Etude des Propriétés Viscoélastiques des Tissus Mous par Elastographie IRM
Mécanique dans les milieux continus
La mécanique des milieux continus est le domaine de la physique qui s’intéresse à la déformation des solides et à l’écoulement des fluides. Le terme de milieu continu provient de l’échelle à laquelle le milieu est considéré. A une échelle microscopique, ou plutôt nanoscopique, la matière est granulaire. Chaque objet correspond à un empilement d’atomes ces mêmes atomes qui permettent de réaliser les clichés d’Imagerie par Résonance Magnétique détaillé plus loin. Au contraire, les objets semblent continus à une échelle macroscopique, l’échelle à laquelle les objets sont considérés lors des examens médicaux non invasifs comme la radiographie Rayons X, l’échographie, … A cette échelle, les propriétés des objets semblent varier globalement et non plus discrètement. Ainsi, l’hypothèse des milieux continus consiste à considérer des milieux dont toutes les propriétés caractéristiques sont des fonctions continues. Par la suite, de nouvelles hypothèses peuvent être énoncées pour simplifier l’étude de ces milieux : • l’homogénéité permet de considérer que différentes propriétés du milieu sont constantes dans l’ensemble du milieu considéré (homogénéité globale) ou juste une zone (homogénéité locale). • l’isotropie permet de considérer que les propriétés du milieu ne dépendent pas de la direction spatiale dans laquelle elles sont considérées. La théorie à la base de la mécanique des milieux continus est la loi formulée par Hooke au XVII◦ siècle [1]. Cette loi permet de relier la force exercée sur un solide à sa déformation. Elle permet aussi de décrire toutes les modifications mécanique dont peut être l’objet un milieu : compression ou extension statique, propagation d’ondes mécaniques de toute nature, … Par la suite, il est possible d’introduire des paramètres qui permettent de décrire au mieux les milieux continus et surtout de pouvoir comparer différents milieux sur la base de ces paramètres objectifs.
La loi de Hooke : un lien entre déformation et contrainte
Robert Hooke a introduit en 1678 une loi permettant de relier la déformation d’un ressort à la force exercée sur celui-ci : ut tensio sic vis, telle extension telle force. Cette formulation pour le moins littéraire est à l’origine de la notion de raideur des ressorts : F = k · (l −l0) (2.1) où F est l’intensité de la force exercée, k la constante de raideur, l la longueur du ressort et l0 la longueur à vide du ressort. Cette loi peut s’étendre aux milieux continus [2] en considérant non plus une force mais la contrainte (une force volumique) σ, non plus un allongement mais une déformation (un allongement local) ε, non plus une raideur mais une élasticité E : σ = E ·ε (2.2)
Le tenseur des contraintes et tenseur des déformations
La mécanique des milieux continus considère les objets comme continus mais leur comportement est régi par les structures internes au solide à l’échelle microscopique. Lorsqu’un solide n’est pas déformé, l’arrangement des molécules le constituant correspond à un état d’équilibre thermodynamique de la matière. Cet équilibre se traduit d’un point de vue mécanique par le fait que la résultante des forces en chaque point du solide est nulle. Lorsqu’une déformation est appliquée au solide, celui-ci n’est plus dans son état d’équilibre thermodynamique et par voie de conséquence l’équilibre mécanique n’est plus assuré en chaque point. Des forces internes volumiques à l’objet vont se créer afin de ramener le solide à son état d’équilibre. Ces forces internes volumiques sont appelées des contraintes. Au niveau nanoscopique, les contraintes résultent des forces d’interaction entre molécules du solide qui s’exercent sur une très courte distance (de l’ordre de la distance interatomique). Ces mêmes forces sont également à l’origine de la cohésion du solide. Dans le cadre de la mécanique du solide, l’échelle d’étude est ramenée à un volume élémentaire du solide et les forces internes qui s’exercent sur ce volume élémentaire ne correspondront qu’aux forces d’interaction entre volumes élémentaires voisins. Aussi, les seules contraintes internes prises en compte correspondront à des forces exercées sur les surfaces du volume élémentaire considéré. Si f est la force volumique totale exercée sur le volume élémentaire, alors cette force sera égale d’après le principe de l’action-réaction à la somme sur la surface de la portion des forces agissant sur chaque élément de la surface. Cette égalité peut alors être formulée pour chaque composante spatiale de la force volumique f : Z fi ·dV = I σi k ·dSk = X k ·I σi k ·dSk ¸ (2.3) où σi k correspond à la ième composante de la contrainte exercée sur l’élément de surface dSk en prenant la convention de la normale sortante. Pour se ramener à des observations macroscopiques, il faut noter que les forces de type pression hydrostatique vont correspondre aux termes diagonaux du tenseur des contraintes, tandis