La prédiction du comportement de l’investisseur

La gestion de portefeuille

 La théorie moderne du portefeuille de Harry Markowitz

 Comme on l’a précisé en introduction, le comportement de l’investisseur est centré sur le couple rendement-risque. C’est dans cette optique que Harry Markowitz va développer sa théorie avec pour hypoth`eses de base : – Les investisseurs sont rationnels, c’est-`a-dire qu’ils ne font pas de choix incohérents. – Les investisseurs sont averses au risque, c’est-`a-dire qu’ils sont risquophobes et prennent les décisions avec un risque de perte tr`es faible. – Les marchés sont efficients, c’est-`a-dire que les fluctuations des cours qui s’y produisent sont le fait d’informations nouvelles, jusqu’alors inconnues de tous les investisseurs, et qui viennent donc influencer, au même moment, leurs décisions d’achat, ou de vente. On peut d’ores et déj`a signaler les failles de cette théorie avec ces trois hypoth`eses de base. On verra `a la fin, lors de la critique de la méthode par Benoît Mandelbrot que c’est bien `a cause de ces hypoth`eses et d’autres aussi que l’on peut remettre en question la validité de la théorie car elle peut être en totale déconnexion avec la réalité des marchés financiers.

 Les composantes du mod`ele : Rendement et risque 

Dans la théorie de Markowitz, la seule véritable donnée d’entrée pour effectuer les calculs est le rendement”. Soit A un actif dans lequel on investit, son rendement est le plus souvent exprimé en pourcentage. En finance, le taux de rendement dégagé par un investissement, un placement ou une opération financi`ere est le rapport entre le revenu obtenu et la mise de fonds initiale. La notion est voisine de celle du ratio de rentabilité. 

LA GESTION DE PORTEFEUILLE

 Celui d’une action est : Rendement d0une action = dernier dividende/cours de l0 action Le rendement peut aussi prendre différents noms et se calcule de plusieurs façons en fonction du domaine dans lequel on travaille. On ne va pas s’attarder sur comment le calculer, il nous est inutile de chercher `a la calculer (ici, on parle bien évidemment des calculs fait en économie et en finance pour determiner le rendement). Cependant nous allons différencier les rendements que nous pourrons utiliser. Le rendement attendu, est le rendement qu’un investisseur esp`ere obtenir. Il n’est donc connu qu’en fin de période d’activité. De ce fait, on introduit deux méthodes pour évaluer celui-ci.[7] Le rendement espéré correspond mathématiquement `a l’espérance mathématique du rendement.On le calcule donc en attribuant une probabilité de réalisation `a chaque rendement possible (pour chaque Ri correspond un Pi) : R = E(R) = Pn i=1 RiPi Par contre si on n’anticipe pas sur les rendements possibles, on peut aussi se baser sur des observations passées pour établir ce que l’on appelera un rendement moyen. Donnons nous une période passée o`u on a T observations sur le rendement, le rendement moyen est donc : R = E(R) = PT i=1 Ri T On peut maintenant calculer le risque de l’actif A qui n’est rien d’autre que l’écart-type de son rendement (éspéré ou moyen), celui-ci n’etant pas certain on dit alors que l’actif est risqué. Pour retrouver l’écart-type du rendement ,on calcule d’abord sa variance (l’ecattype n’est rien d’autre que la racine carrée de la variance). La variance V (R) du rendement est donnée par : V (R) = E[(R − E(R))2 ] = PT i=1 (Ri−R) 2 T Par la suite l’écart-type noté σ(R) est donné par : σ(R) = p V (R) ⇐⇒ V (R) = σ(R) 2 Ainsi, avec ces deux résultats (le risque et le rendement), l’investisseur peut prétendre `a prendre une décision lorsqu’il aura `a choisir entre plusieurs actifs, car les investisseurs ach`eteront toujours l’actif qui présente un rendement optimal par rapport `a son niveau de risque. Aucun investisseur purement rationnel n’ach`eterait un actif A plus risqué qu’un actif B mais offrant un rendement inférieur. De cette manière le décors est planté ́e.

