Étude asymptotique de semi-groupes

Rappel sur les semi-groupes

 Définitions et Propriétés de base 

Définition 1.1. Soit (E, k.k) un espace de Banach. Un opérateur sur E est la donnée d’un couple (D,A) où • D est un sous-espace vectoriel de E • A est une application linéaire de D dans E D est appelé domaine de A et est noté D(A) Remarque 1.1. On note souvent A au lieu de (D(A),A) Définition 1.2. Soit E un espace de Banach et soit une famille (S(t)t≥0) d’opérateurs linéaires continus de E dans E. On dit que la famille (S(t)t≥0) est un semi-groupe sur E si elle vérifie : i) S(0) = IdE ii) S(t + s) = S(t)S(s) ∀ t, s ≥ 0 On dit que (S(t)t≥0) est un C0 semi-groupe (semi-groupe fortement continue), si de plus lim t→0 kS(t)x − xkE = 0 ∀ x ∈ E Définition 1.3. On dira qu’un semi-groupe (S(t)t≥0) est : • uniformément continu si lim t→0 kS(t) − IkE = 0 • de contraction si kS(t)k ≤ 1 Remarque 1.2. Un semi-groupe uniformément continu est un C0 semi-groupe mais la réciproque n’est pas toujours vraie. Théorème 1.1. Soit (S(t)t≥0) un C0 semi-groupe sur E. Alors il existe ω ∈ R et M ≥ 1 tels que kS(t)k ≤ Meωt ∀ t ≥ 0 Définitions et Propriétés de base 4 . Démonstration. Montons d’abord qu’il existe y ∈ ] 0, 1] tel que sup t∈[0,y] kS(t)k < +∞ Supposons le contraire, c’est à dire pour tout y= 1 n , sup t∈[0,y] kS(t)k = +∞ Alors pour tout n, il existe tn ∈ [0, 1 n ] tel que kS(tn)k > n et donc sup n>1 kS(tn)k = +∞ Le théorème de Banach Steinhaus montre qu’il existe x ∈ E tel que sup kS(tn)k = +∞ et donc sup kS(tn)k n’est pas borné. D’autre part, lim t→0 kS(t)x − xk = 0 car S(t) est un C0 semi-groupe Pour tout  positif, il existe δ positif tel que | t |< δ =⇒ kS(t)x − xk <  . En particulier si  = 1, kS(t)x − xk < 1 IL vient alors kS(t)xk − kxk 6 kS(t)x − xk < 1 alors kS(t)xk 6 1 + kxk ∀ | t |< δ Or 0 6 tn 6 1 n entraine que tn tend vers 0 et qu’il existe n0 tel que n> n0 entraine que | t |< δ. Alors, kS(tn)xk 6 1 + kxk, n > n0 Définitions et Propriétés de base 5 ce qui entraine que sup n>n0 kS(tn)xk 6 1 + kxk, pour n > n0 Posons M∗ = maxkS(tn)xk avec n = 1, …, n − 1 On a sup kS(tn)xk 6 M∗ , n = 1, …, n0 − 1 et donc sup n>1 kS(tn)xk 6 1 + kxk + M∗ contradiction. Ainsi,il existe η ∈ ]0,1] tel que sup t∈[0,η] kS(t)k < +∞ Soit M=Supt∈[0,η] k S(t) k Comme k S(0) k =1, alors M> 1 Posons w= 1 n ln M. Soit t> 0 ,avec t> η. On a t=nη + δ où 0 ≤ δ ≤ η et n ∈ N S(t)=S(nη)S(δ) = [S(η)]nS(δ) kS(t)k ≤ kS(η) n kkS(δ)k ≤ MMn = MM t−δ η ≤ MM t η = Meωt Corollaire 1.1. Si (S(t)t≥0) est un C0 semi-groupe sur E, alors pour tout x ∈ E , l’application t 7−→ S(t)x est continue de [0, +∞[ dans E. Démonstration. Soit t ≥ 0. On évalue kS(t + h)x − S(t)xk (pour t + h ≥ 0) • Si h≥ 0 kS(t + h)x − S(t)xk = kS(t)S(h)x − S(t)xk = kS(t)[S(h) − I]xk ≤ kS(t)k k(S(h) − I)xk Générateur d’un semi-groupe 6 ≤ Meωt kS(h)x − xk tend vers 0 quand h tend vers 0 car (S(x)) est un C0 semi-groupe • Si h ≤ 0 (t + h ≥ 0) kS(t + h)x − S(t)xk = kS(t + h)[I − S(−h)]xk ≤ kS(t + h)kk(S(−h) − I)xk ≤ Meω(t+h) kS(−h)x − xk tend vers 0 quand h tend vers 