qu’une force de type torsion donnera un tenseur de contrainte dont les termes non diagonaux sont non nuls. Sous l’action de forces extérieures au système – les contraintes peuvent être perçues comme des forces extérieures au volume élémentaire –, un solide se déforme en changeant de forme et de volume. La déformation peut se traduire par un changement de position des différents FIGURE 2.1 – Contraintes dans un espace 2D. (a) Pou la pression hydrostatique, les termes diagonaux de σ sont non nuls. (b) Pour une force de torsion, les termes non diagonaux de σ sont non nuls. points constituant le solide. Si on note r le vecteur de position d’un point donné, un vecteur de déplacement u peut être défini à partir des positions avant r et après déformation r 0 : u = r 0 −r (2.4) Ce changement de position des différents points du solide peut s’accompagner également d’un changement dans la distance entre les points. Le seul cas où la distance entre les points ne change pas correspond à tous les mouvements d’ensemble de l’objet : rotation ou translation. Dans le cas de deux points très proches du milieu, la distance entre ces points en fonctions de leurs coordonnées avant et après déformation peut s’exprimer par [2] : dl 02 = dl 2 +2εi k ·dxi ·dxk avec εi k = ∂xk ui +∂xi uk +∂xi ul ·∂xk ul 2 Le tenseur des déformations εi k est symétrique puisque εi k = εki par définition. La symétrie du tenseur des déformations signifie qu’il peut être diagonalisé, autrement dit il existe pour chaque tenseur de déformation un système d’axes pour lesquelles seuls les termes diagonaux sont non nuls. Ce système d’axe n’est pas forcément celui du solide considéré. Ce tenseur des déformations peut être simplifié en supposant que les déformations sont faibles. Sous cette hypothèse, l’expression du tenseur des déformations devient : εi k = ∂xi uk +∂xk ui 2 (2.5) Cette nouvelle expression des éléments du tenseur des déformations permet de faire quelques premières observations quant aux différents types de déformation symptomatique. Les déformations axiales correspondent à un tenseur de déformation dont seuls les termes diagonaux sont non nuls. A l’inverse, si les déformations correspondent à du cisaillement, alors seuls les termes non diagonaux sont non nuls. Une manière de se représenter une déformation de type cisaillement est de prendre un bloc et de faire glisser deux faces opposées du cube l’une par rapport à l’autre. (a) Pour un écrasement pur de l’objet, la forme de l’objet est préservée mais pas ses dimensions. (b) Pour un cisaillement, la forme de l’objet est modifiée.
La loi de Hooke dans un milieu continu
La loi de Hooke peut être étendue au milieu continu tridimensionnel. Cette loi permet de mieux comprendre le lien existant entre les déformations d’un milieu et les contraintes existant au sein de ce milieu. Dans le cas d’un problème tridimensionnelle et en considérant un volume élémentaire, la loi de Hooke permet, dans l’approximation des petites déformations, de relier le tenseur des déformations σi j au tenseur des déformations εkl grâce à un tenseur d’élasticité Ci j kl [3] : σi j = Ci j kl ·εkl (2.6) Comme le tenseur des déformations est symétrique par définition, il est possible de réduire le nombre de composantes indépendantes pour les tenseurs de déformations et de contraintes à six. Pour cela, il est nécessaire de multiplier par un facteur deux les termes correspondant aux déformations εkl avec k 6= l (εkl = εl k ). Il est alors possible de montrer que la somme des termes diagonaux du tenseur des déformations correspond aux changements de volume. Si ce volume change mais que la forme du solide reste inchangée, alors la déformation correspond à une compression hydrostatique (εi k = δi k). Dans le cas où la somme des termes diagonaux est nulle et qu’il y a déformation, seule la forme du solide change. Une telle déformation correspond à du cisaillement pur. De manière générale, il est possible d’exprimer toute déformation en fonction d’une déformation de compression et d’une déformation de cisaillement : εi k = 1 3 δi k ·εkk | {z } compression +εi k − 1 3 δi k ·εl l | {z } cisaillement (2.8) A partir de cette décomposition en déformations de compression et déformations de cisaillement, il est possible de réécrire la loi de Hooke en séparant les deux contributions : σi k = K ·δi k ·εl l +2µ µ εi k − 1 3 δi k ·εl l ¶ (2.9) Le coefficient K = λ + 2 3 µ est alors appelé le module de compression puisqu’il va relier les déformations de compression à la contrainte. Ce module de compression permet de caractériser la difficulté à modifier le volume du solide en lui appliquant une contrainte simultanée sur toutes ses faces (principe de la pression hydrostatique). Le second coefficient de Lamé µ correspond quant à lui au module de cisaillement, i.e. le terme qui va relier les déformations de cisaillement aux contraintes. Ce module de cisaillement traduit la difficulté à tordre (cisailler) le solide.
1 Introduction |
