Etude de l’écoulement d’un fluide en convection mixte
dans un hyperboloïde de révolution à une nappe
adiabatique

 Adimensionnalisation des équations

Un problème concret de physique aussi simple soit il, peut faire intervenir un nombre important de paramètres et ses dimensions géométriques peuvent être grandes aussi. Pour pouvoir étudier de tels systèmes dans des dimensions réduites afin de transposer les résultats pour des systèmes réels et résoudre en même temps d’autres cas similaires, on fait appel a deux concepts ; celui de la similitude et celui de l’analyse dimensionnelle qui reposent sur le théorème de Vashy-Buckingham aussi appelé théorèmeπ . La similitude physique est une généralisation de la similitude mathématique. Il s’agit de trouver certaines analogies entre deux phénomènes. On cherche les conditions à remplir pour qu’à partir des caractéristiques de l’un, on puisse obtenir les caractéristiques de l’autre par des calculs simples. Si ces calculs sont en soit relativement simples, la détermination des règles à suivre pour qu’il y ait similitude ne l’est pas pour autant. 

Grandeurs de référence

Pour rendre nos équations adimensionnelles, on va introduire dans les équations de transferts les grandeurs de référence 0000 , , , ∆TtVl pour respectivement la longueur, le champ des vitesses, le temps et le champ des températures. Vu la géométrie du problème on choisira la hauteur du thermosiphon H et le rayon d’entrée (0) er f = respectivement comme ordonnée et abscisse de référence. La vitesse maximale à l’entrée de notre conduite Vm est prise comme vitesse de référence suivantζ . A partir de cette vitesse de référence et des grandeurs de référence géométriques nous allons en déduire les autres grandeurs de référence dynamiques c’est-à-dire la vitesse de référence suivantη , la vorticité et la fonction de courant de référence.  

Grandeurs pariétales

Pour caractériser l’interaction d’un fluide en écoulement avec une paroi, il est d’usage en mécanique des fluides d’utiliser les résultats de la tribologie pour déterminer le coefficient de frottement pariétal. Cette grandeur, qui s’obtient à partir de la contrainte pariétale, est très importante dans les écoulements internes ou ouverts. Les valeurs et les signes des contraintes pariétales peuvent nous fournir des renseignements sur l’importance des transferts d’impulsion, de chaleur et/ou de masse et aussi sur la nature du champ de l’écoulement au voisinage de la paroi. Chapitre 1 – Modélisation Théorique Mémoire de DEA de Physique CBY Page | 32 Si Vt désigne la composante tangentielle de la vitesse au voisinage de la paroi, la contrainte pariétale ( ) p τ s locale à l’abscisse s est définie par : n V s t p ∂ ∂ )( = µτ (1. 5. 1.) n ∂ ∂ désigne la dérivée par rapport à la direction normale à la paroi. Le coefficient de frottement local f ( )lC est donné par ( ) ( ) 2 2 1 U l lC p f ρ τ = (1. 5. 2) U est la vitesse caractéristique de l’écoulement qui est prise ici égale à Vm . Nombre de Nusselt h l. Nu λ = (1. 5. 3.a) h est le coefficient d’échange par convection et l une longueur caractéristique. Puisque la température du plancher est supposée constante, il vient alors ‘ . p f l T fT Nu TT f η ζ η   ∂ ∂ = − −   −∂ ∂   (1. 5. 3.b) Tp est la température du plancher alors que Tf désigne une température caractéristique du fluide. Contrainte pariétale et coefficient de frottement : La contrainte pariétale s’exprime par :       ∂ ∂ − ∂ ∂ = ζη µ τ t t P V g V g f 22 12 (1. 5. 4.) Avec :         = η + VgV ζ f g g Vt 22 12 22 1 t AV m VVV m f f V ∗ ∗ + + = η ζ η η 2 )’ (1 ‘ Chapitre 1 – Modélisation Théorique Mémoire de DEA de Physique CBY Page | 33 ∗ ∗∗ + + = ζη η η AV V f f Vt 2 )’ (1 ‘ Le coefficient de frottement est donné par la relation : 2 2 2 2 1 m P m P f V V C ρ τ ρ τ == (1. 5. 5.a)       ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ η ζ t t f V Ag V g f C 22 12 1 Re 2 (1. 5. 5.b) Avec : ∗ ∗ = ‘ ffg12 η ; ∗ = frf e La moyenne de cette grandeur se calcul à partir de l’expression ci-après : ∫ = s f f dsCC £ 0 1 (1. 5. 5.c) Avec ∗ += dfds ζ 2′ 1 Nous avons alors : f f HdfCC ∗ ∫ = + ζ £ 0 2′ 1 £ 1 (1. 5. 5.d) où ∗ ∗ =−=+= ∫ ∫ 1£ 1 £ 1 0 2′ 2′ ζ ζ HdfHdf ∗ ∗ ∫ ∗ C f = f + dfC ζ £ 0 2’ 1 £ 1 (1. 5. 5.e) 1. 6. Conclusion L’une des difficultés liées à notre problème est la présence du terme de pression dans l’équation du mouvement qui est assez gênant dans la mesure où on ne peut pas poser des conditions aux limites intrinsèques sur le champ des pressions au niveau d’une paroi solide. Pour pallier cette difficulté, nous avons utilisé le formalisme vorticité-fonction de courant. Ainsi nous avons obtenu une équation quasi linéaire dans laquelle, le champ de pression ne figure plus. L’autre avantage que nous avons tiré de ce formalisme est la réduction du nombre d’équations à résoudre. Par ailleurs, l’adimensionnalisation de nos équations nous a permis de dégager des nombres adimensionnels caractérisant l’écoulement ainsi que des grandeurs pariétales (coefficients de frottement et nombre de Nusselt) qui renseignent sur les interactions entre le fluide et les parois de notre thermosiphon. Les équations établies ici ne peuvent pas être résolues analytiquement du fait qu’elles sont couplées entre elles même mais aussi entre elles et les conditions aux limites qui nous ont servi à les fermer. C’est pourquoi pour les résoudre une méthode approchée s’impose