Identification de source pour une equation biparabolique

 Formulation du problème

Soit H un espace de Hilbert séparable muni du produit scalaire (., .) et de la norme k.k. Considérons le problème biparabolique inverse suivant : déterminer la fonction f ∈ H vérifiant le système    u 00(t) + 2Au0 (t) + A2u(t) = (∂t + A) 2u(t) = f, 0 < t < T, u(0) = 0, u 0 (0) = 0, (2.1) `a partir de la donnée supplémentaire u(T) = g, (2.2) o`u A : D(A) ⊂ H → H est un opérateur linéaire auto-adjoint positif et `a résolvante compacte 1 , on note par σ(A) le spectre de l’opérateur A. Le problème (2.1) est une version abstraite du système    utt(x, t) − 24ut(x, t) + ∆2u(x, t) = f(x), 0 < t < T, x ∈ Ω, u(x, t) = 4u(x, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T, x ∈ ∂Ω, u(x, 0) = ut(x, 0) = 0, x ∈ Ω, (2.3) qui modélise un phénomène de vibrations structurelles amorties de ficelle ou un faisceau [75, 76, 81]. En outre , ce problème peut ˆetre considéré comme un problème biparabolique dans un cadre abstrait. Pour la motivation physique, le lecteur pourra consulter [45]. 1. Le spectre de tels opérateurs est discret : valeurs propres isolées et espaces propres de dimension finie.

Préliminaires

Soit (ϕn)n∈N∗ ⊂ H une base orthonormée formée de vecteurs propres associés aux valeurs propres (λn)n∈N∗ ⊂ R+, i.e., Aϕn = λnϕn, n ∈ N ∗ , 0 < λ1 ≤ λ2…… ≤ …, limn→∞ λn = +∞. ∀ξ ∈ H, ξ = X∞ n=1 Enξ, Enξ = (ξ, ϕn)ϕn. On note {T(t) = e −tA}t≥0 le semi-groupe analytique engendré par −A sur H, T(t)ξ = X∞ n=1 e −λntEnξ, ∀ξ ∈ H. Pour α > 0, l’espace Hα est défini par Hα = {ξ ∈ H : X∞ n=1 (1 + λ 2 n ) α kEnξk 2 < ∞}, muni de la norme kξkHα = (X∞ n=1 (1 + λ 2 n ) α kEnξk 2 ) 1 2 , ξ ∈ Hα . On termine cette section par un résultat concernant les opérateurs quasi- contractants . Définition 2.2.1 Un opérateur linéaire borné L : H → H est dit quasi-contractant si k L k≤ 1. Soit L un opérateur quasi-contractant, pour résoudre l’équation (I − L)ϕ = ψ, (2.4) nous énon¸cons un théorème de convergence pour une méthode d’approximations successives. Théorème 2.2.1 [70, p. 66] Soit L un opérateur auto-adjoint, positif et quasi-contractant sur H. Soit ψ ∈ H de telle sorte que l’équation (2.4) a une solution. Si 1 n’est pas une valeur propre de L, alors les approximations successives ϕn+1 = Lϕn + ψ, n = 0, 1, 2, … convergent vers une solution de (2.4) pour toute donnée initiale ϕ0 ∈ H. De plus, L nϕ → 0 pour tout ϕ ∈ H, quand n → ∞. 

