Exercice 0.9 

Une femme dispose de deux bagues identiques. Elle décide de les mettre, soit à l’index, soit au majeur, soit à l’annulaire de la main droite. Elle change chaque jour la disposition de ses bagues.

Combien de temps maximum se passe-t-il entre deux dispositions identiques ?
Soit l’épreuve 1 : « Placer une des deux bagues sur un des trois doigts. », #S1 =3 avec S1 son espace d’échantillonnage. Soit l’épreuve 2 : « Placer l’autre bague sur un des trois doigts. », #S2 =3 avec S2 son espace d’échantillonnage. Donc, par le principe de la multiplication, on dispose de 3 x 3 = 9 possibilités de placement des bagues. Mais comme les bagues sont identiques, il est impossible de distinguer M – I de I – M, M – A de A – M et I – A de A – I avec X – Y, signifiant : « La bague 1 a été placée sur le doigt X (X = I, A, M) et la bague 2 sur le doigt Y (Y = I, A, M) . »
Il faut donc retirer 3 possibilités des 9, il reste six placements conjoints distincts des deux bagues identiques. Il se passe donc 6 jours au maximum entre deux dispositions identiques.

Quid si les bagues sont différentes ?
Si les bagues sont différentes, leur ordre quand elles sont sur le même doigt importe, or il existe 3 possibilités de présence commune, une sur chacun des 3 doigts. Quand leur présence est commune, il existe 2 ! = 2 arrangements différents de ces deux bagues. Donc il existe 6 possibilités d’enfiler les deux bagues sur un doigt commun. Il faut les ajouter aux 6 possibilités d’arrangements distincts des deux bagues sur deux doigts différents. Il existe donc 12 arrangements différents des deux bagues sur les trois doigts. Il se passe donc 12 jours au maximum entre deux dispositions identiques.

Exercice 0.11 
Madame A. Lamode dispose aujourd’hui de 3 vases de Chine, de deux cristaux de Bohème et d’un saladier du Val-Saint-Lambert, tous ces objets sont différents. Elles les expose fièrement sur une planche de la vitrine de son salon et se donne comme règle de disposer différemment ces objets chaque fois qu’elle reçoit ses amies pour le thé.
Combien de fois peut-elle inviter ses amies sans répéter une disposition déjà réalisée :
si aucune restriction n’est mise sur la disposition ?
Il s’agit du nombre de permutations de 6 objets = 6 ! = 720 possibilités de rangement.
si les vases de Chine doivent être rangés ensemble et les cristaux de Bohème également ?
Il existe 3 ! possibilités de ranger les 3 vases de Chine côte à côte, de même 2 ! possibilités pour les cristaux de Bohème. Donc par le principe de multiplication 3 !2 !1 ! possibilités de ranger les objets en commençant par les vases de Chine, suivis des cristaux de Bohème, pour terminer par le VSL. Enfin il existe 3 ! possibilités de ranger (c’est-à-dire permuter) les trois groupes d’objets (vases de Chine, cristaux de Bohème, VSL). Donc au total 3 !3 !2 !1 ! = 72 possibilités de rangement.
si seuls les vases de Chine doivent se trouver ensemble ?
Dans ce cas, on considère un groupe de trois objets (les vases de Chine) et les trois autres objets forment chacun un groupe. Donc au total, il s’agit de ranger quatre groupes. Par le même argument que b) supra, il existe 4 !3 ! = 144 possibilités de rangement.
Monsieur Lamode a promis à son épouse de lui offrir un nouveau Val-Saint-Lambert quand la situation de répétition d’une disposition se produira.
Après cet événement, que deviennent les prévisions du nombre d’invitations dans les trois cas ?(Pour cette question, on supposera qu’au point b) les vases Val-Saint-Lambert restent groupés ensemble.)
a) 7 ! = 5040 possibilités de rangement.
b) 3 !3 !2 !2 ! = 144 possibilités de rangement.
c) 5 !3 ! = 720 possibilités de rangement.