Géneralités sur les équations de Navier-Stokes compressible en regime barotrope
Ce chapitre commence avec une introduction dans laquelle nous rappelons quelques idées fondamentales sur le mouvement d’ un fluide compressible, visqueux et conducteur de chaleur (elle sera en particulier utile pour la comprehension du chapitre 4). Après cette breve introduction, nous traitons le système de Navier-Stokes compressible en régime barotrope. Les résultats présentées dans ce chapitre sont basés sur les articles ainsi que sur les monographes. Ce chapitre apporte des améliorations mineures et examine à chaque étape comment affaiblir les hypothèses des théorèmes, en particulier en terme de loi constitutive pour la pression.
Modèle physique
Nous décrivons ici le mouvement d’un fluide compressible, visqueux et conducteur de chaleur appelé aussi quelque fois gaz visqueux. Dans un but de simplicité, nous supposerons que le fluide occupe un domaine fixe Ω ⊂ R 3 et nous nous intéressons à son évolution au cours d’un intervalle de temps de taille arbitraire (0, T), T > 0. Son mouvement sera décrit au moyen de trois variables d’états : sa densité ̺ = ̺(t, x), sa vitesse u = u(t, x), et sa température absolue ϑ = ϑ(t, x), où t ∈ (0, T) représente le temps et x ∈ R 3 représente la variable spatiale en coordonnées eulériennes. La nature physique de la densité et de la température impose à la densité d’être une fonction positive sur (0, T) × Ω et à la température absolue d’être une fonction strictement positive sur (0, T) × Ω . L’évolution temporelle de ces quantités, en l’absence de forces extérieures spécifiques et de source externe de chaleur, est décrite par des lois de conservation de la physique exprimées au travers des équations aux dérivées partielles suivantes : ∂t̺ + div(̺u) = 0 dans (0, T) × Ω, (2.1.1a) ∂t(̺u) + div(̺u ⊗ u) + ∇p(̺, ϑ) = div S(̺, ϑ, ∇u) dans (0, T) × Ω, (2.1.1b) ∂t(̺e(̺, ϑ))+div(̺e(̺, ϑ)u)+div q(̺, ϑ, ∇ϑ)+p(̺, ϑ) div u = S(̺, ϑ, ∇u) : ∇u dans (0, T)×Ω. (2.1.1c) Dans ces équations p = p(̺, ϑ) est la pression, e = e(̺, ϑ) est l’énergie interne spécifique, S(̺, ϑ, ∇u) est le tenseur des contraintes visqueuses tandis que q(̺, ϑ, ∇ϑ) est le flux de chaleur. Ce sont des fonctions données caractérisant le gaz.
En physique, il y a au moins deux autres manières d’écrire la conservation de l’énergie (2.1.1c) : en terme d’énergie totale spécifique, et en terme d’entropie spécifique. Formulation de la première loi en terme d’énergie cinétique. L’énergie totale spécifique est la somme de l’énergie cinétique spécifique ecin = 1 2 u 2 et de l’énergie interne spécifique e(̺, ϑ) etot = 1 2 u 2 + e(̺, ϑ). (2.1.2) A cause de (2.1.1a)-(2.1.1b), elle obéit à l’équation ∂t(̺etot(̺, ϑ)) + div ̺etot(̺, ϑ) + p(̺, ϑ) u + div q(̺, ϑ, ∇ϑ) = div S(̺, ϑ, ∇u) · u . (2.1.3) Formulation de la première loi en terme d’entropie spécifique. La seconde loi de la thermodynamique postule l’existence de l’entropie spécifique s = s(̺, ϑ) définie par la relation de Gibbs. ϑ ds(̺, ϑ) = de(̺, ϑ) p(̺, ϑ) ̺ 2 d ̺ (2.1.4) qui doit obéir à l’équation de conservation d’entropie ∂t(̺s(̺, ϑ)) + div(̺s(̺, ϑ)u) + div q(̺, ϑ, ∇ϑ) ϑ = σ, (2.1.5) où la quantité σ doit être positive. Elle est appelée taux de production d’entropie. Dans la présente situation, σ = 1 ϑ S(̺, ϑ, ∇u) : ∇u q(̺, ϑ, ∇ϑ) · ∇ϑ ϑ . (2.1.6) Si p, e, S, q sont des fonctions différentiables de leurs arguments respectifs, si la densité ̺ et la température ϑ sont positives et suffisament regulières sur (0, T) × Ω et si la vitesse u est suffisament regulière sur (0, T) × Ω, alors les équations sont équivalentes. Cette équivalence n’est pas nécessairement vraie si les fonctions précédemment citées ne sont pas suffisament régulières. Ainsi, malgré le fait que la formulation faible de la conservation de l’énergie basée respectivement sur chacune des équations, est justifiable comme étant physiquement égale, cette formulation peut mener à des solutions faibles possédant différentes propriétés. Il peut ainsi arriver, selon par exemple le régime d’écoulement considéré et les lois constitutives caractérisant le gaz, que certaines des possibles définitions de solutions faibles peuvent être plus avantageuses dans certaines situations et peuvent mêmes mener à des résultats d’existence global en temps alors que d’autres définitions ne posséderons pas cette propriété. Nous renvoyons le lecteur intéressé à ces questions à [?]. Nous supposons que le tenseur des contraintes visqueuses S est décrit par la loi de Newton S(̺, ϑ, ∇u) = µ(̺, ϑ)(∇u + ∇tu 2 3 div uI3) + η(̺, ϑ) div uI3.
