La probabilité

La probabilité est une mesure numérique de la vraisemblance de l’occurrence d’un événement. Ainsi, les probabilités peuvent être utilisées pour mesurer le degré d’incertitude associée aux quatre événements cités ci-dessus. La valeur de la probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Une probabilité proche de zéro signifie qu’un événement à peu de chance de se produire. Quand elle est égale à zéro, on dit que l’événement est incertain. Une probabilité proche de 1 signifie qu’un événement se produira très certainement. Quand elle est égale à 1, on dit que l’événement est certain. Dans le cas où la probabilité est égale à 0,5, on dira que l’événement a autant de chances de se produire que de ne pas se produire (on est dans ce cas indécis). L’objectif de cette partie du cours est de présenter aux étudiants une introduction conceptuelle aux probabilités et à leurs applications. Cette partie comporte quatre chapitres permettant aux étudiants d’apprendre, de comprendre et d’appliquer des exercices d’entrainement qui cadrent avec le domaine qu’ils ont choisi. Ces quatre chapitres traitent de l’expérience et des événements, de la théorie des probabilités, du calcul des probabilités et du théorème de Bayes.

La probabilité a une théorie, cette théorie est une branche des mathématiques qui s’attache à mesurer ou à déterminer quantitativement la chance qu’a un événement ou une expérience d’aboutir à un résultat donné. La théorie de probabilité utilise souvent les résultats de l’analyse combinatoire et notamment les dénombrements appelés permutations, arrangements et combinaisons. Elle constitue la base de tous les travaux en probabilités. Cependant, avant d’étudier l’analyse combinatoire, nous allons d’abord apprendre les bases de la probabilité. Le résultat d’une expérience aléatoire s’appelle un événement élémentaire. L’ensemble des résultats possibles d’une expérience s’appelle « univers (ou événement fondamental) » et est noté fondamentalement par Ω. Un élément ω de Ω représente donc un événement élémentaire Exemples : Déterminer les éléments élémentaires et l’univers des expériences suivantes. d’une entreprise, cinq personnes, dont deux femmes et trois hommes, se sont présentées. Il est dit que dans les deux postes, les personnes ne doivent pas avoir les mêmes sexes. C’est-à-dire q

On appelle permutation de n objets chacune des façons de ranger ou d’ordonner sans répétition ces n objets. Pour en donner un exemple, considérons que l’on veule placer trois hommes au poste de président, vice-président et du secrétaire général du conseil d’administration d’une entreprise quelconque. Ces personnes sont Paul (P), Jean (J) et Sylvain (S). Selon cet exemple, il est impossible qu’une personne occupe deux postes à elle seule. De ce fait, l’ordre dans lequel les postes sont distribués est une permutation. Il existe 6 permutations possibles de ces 3 postes : PJS, PSJ, JPS, JSP, SPJ, SJP. Pour déterminer le nombre de ces différentes permutations, on peut raisonner ainsi : premier poste distribué peut être l’une quelconque des 3 personnes ; le deuxième poste peut être l’une des deux personnes restantes car une personne avait déjà été choisie pour le premier poste ; et le dernier poste est donc pour la dernière personne restante. On obtient ainsi le nombre total de permutations : 3 × 2 × 1 = 6, ce qu’on écrit également 3 ! («trois factorielle »). De façon générale, le même raisonnement montre que, pour n objets, il existe n ! permutations. ue si le premier poste est occupé par un homme, le second poste serait féminin. Vice versa.

Il y a combien de possibilité de donner quatre primes de 10 000 FCFA, de 20 000 FCFA, de 30 000 FCFA et de 40 000 FCFA à quatre travailleurs différents ? On appelle arrangement de n objets pris parmi N, chacun des groupements ordonnés de n objets choisis sans répétition parmi les N. Prenons un exemple qui consiste à choisir, parmi les trois personnes d’une association (P, J et S), deux personnes au poste de président et de secrétaire général. Les arrangements de deux personnes prises parmi les trois sont : PJ, PS, JP, JS, SP, SJ ; soit 6 arrangements. On peut retrouver ce résultat en raisonnant comme pour les permutations. Pour le premier poste, il y a 3 choix possibles et, pour chacun de ces 3 choix, il y a 2 choix pour le deuxième poste, soit au total 3 × 2 = 6. De façon plus générale, on démontre que le nombre d’arrangements de n objets pris parmi N, nombre noté 𝐴On appelle combinaison de n objets pris parmi N, chacun des groupements de n objets sans considération de l’ordre dans lequel ils sont rangés ou choisis. Dans l’exemple de choisir deux personnes parmi les trois (P, J, S) au poste de président et de secrétaire général, on est en fait davantage intéressé par les combinaisons de postes distribués, plutôt que par l’ordre dans lequel les personnes sont affectées. Par conséquent, les combinaisons de deux personnes prises parmi les trois sont : PJ (qui signifie aussi JP), PS (qui signifie aussi SP), et JS (qui signifie aussi SJ); soit 3 combinaisons. De façon plus générale, le nombre de combinaisons de n objets (sans tenir compte de l’ordre de ces objets) pris dans un ensemble de N objets est noté 𝐶..