Formulation générale et identification dans le cas anisotrope

Dans ce chapitre, on postule l’existence d’une mesure de déformation E per­ mettant d’écrire le potentiel d’énergie libre sous forme quadratique. Par la suite, après avoir défini le tenseur de contrainte associé à la mesure de déformation E, on développe les lois de comportement à partir de l’inégalité de Clausius-Duhem. Après avoir donné la forme générale de la mesure de déformation ainsi que ses conditions d’existence, on développe la procédure d’identification des paramètres du modèle et ce, en deux phases: On se limite à l’étude d’un certain type de matériaux pour lesquels on suppose que ladite mesure de déformation E existe et est telle que le potentiel d’énergie libre soit linéaire au sens de Boltzmann, soit: Par conséquent, si dQ,Q est un élément de volume du domaine Q.Q dans la configuration de référence, et sachant que E est une fonction tensorielle isotrope de Ç ou de A (E = / (^) ou E = g (Ç) où /et g sont deux fonctions continûment dérivables), on a, en notant V la densité volumique de puissance: Le modèle que l’on veut définir doit inclure les comportements en petites déformations et les comportements viscoélastiques linéaires. Par conséquent, le tenseur de déformation E doit être équivalent, aux petites déformations, au ten­ seur de déformation linéarisée e.

Lois de comportement

Le potentiel d’énergie libre étant postulé par (II.4), nous allons vérifier si le processus ainsi défini est thermodynamïquement admissible, c’est à dire que la puissance dissipée V est positive (inégalité de Clausius-Duhem). En formalisme On obtient donc une loi de comportement linéaire reliant la contrainte S à la déformation qui lui est thermodynamiquement associée E où le noyau R est un  tenseur de relaxation. Ceci n’est cependant valable que si le tenseur de relaxation est une fonction positive et décroissante du temps. C’est généralement le cas car il Ainsi, l’identification du comportement thermodynamiquement admissible, qui est étudiée au paragraphe suivant, se réduit à la détermination du tenseur de déformation linéarisant E (À) et du tenseur de relaxation d’ordre 4 ü(í). On a vu dans le paragraphe 1.3 que l’on choisissait E sous forme d’une fonction tensorielle isotrope de A, définie sur l’ensemble des tenseurs symétriques d’ordre 2. Par conséquent, on peut écrire la forme générale pour E [Serrin, 1959]: où a0, ai et a2 sont des fonctions continues et continûment dérivables de trois invariants de A, I* , I* , I*. On a vu également (paragraphe 1.3) que E devait être équivalente, aux petites déformations, au tenseur linéarisé e.

Il suffit alors de considérer des cas particuliers de chargements en petites défor­ mations, selon le nombre de coefficients indépendants de R pour pouvoir identifier Cette méthode d’identification du tenseur de relaxation est exacte si le matériau est rigoureusement pseudo-linéaire. Si le comportement ne Vest pas mais que l’on cherche à l’approcher par un comportement pseudo-linéaire, cette technique nous conduira vers un tenseur de relaxation qui, au voisinage de la déformation désirée, ne sera pas exact puisqu ‘il aura été identifié au voisinage des petites déformations. En pratique, il faudra, après avoir identifié la mesure de déformation, apporter une correction sur le tenseur de relaxation. Dans ce paragraphe, on suppose que le tenseur de relaxation a été identifié par la méthode décrite au paragraphe précédent. Nous allons identifier la mesure linéarisante par des essais de relaxation. Imposons-nous une déformation de la forme E(i) = E H{t) où H(t) est la fonction de Heaviside définie par:

L’identification de la mesure linéarisante se fait aux temps courts (élasticité instantanée) et aux temps longs (équilibre). Utilisons les potentiels initial et à l’équilibre $0 et ^^ respectivement, valeurs limites en 0 et à l’infini du potentiel d’énergie libre $. Les relations (II.4) et (11.21) conduisent alors à: II s’agit ici d’une étude théorique car, en pratique, nous n’avons pas accès à *&(t}. En revanche, on connaît les histoires de H(t) et de A(t) lors d’un quelconque essai. On peut alors, par intégration de la courbe (effort-déformation) pour un essai convenablement choisi, déterminer le potentiel d’énergie libre. Ce système de trois équations à trois inconnues (ao, a.\ et a2) est non linéaire d’ordre 2 ce qui rend sa résolution extrêmement complexe. Nous allons néanmoins tenter de le résoudre dans le paragraphe suivant.