 Générateur d’un semi-groupe 

Définition 1.4. Soit (S(t)t≥0) un C0 semi − groupe sur E. L’opérateur défini par : D(A)={x ∈ E : lim t→0+ S(t)x−x t existe} et Ax= lim t→0+ S(t)x−x t ∀ x ∈ D(A) est appelé générateur infinitésimal de (S(t)t≥0) Lemme 1.1. Soit A ∈ L(E) alors (e tA)t≥0 est un semi-groupe uniformément continue dont le générateur infinitésimal est l’opérateur A. Proposition 1.1. (S(t)t≥0) un semi-groupe et A son générateur infinitésimal, alors S(t)x ∈ D(A) : 1. S(t)Ax = AS(t)x ∀ t ≥ 0 , x ∈ D(A) 2. dS(t)x dt = S(t)Ax = AS(t)x ∀ t ≥ 0 , x ∈ D(A) 3. S(t)x − x = ˆ t 0 S(s)Ax ds ∀ t ≥ 0 , x ∈ D(A) 4. ˆ t 0 S(s)x ds ∈ D(A) Corollaire 1.2. Soit (S(t)t≥0) un semi-groupe uniformément continue et A son générateur infinitésimal alors : 1. il existe ω ≥ 0 tel que : Générateur d’un semi-groupe 7 kS(t)k ≤ e ωt , ∀ t ≥ 0 2. l’application [0, +∞[−→ L(E) t 7−→ S(T) est continue et différentiable pour la topologie des normes et dS(t) dt = AS(t) = S(t)A ∀ t ≥ 0 Définition 1.5. On appelle type d’un semi-groupe fortement continue (S(t))t≥0 le nombre(borne de croissance) : ω0 = inf{ω ∈ R, ∃ Mω ∈ R tel que kS(t)k ≤ Mωe ωt , ∀ t ≥ 0} = {ω ∈ R : lim t→+∞ e −ωtkS(t)k = 0} = lim t→+∞ 1 t log kS(t)k Proposition 1.2. Soit (S(t)t≥0) un C0 semi-groupe et A son générateur. Alors on a : a) ∀ x ∈ E, lim h→0+ 1 h ˆ t+h t S(s)x ds = S(t)x b) ∀ x ∈ E, ∀ t > 0 ˆ t 0 S(s)x ds ∈ D(A) et A( ˆ t 0 S(s)x ds) = S(t)x − x c) ∀ x ∈ D(A), S(t)x ∈ D(A). De plus t 7−→ S(t)x est différentiable et d dtS(t)x = AS(t)x = S(t)Ax d) ∀ x ∈ D(A), S(t)x − S(s)x = ˆ t s S(τ )Ax dτ = ˆ t s AS(τ )x dτ Corollaire 1.3. Si A est générateur d’un C0 semi−groupe (S(t)t≥0) alors D(A) est dense dans E et A est fermé. Théorème 1.2. Un opérateur linéaire A est générateur d’un semi-groupe uniformément continu si et seulement si A est borné. Proposition 1.3. Soit (S1(t)t≥0) et (S2(t)t≥0) deux C0 semi − groupes sur E, de générateurs infinitésimaux A1 et A2 respectivement. Si A1 = A2, alors S1(t) = S2(t) Problème abstrait homogène de Cauchy 

 Théorème de Hille-Yosida

Rappel 

Soit (D(A),A) un opérateur. ρ(A) = {λ ∈ C tel que (λI − A) −1 ∈ L(E)} et R(λ, A) = (λI − A) −1 = Rλ 1.3.2 Théorème de Hille-Yosida Théorème 1.3. (Hille-Yosida) Un opérateur linéaire A est générateur d’un C0 semi − groupe de contraction (kS(t)k ≤ 1) si et seulement si : i) D(A) = E et A fermé. ii) ]0, +∞[⊂ ρ(A) et pour tout λ > 0, on a kR(λ, A)k ≤ 1 λ Théorème 1.4. Un opérateur A est générateur d’un C0 semi − groupe (S(t)t≥0) vérifiant kS(t)k ≤ Meωt(ω ≥ 0) si et seulement si : i) A est fermé et D(A) = E. ii) ]ω, +∞[⊂ ρ(A) et kR(λ, A)k ≤ M λ−ω pour tout λ > ω 1.4 Problème abstrait homogène de Cauchy Soit E un espace de Banach, A : D(A)⊂ E → E. On considère l’équation :  d dtx(t) = x 0 (t) = Ax(t) , t > 0 x(0) = x0 ∈ E (1.1) Définition 1.6. Une solution forte (classique) de (1.1) est une application x ∈ C([0, +∞[, E) tel que : i) x(0) = x0 ii) x(t) ∈ D(A) iii) x est continument différentiable iv) d dtx(t) = Ax(t), ∀ t > 0 Problème abstrait homogène de Cauchy 9 Remarque 1.3. x(t) ∈ D(A) pour tout t > 0 et x est continue en t = 0, donc si x0 ∈/ D(A), (1.1) n’admet pas de solution classique. Théorème 1.5. On suppose que A est générateur d’un C0 semi − groupe (S(t)t≥0) sur E. Alors pour tout x0 ∈ D(A), l’équation (1.1) admet une solution forte unique x dans C 1 ([0, +∞[, E) ∩ C([0, +∞[, D(A)) De plus x est donnée par : x(t)=S(t)x0, ∀ t ≥ 0