ETUDE COMPARATIVE DES MÉTHODES DE CALCUL DE LA DIMENSION FRACTALE APPLICABLES AUX SURFACES DE RUPTURE

Les méthodes de calcul de la dimension fractale Δ sont nombreuses et ont été largement discutées dans la littérature [Charkaluk E. et al, 1998], [Cherepanov G.P. et al, 1995], [Katowski P., 2006], [Tricot C. et al, 1988], [Tricot C. et al, 2001]. Trois caractéristiques conditionnent la fiabilité de telles méthodes. Pour qu’en effet, une méthode de calcul de la dimension fractale soit fiable, elle doit être: robuste (peu sensible aux erreurs de mesures), convergente (apporte en moyenne les mêmes résultats sous l’invariance des conditions expérimentales), et de faible dispersion (elle permet la construction des estimateurs à faible dispersion) [Bigerelle M., 1999]. Pour déterminer la dimension fractale d’un objet plongé dans un espace euclidien de dimension d, on en définit intuitivement un recouvrement par N(l) d-boules de taille linéaire l, puis l’on déduit la dimension fractale Δ, pour l tendant vers 0, via l’interpolation linéaire, à partir de la relation de proportionnalité suivante [Le Méhauté A., 1990]: Une fois trouvée, la dimension Δ permettra de dire si l’objet considéré, possède ou non une structure fractale : en effet, pour Δ très proche de 1 ou de 2, l’objet analysé sera considéré comme étant de structure euclidienne; par contre, pour 1<Δ<2, tout en étant très éloigné de ces deux valeurs, la structure sera dite fractale, et la droite de régression introduite par la relation de proportionnalité (2,1), pourra alors se déterminer avec une erreur acceptable. La dimension fractale est une dimension attachée à une structure analysée. Elle est une caractéristique pouvant aider à la différenciation entre deux formes, deux objets ou deux profils apparemment semblables.

Plus généralement, Richardson permit ainsi de mettre en évidence, pour un objet fractal mesuré, une relation entre la longueur de la jauge, d’une part, et le nombre de ses reports d’autre part. La taille d’un objet dépend, par conséquent, de l’unité de mesure ou de la jauge utilisée: c’est la loi d’échelle. linéaire de logRL sur log, à partir de différentes mesures de la jauge d’espace . La longueur de cette jauge a été bien évidemment obtenue par segmentation du Des analyses fractographiques issues de la littérature [Dlouhý I.& Strnadel B., 2008], il découle que la longueur de la jauge d’espace est généralement choisie entre 8,6 μm et 34,3 μm, et en particulier, entre 3,4 μm et 13,6 μm, dans les régions à rupture ductile. approximation, pas à pas, par interpolation linéaire, conduit nécessairement à des erreurs ayant un effet certain sur la détermination de la dimension fractale. Un inconvénient d’utilisation de la méthode apparaît également, lorsqu’on est obligé de changer le pas de la jauge pour mesurer la longueur de la dernière portion de la courbe, alors que le calcul de la dimension fractale par la méthode de l’arpenteur nécessite la constance de la jauge. Cette difficulté peut cependant, être contournée, en choisissant des jauges de mesure très petites par rapport à la longueur de la ligne polygonale d’approximation. Par ailleurs, cette méthode est complètement inadaptée aux courbes ne présentant aucune structure de similitude interne, comme l’atteste l’exemple issu des travaux de Tricot [Tricot C., 1999, page 239, paragraphe 16.1].

Cette fois, l’approximation du profil n’est plus réalisée par une ligne polygonale, mais plutôt obtenue par un recouvrement de celui-ci par des boules de même diamètre r, inférieur à un seuil η donné. L’empilement de boules ainsi obtenu, constitue ce que l’on appelle la saucisse de Minkowski (voir figure 2.3.).Notons que dans le cas particulier d’une courbe Γ du plan, un tel recouvrement se fait par des disques de diamètre η, centrés en des points de Γ. L’expression mathématique de la dimension de Minkowski-Bouligand est, paradoxalement, analogue à celle correspondant à la dimension obtenue selon la méthode de l’arpenteur (paragraphe 2.1.3), dont elle est censée pallier les insuffisances. En réalité, dans le cas particulier où la courbe Γ est plongée dans un espace de dimension 2, le recouvrement qui est réalisé par des disques B de même diamètre η, constitue une surface A2(η), vérifiant la relation.