LA GESTION DE PORTEFEUILLE 

 Notion de portefeuille et prise de décision 

Avant de parler du portefeuille, il nous sera utile ici de donner deux nouvelles données que l’on aura à utiliser par la suite. La covariance et le coefficient de correlation des rendements de deux actifs. Soit R1 le rendement de l’actif A et R2 celui de l’actif B (il faut voir R1 et R2 comme on a definit R au départ (1.1.1)). La covariance entre les rendements de deux actifs est donnée par : cov(R1, R2) = E[(R1 − E(R1))(R2 − E(R2))] = PT i=1[(R1i−R1)(R2i−R2)] T Ici, les deux rendements sont considérés comme des variables aléatoires et la covariance nous permet d’avoir des informations sur la variation simultanée du rendement des actifs. cov(R1, R2) > 0 : R1 et R2 tendent simultanément `a depasser leur moyenne respective ou `a être en dessous de celle-ci cov(R1, R2) < 0 : R1 et R2 tendent `a se disperser, elles s’écartent de leur moyenne respective dans des directions opposées. Le coefficient de corrélation , ρ , mesure quand `a lui l’intensité de la relation entre les deux variables aléatoires. Il est donné par : ρ(R1, R2) = cov(R1,R2) σ(R1)σ(R2) et − 1 ≤ ρ(R1, R2) ≤ 1 Si ρ = 0 , R1 et R2 évoluent en parfaite indépendance. Si ρ = 1 , ils évoluent parfaitement dans le même sens. Si ρ = −1 , ils évoluent parfaitement en sens inverse. Pour revenir `a la définition du portefeuille, un portefeuille désigne une collection d’actifs financiers détenus par un établissement ou un individu (donc un investisseur).Ici, dans cette collection , chaque actif se vera associé `a un rendement (variable aléatoire), un risque et un poids (c’est-`a-dire la proportion de l’actif dans le portefeuille, la somme de tous les poids dans le portefeuille doit donner 1). Ainsi, l’investisseur a tout inter  ́ et `a distribué de manière intelligente sa richesse sur chacun des actifs pour obtenir une combinaison qui optimise le gain.C’est ce que Markowitz appelle ” la diversification du portefeuille”, ne pas mettre tous les oeufs dans le même panier. Un investisseur rationnel se verra investir dans plusieurs actifs afin d’établir un portefeuille ou les actifs présentent les coefficients de corrélation (entre les rendements) les plus faibles. 

La résolution 

Avec le couple rendement-risque, on a une image de comment un investisseur peut faire pour choisir entre deux actifs dans lesquels investir. Maintenant pour constituer son portefeuille, il doit aussi savoir comment diviser sa richesse sur chaque actif pour minimiser le risque et maximiser le rendement de celui-ci. Nous allons voir que ce problème est un problème d’optimisation quadratique sous une contrainte. Posons le problème. Un personne lambda a une quantité de richesse Q qu’il veut allouer dans des investissements. Avec le critère  » moyenne-variance »établie au préalable , on sait qu’il choisira les actifs avec le moins de risque possible. Après avoir choisi les N actifs dans lesquels il veut investir, l’ultime question se pose : dans quelle proportion il va investir sa richesse Q sur les N actifs pour maximiser les gains et minimiser le risque ? Soient Ai , 1 ≤ i ≤ N les N actifs dans lesquels on souhaite investir. Chaque actif est accompagné bien évidemment d’un rendement « esp conférences »( obtenu avec des observations des rendements passés de l’actif en question) et d’un risque ( i.e (Ai , Ri , σ(Ri) ). Notons le portefeuille de notre investisseur. On recherche donc les ωi de chaque actif ( poids de l’actif dans le portefeuille). Soient Cov(R) la matrice de covariance des rendements, R le vecteur colonne des rendements ́esp ́er ́es et ω le vecteur colonne des poids de chaque actif. La matrice de covariance est donnée par : Cov(R) =   σ 2 (R1) cov(R1, R2) . . . cov(R1, RN ) cov(R2, R1) σ 2 (R2) . . . cov(R2, RN ) . . . . . . . . . . . . cov(RN , R1) cov(RN , R2) . . . σ2 (RN )   Le vecteur de rendement moyen est : R =   R1 R2 . . . RN   Et le vecteur des poids est : ω =   ω1 ω2 . . . ωN   Il nous reste maintenant `a donner le rendement et le risque du portefeuille. Notons RP le rendement du portefeuille et σ 2 P sa variance. 

 On a donc : ( RP = ω TR σ 2 P = ω T Cov(R) ω Si ce que recherche l’investisseur c’est minimiser uniquement le risque de son portefeuille, alors il veut obtenir ” le portefeuille efficient” c’est-`a-dire le portefeuille qui est solution du probl`eme suivant : M in σ2 P (ω) = ω T Cov(R) ω sous − contrainte nPN i=1 ωi = 1 (1) Si par contre il veut minimiser le risque de son portefeuille mais aussi avec un rendement espéré bien défini R0 alors le probl`eme `a résoudre est : M in σ2 P (ω) = ω T Cov(R) ω sous − contraintes ( RP = R0 PN i=1 ωi = 1 (2) Les deux problèmes se résolvent facilement en utilisant par exemple les multiplicateurs de Lagrange. Ce qu’il faut noter c’est qu’il n’existe qu’un seul portefeuille efficient (la solution optimale du probl`eme (1)). C’est, en temps normal, le portefeuille que l’investisseur se verra choisir. Mais dans la réalité ce ne sera pas toujours le cas (une faille dans les hypoth`eses). Le choix cohérant ne sera pas toujours celui qui sera effectué `a cause d’effets extérieurs . Par contre , son portefeuille se retrouvera sans doute sur la fronti`ere efficiente(un portefeuille qui est solution de (2)). On voit donc ici que l’on a deux mani`ere de voir comment un investisseur agit. En premier lieu il choisit l’actif avec le crit`ere moyenne-variance et distribue sa richesse sur l’actif tout en tenant compte du risque et du rendement de son portefeuille.