 Problème direct

Soit Z = D(A) × H muni de la norme kUk 2 Z = kAξ1k 2 + kξ2k 2 , U = ξ1 ξ2 ! ∈ Z. Pour une donnée f ∈ H, on considère le problème direct    w 00(t) + 2Aw0 (t) + A2w(t) = f, 0 < t < T, w(0) = 0, w 0 (0) = 0. (2.5) Faisons le changement de variable w 0 = v, nous pouvons écrire l’équation du second ordre dans (2.5) sous la forme d’un système du premier ordre dans l’espace Z comme suit ( z 0 (t) = Az(t) + F, 0 < t < T, z(0) = 0, (2.6) o`u z = w v ! , F = 0 f ! et A = 0 I −A2 −2A ! . L’opérateur linéaire non-borné A de domaine D(A) = D(A2 ) × D(A) est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe fortement continu {S(t) = e tA}t≥0. De plus {S(t)}t≥0 est analytique (voir [75]) et admet la forme explicite suivante S(t)U = X∞ n=1 e tBn PnU, U = ξ1 ξ2 ! ∈ Z, o`u Bn = 0 1 −λ 2 n −2λn ! et {Pn}n≥1 est une famille complète de projections orthogonales dans Z donnée par Pn = diag(En, En). D’après les résultats d’algèbre matricielle, on obtient e tBn = e −λnt + λnte−λnt te−λnt −λ 2 n te−λnt −λnte−λnt + e −λnt ! . De la théorie des semi-groupes (voir [94]), le problème (2.6) admet une solution unique z ∈ C([0, T), Z) donnée par z = Z t 0 S(t − s)F ds. Et par conséquent z = Z t 0 X∞ n=1 e (t−s)Bn PnF ds = Z t 0 X∞ n=1 σ 1 n (t, s) σ 2 n (t, s) σ 3 n (t, s) σ 4 n (t, s) ! . 0 (f, ϕn)ϕn ! ds, telle que σ 1 n (t, s) = e −λn(t−s) + λn(t − s)e −λn(t−s) , 2.2 Préliminaires 24 σ 2 n (t, s) = (t − s)e −λn(t−s) , σ 3 n (t, s) = −λ 2 n (t − s)e −λn(t−s) , σ 4 n (t, s) = −λn(t − s)e −λn(t−s) + e −λn(t−s) . En conséquence, nous obtenons le résultat suivant Théorème 2.2.2 Le problème (2.5) admet une solution unique w ∈ C([0, T), D(A)) ∩ C 1 ([0, T), H) donnée par w(t) = K(t)f = A −2 (I − (I + tA)e −tA)f = X∞ n=1 (1 − (1 + tλn)e −tλn ) λ2 n (f, ϕn)ϕn. (2.7) Remarque 2.2.1 Comme de nombreux problèmes inverses l’étude du problème (2.1) est réduite `a l’étude de l’équation K(T)f = g, o`u K(T) est un opérateur auto-adjoint et compact dans l’espace de Hilbert H. Cette équation peut ˆetre reécrite sous la forme f = (I − γK(T))f + γg = Lf + γg, o`u γ est un nombre positif satisfaisant γ < 1/ k K(T) k . Dans la section suivante, nous montrons que l’opérateur linéaire L est quasi-contractant et que 1 n’est pas une valeur propre de L, ainsi il résulte du théorème (2.2.1) que (fn)n∈N∗ converge et (I − γK(T))nf → 0, pour tout f ∈ H, quand n → ∞.