Ecoulements barotropes où I3 est le tenseur identité, tandis que q est le flux de chaleur satisfaisant la loi de Fourier q = κ(̺, ϑ)∇ϑ. (2.1.8) Les quantités µ, η, and κ sont appelées coefficients de transport, plus précisément et respectivement, viscosité de cisaillement, viscosité volumique et conductivité de chaleur. D’aprés la seconde loi de la thermodynamique elles sont toutes positives. Comme nous travaillons avec des fluides visqueux nous supposerons que les coefficients de viscosité satisfont au moins µ(̺, ϑ) > 0, η(̺, ϑ) ≥ 0. (2.1.9) Le système (2.1.1) (ou (2.1.1c) peut être remplacé par (2.1.3) ou (2.1.5)-(2.1.6) avec les relations constitutives (2.1.7) et (2.1.8) est appelé système de Navier-Stokes-Fourier. De plus lorsque les coefficients de transports sont pris égales à zero nous obtenons le système d’Euler compressible. 2.2. Ecoulements barotropes Un fluide en écoulement est dit être en régime barotrope ou que le fluide est qualifié de barotrope si la pression p dépend seulement de la densité et si l’énergie interne spécifique est donnée par e(̺, ϑ) = eel(̺) + eth(ϑ), eel(̺) = Z ̺ 1 p(z) z 2 dz. (2.2.1) Le système (2.1.1) dans cette situation s’écrit ∂t̺ + div(̺u) = 0 dans (0, T) × Ω, (2.2.2a) ∂t(̺u) + div(̺u ⊗ u) + ∇p(̺) = div S(∇u) dans (0, T) × Ω, (2.2.2b) ∂t(̺eth(ϑ)) + div(̺eth(ϑ)u) + div q(̺, ϑ, ∇ϑ) = S(∇u) : ∇u dans (0, T) × Ω. (2.2.2c) où nous avons utilisé l’identité (2.2.1) afin de transformer (2.1.1c) en (2.2.2c). Nous remarquons que l’équation (2.2.2c) et le système (2.2.2a)-(2.2.2b) sont découplés dans le sens que une fois le couple (̺,u) determiné à partir des équations (2.2.2a)-(2.2.2b), la température ϑ peut être obtenue en résolvant (2.2.2c) avec certaines conditions au bord ; Le système d’équations aux dérivées partielles (2.2.5a)-(2.2.5b) est appelé système de Navier-Stokes compressible en regime barotrope. Il ne décrit pas de façon satisfaisante les situations physiquement réalistes. Cependant, il est consistant du point de vue thermodynamique et il contient déjà beaucoup de difficultés mathématiques rencontrées quand nous traitons le système complet de Navier-Stokes-Fourier. Son étude n’est pas seulement sans intérêt mais peut aussi être vue comme un premier « toy problem » avant de s’attaquer au système complet. Les exemples les plus usuels d’écoulement barotrope sont les écoulement isothermes où p(̺) = Rϑ̺ (2.2.3) 9 2. Géneralités sur les équations de Navier-Stokes compressible en regime barotrope décrivant les écoulements des gaz parfaits de température constante ϑ > 0 et les écoulements isentropiques p(̺) = Res ̺ γ , γ = R + cv cv (2.2.4) décrivant les écoulements des gaz parfaits d’entropie constante s ∈ R. Notons cependant, que les conditions de température constante ou d’entropie constante violent la conservation de l’énergie (2.2.2c) sauf si aucune source de chaleur spécifique externe n’est ajoutée dans (2.2.2c). Les valeurs typiques de γ, appelé exposant adiabatique, se situent entre un maximum de 5 3 pour gaz monoatomiques, passant par 7 5 pour gaz diatomiques incluant l’air et allant jusqu’à des valeurs proches de 1 pour les gaz polyatomiques à haute température.
I. Document de synthèse |
