1984 . W.Desch et Al ont prouvé l’existence d’un opérateur résolvant associé au système (1.8) ont donné des liens existant avec le semi- groupe généré par A .Pour cela ils ont considéré les conditions suivantes : (V4) A est un opérateur linéaire fermé á domaine Y dense dans X ainsi, Y muni de la norme du graphe |x| = kxk + kAxk, et un espace de Banach (V5) ( (B(t))t≥0 est une famille d’opérateurs linéaires sur X telle que B(t) soit continu comme une application Y dans X pour presque tout t ≥ 0 . De plus, il existe une fonction localement intégrable b : R + −→ R + telle que B(t)y soit mesurable et kB(t)yk ≤ b(t)|y| pour tout y ∈ Y et t ≥ 0. (V6) Pour tout y ∈ Y , l’application t −→ B(t)y est un élément de W 1,1 loc (R, X) et k d dtB(t)yk ≤ b(t)|y|. Théorème 1.9. Supposons que les hypothèses (V1) − (V3) et (V6) soient satisfaites. Pour tout a > 0 , il existe une constante M = M(a) telle que kR(t + h)x − R(t)R(h)k ≤ M(a) pour 0 ≤ h ≤ t ≤ a (1.14) Théorème 1.10. Soit A le générateur infinitésimal d’un semi-groupe (T(t))t≥0. Assumons que les hypothèses (V1)−(V3) et (V6) soient valides. Alors (T(t))t≥0 est compact pour t > 0. si et seulement si l’opérateur résolvant (R(t)t≥0) correspondant au système linéaire (1.8) est compact pour t > 0.