Caractère mal-posé du problème inverse

Notre objectif est de déterminer f `a partir de donnée supplémentaire (2.2). Pour ce but définissons l’opérateur K(T) : f → K(T)f = g, on a g = u(T) = K(T)f = X∞ n=1 σnEnf, o`u σn = (1−(1+T λn)e−T λn ) λ2 n . Il est facile de vérifier que K(T) est un opérateur linéaire, auto-adjoint, compact et injectif. D’autre part, g = X∞ n=1 Eng = X∞ n=1 σnEnf, ainsi σnEnf = Eng, cela implique Enf = 1 σn Eng, donc f = K(T) −1 g = X∞ n=1 1 σn Eng = X∞ n=1 1 σn (g, ϕn)ϕn, sous la condition X∞ n=1 λ 2 n (1 − (1 + T λn)e−T λn ) !2 |(g, ϕn)| 2 < ∞. Notons que 1 σn → ∞ quand n → ∞, ainsi le problème inverse est instable donc mal-posé. 2.3 Procédure itérative (Kozlov-Maz’ya) et résultats de convergence 25 2.3 Procédure itérative (Kozlov-Maz’ya) et résultats de convergence La méthode itérative est basée sur une réduction du problème mal-posé (2.1) `a une suite de problèmes aux limites bien-posé et se compose des étapes suivantes d’abord, nous commen¸cons par un choix arbitraire de f0 ∈ H, l’approximation initiale u0 est solution du problème direct    u 00 0 + 2Au0 0 + A2u0 = f0, 0 < t < T, u0(0) = 0, u 0 0 (0) = 0. Si la paire (fk, uk) a été construite, on définit fk+1 par fk+1 = fk − γ(uk(T) − g), (2.8) o`u γ vérifie 0 < γ < 1 kK(T)k , avec kK(T)k = sup n∈N∗ (1 − (1 + T λn)e −λnT ) λ2 n . Finalement, on obtient uk+1 en résolvant le problème    u 00 k+1 + 2Au0 k+1 + A2uk+1 = fk+1, 0 < t < T, uk+1(0) = 0, u 0 k+1(0) = 0. On itère l’expréssion (2.8) on obtient fk+1 = fk − γK(T)fk + γg = (I − γK(T))fk + γg = (I − γK(T))k+1f0 + γ Pk j=0(I − γK(T))j g. (2.9) Introduisons `a présent certaines propriétés et estimations nécessaires pour la suite. Lemme 2.3.1 La norme de l’opérateur K(t) est donnée par kK(t)k = supn∈N∗ (1−(1+tλn)e−λnt ) λ2 n = (1−(1+tλ1)e−λ1t ) λ 2 1 . Preuve. On vise `a déterminer le spremum de la fonction (1−(1+tλn)e−λnt ) λ2 n , n ∈ N ∗ , pour cela, on fixe t, on pose µ = λt et on définit la fonction G1(µ) = (1 − (1 + µ)e −µ ) µ2 , pour µ ≥ µ1 = λ1t. 2.3 Procédure itérative (Kozlov-Maz’ya) et résultats de convergence 26 On a G 0 1 (µ) = (µ 2 + 2µ + 2)e −µ − 2 µ3 . Posons h(µ) = (µ 2 + 2µ + 2)e −µ − 2, par conséquent G 0 1 (µ) = h(µ) µ3 . Pour étudier la monotonie de G1, il suffit de déterminer le signe de h. On a h 0 (µ) = −µ 2 e −µ < 0, ∀µ > 0, alors, h est décroissante, de plus h(µ) ⊂] − 2, 0[, ∀µ > 0. D’o`u G0 1 (µ) < 0, ∀µ ≥ µ1, ce qui implique que G1 est décroissante et sup µ≥µ1 G1(µ) = G1(µ1). Donc, sup n≥1 (1 − (1 + λnt)e −λnt ) λ2 n = (1 − (1 + λ1t)e −λ1t ) λ 2 1 . Proposition 2.3.1 Pour l’opérateur linéaire L = I − γK(T), on a les propriétés suivantes 1. L est positif et auto-adjoint , 2. L est quasi-contractant, 3. 1 n’est pas une valeur propre de L. Preuve. D’après les propriétés de l’opérateur A et la définition de L il en résulte que l’opérateur L est auto-adjoint, positif et quasi-contractant et de l’inégalité 0 < 1 − γ (1 − (1 + T λ)e −λT ) λ2 < 1, pour λ ∈ σ(A), il s’ensuit que le spectre ponctuel de L, σp(L) ⊂]0, 1[. D’o`u 1 n’est pas une valeur propre de L. Lemme 2.3.2 Si λ > 0, on a les estimations 1 1 + λ2 ≤ max( 3 T2 , 1)(1 − (1 + T λ)e −λT ) λ2 . (2.10) 0 < (1 − (1 + tλ)e −λt) λ2 < T2 , ∀t ∈ [0, T]. (2.11) Preuve. Pour établir (2.10), établissons d’abord l’estimation 1 3 + µ2 ≤ (1 − (1 + µ)e −µ ) µ2 , ∀µ > 0, (2.12) qui est équivaut `a prouver que G2(µ) = 3 − (3 + µ 2 )(1 + µ)e −µ ≥ 0, ∀µ > 0. 2.3 Procédure itérative (Kozlov-Maz’ya) et résultats de convergence 27 On a G 0 2 (µ) = µ(µ − 1)2 e −µ ≥ 0, ∀µ > 0. Alors, G2 n’est pas décroissante et il en résulte que G2(µ) ⊂]0, 3[. Ainsi G2(µ) ≥ 0, ∀µ > 0. On choisit µ = T λ dans (2.12), on obtient 1 3 + (T λ) 2 ≤ (1 − (T λ + 1)e −T λ) (T λ) 2 . D’o`u, T 2 max(3, T2)(1 + λ2) ≤ (1 − (1 + T λ)e −T λ) λ2 . (2.13) De (2.13), on déduit (2.10). Maintenant, prouvons l’estimation (2.11). Il est facile de vérifier que G3(µ) = (1 − (1 + µ)e −µ ) − µ 2 < 0, ∀µ > 0. Alors, si on choisit µ = tλ, il vient (1 − (1 + tλ)e −tλ) < t2λ 2 , ∀λ > 0, ∀t ∈ [0, T]. (2.14) Par conséquent, `a partir de (2.14), il en résulte (2.11). Théorème 2.3.1 Soit u une solution du problème inverse (2.1). Soit f0 ∈ H une donnée initiale arbitraire pour la procédure itérative proposée ci-dessus et uk la k eme solution approchée. Alors i) sup t∈[0,T] kuk(t) − u(t)k → 0, quand k → ∞. (2.15) ii) En outre, si pour α = 1 + θ, θ > 0, f0 − f ∈ Hα, i.e. k f0 − f kHα ≤ E, alors l’ordre de convergence de la méthode est donné par sup t∈[0,T] kuk(t) − u(t)k ≤ T 2CEk−α/2 , o`u C est une constante positive indépendante de k. Preuve. i) De (2.9), on obtient fk = (I − γK(T))k f0 + (I − (I − γK(T))k )(K(T))−1 g, d’o`u fk = (I − γK(T))k (f0 − f) + f, (2.16) ce qui implique que uk(t) − u(t) = K(t)(fk − f) = K(t)(I − γK(T))k (f0 − f).