Instabilités de convection Electro-Hydro thermodynamique entre deux parois verticales

MODELISATION MATHEMATIQUE

Dans ce chapitre, nous allons modéliser les transferts d’impulsion et de chaleur qui ont lieu dans une enceinte différentiellement chauffée et remplie d’un fluide conducteur en présence d’un champ magnétique appliqué d’intensité constante. Après avoir décrit le système physique nous établirons les équations de mouvement, de la chaleur et du champ magnétique induit. Le système sera ensuite fermé par des conditions initiale et aux limites. Enfin les grandeurs pariétales les plus caractéristiques seront déterminées.

Modélisation mathématique du problème 

 Description La géométrie du problème physique étudié est schématisée sur la figure 2.1. Il s’agit d’une enceinte parallélépipédique droite dont la section droite est un rectangle de dimensions . Les limites horizontales sont maintenues adiabatiques, alors que les surfaces verticales gauche et droite sont respectivement chauffée et refroidie à deux températures différentes et . Ce récipient contient un fluide conducteur soumis à l’action combinée du champ de pesanteur et d’un champ magnétique appliqué . Lorsque nous créons une inhomogénéisation thermique au sein du fluide celui-ci se met en mouvement et génère à son tour un champ magnétique induit . Figure 2.1 : configuration physique et conditions aux limites du problème g G L H Particules chargées Instabilités de convection électro-hydro-thermodynamique entre deux parois verticales

. Formulation mathématique du problème

 Pour étudier ce problème nous adoptons les hypothèses simplificatrices couramment utilisées suivantes : • La profondeur de l’enceinte est supposée suffisamment grande devant la longueur et la largeur de l’enceinte de telle sorte que tous les transferts puissent être considérés comme bidimensionnels. • L’écoulement est incompressible et le fluide supposé Newtonien. • Toutes les propriétés du fluide sont supposés constantes hormis la masse volumique dans le terme de pesanteur de l’équation du mouvement. Elle est calculée en utilisant l’approximation de Boussinesq : • La dissipation visqueuse, le taux de génération de chaleur interne et les effets Joule et du rayonnement thermique sont négligeables dans l’équation de la chaleur. Le champ magnétique appliqué est supposé constant en intensité.

Adimensionnalisation des équations 

L’adimensionnalisation ou la normalisation des équations consiste à transformer les variables dépendantes et indépendantes en des variables sans dimensions, c’est-à-dire qu’elles seront normalisées par rapport à certaines dimensions caractéristiques. Cela permet de spécifier les conditions d’écoulement avec un nombre restreint de paramètres de façon à rendre la solution plus générale.

Conclusion 

En premier lieu nous avons modélisé les transferts de chaleur et d’espèces dans un rectangle et dans les couches limites .Les équations du mouvement étant non linéaires, on les transforme en utilisant le formalisme vorticité–fonction de courant. Nous obtenons une équation quasi linéaire et plus maniable numériquement. Nous avons fait apparaître l’équation du champ magnétique qui entraîne un effet de blocage donnant naissance à de l’énergie thermique qui sera convertie en énergie électrique. Dans le but de généraliser notre problème et de réduire le nombre de paramètre, les équations ont été adimensionnalisées grâce l’introduction de grandeur de référence .Ainsi nous avons fait apparaître des nombres adimensionnels dont la connaissance permet de caractériser plus facilement les transferts. La résolution d’un tel système, de manière analytique, est extrêmement compliquée voire impossible c’est pourquoi nous utiliserons dans la suite la méthode numérique pour la résolution des équations régissant les transferts.